2.3等差数列的前n项和 》应用巩固提升 强化·培优·通关◆ 学生用书P101(单独成册)] [A基础达标] 1.在等差数列{an}中,已知a1=10,d=2,S=580,则n等于() A.10 B.15 D.30 解析:选C.因为Sn=ma1+n(n-1)d=10n+n(m-1)×2=n+9n,所以n2+9n=580, 解得n=20或n=-29(舍) 2.设{a}为等差数列,公差d=-2,S为其前n项和.若So=S1,则a=() B.20 C.22 D.24 解析:选B.由S0=S1,得a1=S1-S0=0,所以a=1+(1-11)d=0+(-10)×( 3.已知等差数列{a}的前n项和为Sn,且S=6,a=4,则公差d为() (a+a3)×3 解析:选C.因为S= =6,而a3=4,所以a1=0,所以d 4.在等差数列{a}中,若a+a+a=39,a+画+=27,则前9项的和S等于( B.99 D.297 解析:选B.根据等差数列的性质得(a十a+a)十(a十十a)=3(a+)=66,所以 5.已知等差数列{a)中,S是其前n项和,a=-1,.10-8=2,则S=() A.-11 B.11 D.-10 解析:选A因为{a}为等差数列,所以为等差数列,首项 1,设{一}的公 差为,S。S=2b=2,所以d=1,所1111+10d=-1,所以S1=-1 S
2.3 等差数列的前 n 项和 [学生用书 P101(单独成册)] [A 基础达标] 1．在等差数列{an}中，已知 a1＝10，d＝2，Sn＝580，则 n 等于( ) A．10 B.15 C．20 D．30 解析：选 C.因为 Sn＝na1＋ 1 2 n(n－1)d＝10n＋ 1 2 n(n－1)×2＝n 2＋9n，所以 n 2＋9n＝580， 解得 n＝20 或 n＝－29(舍)． 2．设{an}为等差数列，公差 d＝－2，Sn为其前 n 项和．若 S10＝S11，则 a1＝( ) A．18 B.20 C．22 D．24 解析：选 B.由 S10＝S11，得 a11＝S11－S10＝0，所以 a1＝a11＋(1－11)d＝0＋(－10)×(－ 2)＝20. 3．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S3＝6，a3＝4，则公差 d 为( ) A．1 B. 5 3 C．2 D．3 解析：选 C.因为 S3＝ （a1＋a3）×3 2 ＝6，而 a3＝4，所以 a1＝0，所以 d＝ a3－a1 2 ＝2. 4．在等差数列{an}中，若 a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则前 9 项的和 S9 等于( ) A．66 B.99 C．144 D．297 解析：选 B.根据等差数列的性质得(a1＋a4＋a7)＋(a3＋a6＋a9)＝3(a1＋a9)＝66，所以 S9＝ 9（a1＋a9） 2 ＝99. 5．已知等差数列{an}中，Sn是其前 n 项和，a1＝－11， S10 10－ S8 8 ＝2，则 S11＝( ) A．－11 B.11 C．10 D．－10 解析：选 A.因为{an}为等差数列，所以 Sn n 为等差数列，首项S1 1 ＝a1＝－11，设 Sn n 的公 差为 d，则 S10 10－ S8 8 ＝2d＝2，所以 d＝1，所以 S11 11 ＝－11＋10d＝－1，所以 S11＝－11
6.设等差数列{a}的前n项和为S,若a=S=12,则{an}的通项公式an +5d=12, 解析:由已知得 故an=2n 3a1+3d=12d=2 答案:2n 7.在等差数列{a)中,a>0,a=2+4,S为数列{a}的前n项和,则S= 解析:因为在等差数列{a}中,an>0,毋=a+4,所以a+6d=(a+3d+4,解得 S为数列{an}的前n项和, 则S9=(a+a3)=19a0=152. 答案:152 8.在等差数列{a}中,a>0,ao·an0,a。0·a10,a<0, 所以T8=a+a+…+ao-ah1-ah a8=2S0-S8=60. 答案:60 9.已知等差数列{a}的前n项和为S,a=30,a0=50 (1)求通项公式an (2)若S=242,求n. 解:(1)由a0=30,a0=50 a1+9d=30 解得a1=12,d2. a+19d=50 所以an=a1+(n-1)d=2n+10 n(n-1) (2)由S=na1+ d=242, 2 (n-1) 得12n+ 2=242, 解得n=11或n=-22(舍去) 10.已知等差数列{a}满足a2=3,a+a5=2. (1)求{an}的通项公式 (2)求{a}的前n项和S及S的最大值 解:(1)设数列{an}的公差为d,因为等差数列{an}满足a=3,a+=2, 所以{+3 2a1+6d=2
6．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a6＝S3＝12，则{an}的通项公式 an＝________． 解析：由已知得 a1＋5d＝12， 3a1＋3d＝12 ⇒ a1＝2， d＝2， 故 an＝2n. 答案：2n 7．在等差数列{an}中，an>0，a7＝ 1 2 a4＋4，Sn为数列{an}的前 n 项和，则 S19＝________． 解析：因为在等差数列{an}中，an>0，a7＝ 1 2 a4＋4，所以 a1＋6d＝ 1 2 (a1＋3d)＋4，解得 a1＋9d＝a10＝8， Sn为数列{an}的前 n 项和， 则 S19＝ 19 2 (a1＋a19)＝19a10＝152. 答案：152 8．在等差数列{an}中，a1＞0，a10·a11＜0，若此数列前 10 项和 S10＝36，前 18 项和 S18 ＝12，则数列{|an|}的前 18 项和 T18＝________． 解析：由 a1＞0，a10·a11＜0 知 d＜0，且 a10＞0，a11＜0， 所以 T18＝a1＋a2＋…＋a10－a11－a12－…－a18＝2S10－S18＝60. 答案：60 9．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a10＝30，a20＝50. (1)求通项公式 an； (2)若 Sn＝242，求 n. 解：(1)由 a10＝30，a20＝50， 得 a1＋9d＝30 a1＋19d＝50 ，解得 a1＝12，d＝2. 所以 an＝a1＋(n－1)d＝2n＋10. (2)由 Sn＝na1＋ n（n－1） 2 d＝242， 得 12n＋ n（n－1） 2 ×2＝242， 解得 n＝11 或 n＝－22(舍去)． 10．已知等差数列{an}满足 a2＝3，a3＋a5＝2. (1)求{an}的通项公式； (2)求{an}的前 n 项和 Sn及 Sn的最大值． 解：(1)设数列{an}的公差为 d，因为等差数列{an}满足 a2＝3，a3＋a5＝2， 所以 a1＋d＝3， 2a1＋6d＝2
解得a1=4,d=-1 所以an=a+(n-1)d4+(m-1)×(-1)=5-n. (2)因为等差数列{an}中,a=4,d=-1,an=5-n, 所以S n(a+a)_n(4+5-n) 2 +一,因为n∈N 所以n=4或n=5时,S取最大值为10 [B能力提升] 11.(2019·昆明一中期末)已知等差数列{a}的前n项和为S,若m1,且an-1+an+ a=0,S-1=38,则m等于() B.20 (2m-1)(a+a-1) 解析:选C.S-1= (2m-1)a,a-1+a+1-=0台2a=a,由 S-1=38,可知a2>0,所以a=2,(2m1)×2=38,解得m=10,故选 .(2019·河北沧州一中高二(上)期中考试)在等差数列{an}中,前m(m为奇数)项和 为135,其中偶数项之和为63,且an-a1=14,则a0的值为 解析:因为在前m项中偶数项之和为S两=63,所以奇数项之和为S壽=135-63=72, 设等差数列{an}的公差为d则S-S=+(0、2-63=9.又a=a+d(m-1) 所以十=9,因为a-a=14,所以a=2,a=16,因为(a+4)=135,所以m=15, 所以d= 1,所以a0=a+99d=101. 答案:101 13.已知等差数列{an}的前n项和为S2,且a3+a5=a4+7,S0=100 (1)求{an}的通项公式: (2)求满足不等式S<3an-2的n的值 解:(1)设数列{an}的公差为d, 由a+a=a4+7,得2a+6d=a+3d+7,① 由S0=100得10a+45d=100,② 解得a=1,d=2, 所以an=a+(n-1)d=2m-1 n(a+a,) (2)因为a1=1,an=2m-1,所以S=
解得 a1＝4，d＝－1， 所以 an＝a1＋(n－1)d＝4＋(n－1)×(－1)＝5－n. (2)因为等差数列{an}中，a1＝4，d＝－1，an＝5－n， 所以 Sn＝ n（a1＋an） 2 ＝ n（4＋5－n） 2 ＝－ 1 2 n 2＋ 9 2 n＝－ 1 2 n－ 9 2 2 ＋ 81 8 ，因为 n∈N *， 所以 n＝4 或 n＝5 时，Sn取最大值为 10. [B 能力提升] 11．(2019·昆明一中期末)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 m>1，且 am－1＋am＋1 －a 2 m＝0，S2m－1＝38，则 m 等于( ) A．38 B.20 C．10 D．9 解析：选 C.S2m－1＝ （2m－1）（a1＋a2m－1） 2 ＝(2m－1)am，am－1＋am＋1－a 2 m＝0⇔2am＝a 2 m，由 S2m－1＝38，可知 am>0，所以 am＝2，(2m－1)×2＝38，解得 m＝10，故选 C. 12．(2019·河北沧州一中高二(上)期中考试)在等差数列{an}中，前 m(m 为奇数)项和 为 135，其中偶数项之和为 63，且 am－a1＝14，则 a100的值为________． 解析：因为在前 m 项中偶数项之和为 S 偶＝63，所以奇数项之和为 S 奇＝135－63＝72， 设等差数列{an}的公差为 d，则 S 奇－S 偶＝ 2a1＋（m－1）d 2 ＝72－63＝9.又 am＝a1＋d(m－1)， 所以a1＋am 2 ＝9，因为 am－a1＝14，所以 a1＝2，am＝16.因为m（a1＋am） 2 ＝135，所以 m＝15， 所以 d＝ 14 m－1 ＝1，所以 a100＝a1＋99d＝101. 答案：101 13．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a3＋a5＝a4＋7，S10＝100. (1)求{an}的通项公式； (2)求满足不等式 Sn<3an－2 的 n 的值． 解：(1)设数列{an}的公差为 d， 由 a3＋a5＝a4＋7，得 2a1＋6d＝a1＋3d＋7，① 由 S10＝100 得 10a1＋45d＝100，② 解得 a1＝1，d＝2， 所以 an＝a1＋(n－1)d＝2n－1. (2)因为 a1＝1，an＝2n－1，所以 Sn＝ n（a1＋an） 2 ＝n 2
由不等式S<3a-2,得n<3(2m-1) 所以,n-6n+5<0,解得1<m<5, 因为n∈N,所以n的值为2,3,4 14.(选做题)已知数列{an}的前n项和S=100n-n2(n∈N) (1)判断{a}是不是等差数列,若是,求其首项、公差; (2)设b=|a,求数列{b}的前n项和 解:(1)当n≥2时,a2=S2-S2-1=(100n-n2)一[100(m-1)-(m-1)2]=101-2n 因为a1=S=100×1-12=99符合上式, 所以an=101-2n(n∈N). 因为an+1-an=-2为常数, 所以数列{an}是首项为99,公差为-2的等差数列 (2)令a2=101-2n≥0,得 因为n∈N,所以n≤50(n∈N) ①当1≤n≤50(n∈N)时,a2)0,此时b=|a= 所以数列{bn}的前n项和S=100m-n2 ②当n≥51(n∈N)时,a<0,此时b2=|an=-an, 由b1+b2+…+bn=-(a1+2+…+a)=-(S-S=S0-S 得数列{bn}的前n项和S"a=S+(S0-S =2S0-S=2×2500-(100n-n) =5000-100n+n2 由①②得数列{bn}的前n项和为 S,={1007(n∈N,1≤n≤50), 5000-100n+n2(n∈N,n≥51) 数列的概念与简单表示法、等差数列(强化练)[学生用书P103(单独成册)] 、选择题 1.已知数列√3,3,√15 (2n-1),…,那么9在此数列中的项数是() B.13 D.15 解析:选C根据题意,a=3(2n-1).由a=3(2m-1)=9,解得n=14,即9 是此数列的第14项.故选C 2.(2019·湖北荆州检测)在等差数列{a}中,若a+a+=3,=8,则a2的值是 C.31 D.64
由不等式 Sn0，此时 bn＝|an|＝an， 所以数列{bn}的前 n 项和 S′n＝100n－n 2 . ②当 n≥51(n∈N * )时，an<0，此时 bn＝|an|＝－an， 由 b51＋b52＋…＋bn＝－(a51＋a52＋…＋an)＝－(Sn－S50)＝S50－Sn， 得数列{bn}的前 n 项和 S′n＝S50＋(S50－Sn) ＝2S50－Sn＝2×2 500－(100n－n 2 ) ＝5 000－100n＋n 2 . 由①②得数列{bn}的前 n 项和为 S′n＝ 100n－n 2（n∈N *，1≤n≤50）， 5 000－100n＋n 2（n∈N *，n≥51）. 数列的概念与简单表示法、等差数列(强化练)[学生用书 P103(单独成册)] 一、选择题 1．已知数列 3，3， 15，…， 3（2n－1），…，那么 9 在此数列中的项数是( ) A．12 B.13 C．14 D．15 解析：选 C.根据题意，an＝ 3（2n－1）.由 an＝ 3（2n－1）＝9，解得 n＝14，即 9 是此数列的第 14 项．故选 C. 2．(2019·湖北荆州检测)在等差数列{an}中，若 a3＋a4＋a5＝3，a8＝8，则 a12 的值是 ( ) A．15 B.30 C．31 D．64
解析:选A.设等差数列{an}的公差为d,因为a+a+=3,所以3a1=3,即a+3d =1.又由函=8得a+7d=8,联立解得a1 17 17.7 44+×11=15.故选A 3.若数列{a}是公差为1的等差数列,则{a2-1+2a2}是() A.公差为3的等差数列 B.公差为4的等差数列 C.公差为6的等差数列 公差为9的等差数列 解析:选C.设数列{an}的公差为d,令b=a2-+2an,则b+1=an+1+2an+2,所以bhn+ b=bn+1+2aa+2-(a-1+2a)=(a2+-a-1)+2(aa+2-a)=2d+4d=6d=6×1=6 4.(2019·长春十一中月考)已知等差数列{a}前9项的和为27,a0=8,则a00=() A.100 B 解析:选C.设等差数列{an}的公差为d,因为{a}为等差数列,且S=9a=27,所以a 3.又a0=8,解得5=a0-面=5,所以d1,所以a0=+95d=98 5.(2019·湖南濮阳月考)已知等差数列{a}一共有9项,前4项和为3,最后3项和为 4,则中间一项的值为() D 解析:选D.设等差数列{an}的公差为d,由题意得 13 ∫4a+6=3 解得 3a1+21d=4, 所以中间一项为a=a+422+4x6=6·故选D 6.数列{a}的通项公式a=D05,其前n项和为s,则Sm等于( A.1006 B.2020 D.1010 解析:选D.由题意知,a十a2+a+a=2,西十面+十通=2,…,故a+1+ak+2+k 2,k∈N,故S02o=505×2=1010 7.已知数列{a}满足a1=2,an+1 an+1an,那么a1=
解析：选 A.设等差数列{an}的公差为 d，因为 a3＋a4＋a5＝3，所以 3a4＝3，即 a1＋3d ＝1.又由 a8＝8 得 a1＋7d＝8，联立解得 a1＝－ 17 4 ，d＝ 7 4 ，则 a12＝－ 17 4 ＋ 7 4 ×11＝15.故选 A. 3．若数列{an}是公差为 1 的等差数列，则{a2n－1＋2a2n}是( ) A．公差为 3 的等差数列 B．公差为 4 的等差数列 C．公差为 6 的等差数列 D．公差为 9 的等差数列 解析：选 C.设数列{an}的公差为 d，令 bn＝a2n－1＋2a2n，则 bn＋1＝a2n＋1＋2a2n＋2，所以 bn＋ 1－bn＝a2n＋1＋2a2n＋2－(a2n－1＋2a2n)＝(a2n＋1－a2n－1)＋2(a2n＋2－a2n)＝2d＋4d＝6d＝6×1＝6. 4．(2019·长春十一中月考)已知等差数列{an}前 9 项的和为 27，a10＝8，则 a100＝( ) A．100 B.99 C．98 D．97 解析：选 C.设等差数列{an}的公差为 d，因为{an}为等差数列，且 S9＝9a5＝27，所以 a5 ＝3.又 a10＝8，解得 5d＝a10－a5＝5，所以 d＝1，所以 a100＝a5＋95d＝98. 5．(2019·湖南濮阳月考)已知等差数列{an}一共有 9 项，前 4 项和为 3，最后 3 项和为 4，则中间一项的值为( ) A. 17 20 B. 59 60 C．1 D． 67 66 解析：选 D.设等差数列{an}的公差为 d，由题意得 4a1＋6d＝3， 3a1＋21d＝4， 解得 a1＝ 13 22， d＝ 7 66. 所以中间一项为 a5＝a1＋4d＝ 13 22＋4× 7 66＝ 67 66.故选 D. 6．数列{an}的通项公式 an＝ncos nπ 2 ，其前 n 项和为 Sn，则 S2 020 等于( ) A．1 006 B.2 020 C．505 D．1 010 解析：选 D.由题意知，a1＋a2＋a3＋a4＝2，a5＋a6＋a7＋a8＝2，…，故 a4k＋1＋a4k＋2＋a4k ＋3＋a4k＋4＝2，k∈N，故 S2 020＝505×2＝1 010. 7．已知数列{an}满足 a1＝2，an＋1－an＝an＋1an，那么 a31＝( )
解析:选B.由已知可得 1,设b=,则数列{b}是以为首项,公差为-1 的等差数列,所以b21=+(31-1)×(-1) 故a1= 2 8.《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有女不 善织,日减功迟,初日织五尺,末日织一尺,今三十织迄,问织几何.”其意思为:有个女 子不善于织布,每天比前一天少织同样多的布,第一天织五尺,最后一天织一尺,三十天织 完,问三十天共织布() A.30尺 B.90尺 C.150尺 D.180尺 解析:选B.由题意知,该女子每天织布的数量组成等差数列{an},其中a=5,ao0=1, 30×(5+1) 所以S 即共织布90尺 9.已知数列{a)满足:a=7,对于任意的n∈N都有a=2a1(1-a),则a一四 D 解析:选D.a1 346 x×元=,a=2××=7,…归纳可知, 当n为大于1的奇数时,27当n为正偶数时,么≈3 故 10.在等差数列{an}中,首项a1>0,公差d≠0,前n项和为Sn(n∈N).有下列命题 ①若S=S1,则必有S4=0;②若S=S1,则必有S是S中最大的项;③若S>S,则 必有S>S;④若S>S,则必有S>S.其中正确命题的个数是() B.2 D.4 解析:选D.根据等差数列的性质,若S1-S=4(a+a)=0,则a+函=0,S 14(a1+a14) 7(a+a)=0,根据等差数列S的图象,当S=S时,对称轴是n=2= 7,那么S是最大值:若S>S,则aS,S
A．－ 3 58 B.－ 2 59 C．－ 1 30 D．－ 2 61 解析：选 B.由已知可得 1 an＋1 － 1 an ＝－1，设 bn＝ 1 an ，则数列{bn}是以1 2 为首项，公差为－1 的等差数列，所以 b31＝ 1 2 ＋(31－1)×(－1)＝－ 59 2 ，故 a31＝－ 2 59. 8．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不 善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其意思为：有个女 子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织 完，问三十天共织布( ) A．30 尺 B.90 尺 C．150 尺 D．180 尺 解析：选 B.由题意知，该女子每天织布的数量组成等差数列{an}，其中 a1＝5，a30＝1， 所以 S30＝ 30×（5＋1） 2 ＝90，即共织布 90 尺． 9．已知数列{an}满足：a1＝ 1 7 ，对于任意的 n∈N *都有 an＋1＝ 7 2 an(1－an)，则 a2 019－a2 020 ＝( ) A．－ 2 7 B. 2 7 C．－ 3 7 D． 3 7 解析：选 D.a1＝ 1 7 ，a2＝ 7 2 × 1 7 × 6 7 ＝ 3 7 ，a3＝ 7 2 × 3 7 × 4 7 ＝ 6 7 ，a4＝ 7 2 × 6 7 × 1 7 ＝ 3 7 ，….归纳可知， 当 n 为大于 1 的奇数时，an＝ 6 7 ；当 n 为正偶数时，an＝ 3 7 .故 a2 019－a2 020＝ 3 7 . 10．在等差数列{an}中，首项 a1>0，公差 d≠0，前 n 项和为 Sn(n∈N * )．有下列命题： ①若 S3＝S11，则必有 S14＝0；②若 S3＝S11，则必有 S7 是 Sn中最大的项；③若 S7>S8，则 必有 S8>S9；④若 S7>S8，则必有 S6>S9.其中正确命题的个数是( ) A．1 B.2 C．3 D．4 解析：选 D.根据等差数列的性质，若 S11－S3＝4(a7＋a8)＝0，则 a7＋a8＝0，S14＝ 14（a1＋a14） 2 ＝7(a7＋a8)＝0，根据等差数列 Sn的图象，当 S3＝S11 时，对称轴是 n＝ 3＋11 2 ＝ 7，那么 S7 是最大值；若 S7>S8，则 a8S9，S9
S=a十十函=3aS.故①②③④正确 、填空题 11.已知数列{a}满足a1=1,a=1,an+2=an+an+1(n∈N),则 解析:因为a+2=an+a+1,所以a=a1十a=2,=品+a3=3,=品十a=5,=a4 十a=8 答案:8 12.已知等差数列{a}中,a与a6的等差中项为5,a与a的等差中项为7,则an= 解析:设等差数列{an}的公差为d,依题意,a1=5,a=7,又a=a+d,得d=2. 所以a1=a1-3d=5-3×2=-1, 故a2=a1+2(m-1)=2n-3. 答案 13.已知等差数列{an}中,a=2,a1=8,若abn=3n-1,则b208= 解析:由a=2,a=8,得公差d=+。=3,所以a2=2+(m-2)×3=3m-4,所以an +1=3m-1.又由数列{a}的公差不为0,所以结合ab=3m-1,可得b=n+1,故h201s=2019 答案:2019 14.设等差数列{a},{b}的前n项和分别为S,,若对任意正整数n都有5=2=3, +h btb 的值为 解析:因为{a,(b为等差数列,所以+b+b2A+2A2A 因 a12a62×11-319 19 +b1=24=4×11-3=41,所以=41 答案 三、解答题 15.在等差数列{an}中 (1)已知a2=-1,S5=75,求a与S (2)已知d=2,S0=10000,求a与an 解:(1)设{an}的公差为d.因为{an}是等差数列,S是其前n项和,a=-1,S5=75, 所以 S5=1515×14 解得 2,d=1
－S6＝a7＋a8＋a9＝3a8S9.故①②③④正确． 二、填空题 11．已知数列{an}满足 a1＝1，a2＝1，an＋2＝an＋an＋1(n∈N * )，则 a6＝________． 解析：因为 an＋2＝an＋an＋1，所以 a3＝a1＋a2＝2，a4＝a2＋a3＝3，a5＝a3＋a4＝5，a6＝a4 ＋a5＝8. 答案：8 12．已知等差数列{an}中，a2 与 a6 的等差中项为 5，a3 与 a7 的等差中项为 7，则 an＝ ________． 解析：设等差数列{an}的公差为 d，依题意，a4＝5，a5＝7，又 a5＝a4＋d，得 d＝2. 所以 a1＝a4－3d＝5－3×2＝－1， 故 an＝a1＋2(n－1)＝2n－3. 答案：2n－3 13．已知等差数列{an}中，a2＝2，a4＝8，若 abn＝3n－1，则 b2 018＝________． 解析：由 a2＝2，a4＝8，得公差 d＝ 8－2 2 ＝3，所以 an＝2＋(n－2)×3＝3n－4，所以 an ＋1＝3n－1.又由数列{an}的公差不为 0，所以结合 abn＝3n－1，可得 bn＝n＋1，故 b2 018＝2 019. 答案：2 019 14．设等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn，若对任意正整数 n 都有Sn Tn ＝ 2n－3 4n－3 ， 则 a9 b5＋b7 ＋ a3 b8＋b4 的值为________． 解析：因为{an}，{bn}为等差数列，所以 a9 b5＋b7 ＋ a3 b8＋b4 ＝ a9 2b6 ＋ a3 2b6 ＝ a9＋a3 2b6 ＝ a6 b6 .因为S11 T11 ＝ a1＋a11 b1＋b11 ＝ 2a6 2b6 ＝ 2×11－3 4×11－3 ＝ 19 41，所以a6 b6 ＝ 19 41. 答案：19 41 三、解答题 15．在等差数列{an}中， (1)已知 a2＝－1，S15＝75，求 an与 Sn； (2)已知 d＝2，S100＝10 000，求 a1 与 an. 解：(1)设{an}的公差为 d.因为{an}是等差数列，Sn是其前 n 项和，a2＝－1，S15＝75， 所以 a2＝a1＋d＝－1， S15＝15a1＋ 15×14 2 d＝75， 解得 a1＝－2，d＝1
所以a2=-2+(m-1)×1=n-3. n2-5 (2)因为S00=100a+ 100×(100-1) ×2=10000 2 所以a1=1, 所以a=a+(m-1)d=2n-1 16.设{an}为等差数列,S为数列{a}的前n项和,已知S=7,S5=75,7为数列当的 前n项和,求Tn 解:设等差数列{an}的公差为d,则S=ma+=n(n-1)d 7a+21d=7, 因为S=7,S5=75,所以 所以a=-2,d=1 15a1+105d=75 所以S ,所以 所以数列是等差数列,其首项为-2,公差 为1 所以T=-2n+ n(m-1)11 福建外国语中学调研)已知等差数列{an}的公差d0,前n项和为S,且aa (1)求数列{a}的通项公式; (2)若b=m+c(c为非零常数),且数列(b)也是等差数列,求c的值 解:()因为S=2.,所以(a+2)×4=28, 所以a+a=14,则a+a=14 又a2a3=45,公差d0 所以aa,品=5,a= a+d=5, 所以 a1+2d=9, 所以an=4n-3 (2)由(1)知S=2-m,所以b=S2n-n 所以b= 2+e,4=15 1+c’4s6
所以 an＝－2＋(n－1)×1＝n－3. Sn＝－2n＋ n（n－1） 2 ×1＝ n 2－5n 2 . (2)因为 S100＝100a1＋ 100×（100－1） 2 ×2＝10 000， 所以 a1＝1， 所以 an＝a1＋(n－1)d＝2n－1. 16．设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前 n 项和，已知 S7＝7，S15＝75，Tn为数列 Sn n 的 前 n 项和，求 Tn. 解：设等差数列{an}的公差为 d，则 Sn＝na1＋ 1 2 n(n－1)d. 因为 S7＝7，S15＝75，所以 7a1＋21d＝7， 15a1＋105d＝75. 所以 a1＝－2，d＝1. 所以 Sn＝ n 2－5n 2 ，所以Sn n ＝ 1 2 n－ 5 2 ， 所以数列 Sn n 是等差数列，其首项为－2，公差为 1 2 . 所以 Tn＝－2n＋ n（n－1） 2 × 1 2 ＝ 1 4 n 2－ 9 4 n. 17．(2019·福建外国语中学调研)已知等差数列{an}的公差 d>0，前 n 项和为 Sn，且 a2a3 ＝45，S4＝28. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若 bn＝ Sn n＋c (c 为非零常数)，且数列{bn}也是等差数列，求 c 的值． 解：(1)因为 S4＝28，所以（a1＋a4）×4 2 ＝28， 所以 a1＋a4＝14，则 a2＋a3＝14， 又 a2a3＝45，公差 d>0， 所以 a2<a3，a2＝5，a3＝9， 所以 a1＋d＝5， a1＋2d＝9， 解得 a1＝1， d＝4， 所以 an＝4n－3. (2)由(1)知 Sn＝2n 2－n，所以 bn＝ Sn n＋c ＝ 2n 2－n n＋c ， 所以 b1＝ 1 1＋c ，b2＝ 6 2＋c ，b3＝ 15 3＋c
又{bn}是等差数列 所以b1+b=2b2, 6 即2× 2+c1+c3+c 解得c=_1 (c=0舍去) 18.某工厂用分期付款的方式购买40套机器设备,共需1150万元,购买当天先付150 万元,以后每月这一天都交付50万元,并加付欠款利息,月利率为1%,若交付150万元后 的第1个月开始算分期付款的第1个月,问分期付款的第10个月应付多少钱?全部按期付 清后,买这40套机器设备实际花了多少钱? 解:因为购买设备时已付150万元,所以欠款为1000万元,依据题意,知其后应分 20次付款, 则每次付款的数额顺次构成数列{a},且a2=50+1000×1%=60,a2=50+(1000 50)×1%=59.5,a3=50 +(1000-50×2)×1%=59,…,an=50+[1000-50(m-1)]×1%=60-0.5(n 1)(1≤n≤20,n∈N), 所以数列{a}是以60为首项,-0.5为公差的等差数列, 所以a0=60-9×0.5=55.5 20[60+(60-19×0.5)] S20 所以全部按期付清后,买这40套机器设备实际共花费了1105+150=1255(万元) 故分期付款的第10个月应付55.5万元,全部按期付清后,买这40套机器设备实际花 了1255万元
又{bn}是等差数列， 所以 b1＋b3＝2b2， 即 2× 6 2＋c ＝ 1 1＋c ＋ 15 3＋c ， 解得 c＝－ 1 2 (c＝0 舍去)． 18．某工厂用分期付款的方式购买 40 套机器设备，共需 1 150 万元，购买当天先付 150 万元，以后每月这一天都交付 50 万元，并加付欠款利息，月利率为 1%，若交付 150 万元后 的第 1 个月开始算分期付款的第 1 个月，问分期付款的第 10 个月应付多少钱？全部按期付 清后，买这 40 套机器设备实际花了多少钱？ 解：因为购买设备时已付 150 万元，所以欠款为 1 000 万元，依据题意，知其后应分 20 次付款， 则每次付款的数额顺次构成数列{an}，且 a1＝50＋1 000×1%＝60，a2＝50＋(1 000－ 50)×1%＝59.5，a3＝50 ＋(1 000－50×2)×1%＝59，…，an＝50＋[1 000－50(n－1)]×1%＝60－0.5(n－ 1)(1≤n≤20，n∈N * )， 所以数列{an}是以 60 为首项，－0.5 为公差的等差数列， 所以 a10＝60－9×0.5＝55.5， S20＝ 20[60＋（60－19×0.5）] 2 ＝1 105. 所以全部按期付清后，买这 40 套机器设备实际共花费了 1 105＋150＝1 255(万元)． 故分期付款的第 10 个月应付 55.5 万元，全部按期付清后，买这 40 套机器设备实际花 了 1 255 万元．