高效演练知能提升 A级基础巩固 、选择题 1.在等差数列{an)中,a+=10,则as的值为() B.6 C.8 D.10 解析:由等差数列的性质,得a1+a=2a5, 又因为a+a=10,即2as=10, 所以a5=5. 答案:A 2.数列{an}满足3+an=an+1且a2+a4+a6=9,则log6as+a+a 值是() B C D 解析:因为an+1-an2=3, 所以{an}为等差数列,且d=3 a2+a4+a6=9=3a,所以a4=3, as+a+a9=3m=3(4+3d=3(3+3×3)=36, 所以log6(as+an+a9)=log36=2. 答案:C 3.由公差≠0的等差数列a,a2,…,an组成一个新的数列a1+a3 a2+a4,a3+as,…下列说法正确的是() A.新数列不是等差数列 B.新数列是公差为d的等差数列 C.新数列是公差为2d的等差数列 D.新数列是公差为3d的等差数列 解析:因为(an+1+an+3)-(an+a+2)=(an+1-an)+(an+3-an+2)=2d
A 级 基础巩固 一、选择题 1．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则 a5的值为( ) A．5 B．6 C．8 D．10 解析：由等差数列的性质，得 a1＋a9＝2a5， 又因为 a1＋a9＝10，即 2a5＝10， 所以 a5＝5. 答案：A 2．数列{an}满足 3＋an＝an＋1且 a2＋a4＋a6＝9，则 log6(a5＋a7＋a9)的 值是( ) A．－2 B．－ 1 2 C．2 D. 1 2 解析：因为 an＋1－an＝3， 所以{an}为等差数列，且 d＝3. a2＋a4＋a6＝9＝3a4，所以 a4＝3， a5＋a7＋a9＝3a7＝3(a4＋3d)＝3(3＋3×3)＝36， 所以 log6(a5＋a7＋a9)＝log636＝2. 答案：C 3．由公差 d≠0 的等差数列 a1，a2，…，an组成一个新的数列 a1＋a3， a2＋a4，a3＋a5，…下列说法正确的是( ) A．新数列不是等差数列 B．新数列是公差为 d 的等差数列 C．新数列是公差为 2d 的等差数列 D．新数列是公差为 3d 的等差数列 解析：因为(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝2d
所以数列a+a3,a2+a4,a3+as,…是公差为2d的等差数列 答案:C 4.在数列{an}中,a3=2,a7=1,如果数列 a+是等差数列,那么 a1等于 解析:依题意得1+1=2.1 a1+1 +1 所以 2 12 a1+11+12+13 所以a1 答案:B 5.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这 样的题:把100个面包分给5个人,使每个人的所得成等差数列,且使较 大的三份之和的是较小的两份之和,则最小的一份的量为() B D 解析:易得中间的一份为20个面包,设最小的一份的量为a1,公差 为d(d0),根据题意,有20+(a1+3+(a1+4×=a1+(a1+a,解得 故最小一份的量为2个 答案:C 二、填空题 6.在等差数列{an}中,a,a是方程x2-3x-5=0的根,则as+a
所以数列 a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差为 2d 的等差数列． 答案：C 4．在数列{an}中，a3＝2，a7＝1，如果数列 1 an＋1 是等差数列，那么 a11等于( ) A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D．1 解析：依题意得 1 a3＋1 ＋ 1 a11＋1 ＝2· 1 a7＋1 ， 所以 1 a11＋1 ＝ 2 1＋1 － 1 2＋1 ＝ 2 3 ， 所以 a11＝ 1 2 . 答案：B 5．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这 样的题：把 100 个面包分给 5 个人，使每个人的所得成等差数列，且使较 大的三份之和的1 7 是较小的两份之和，则最小的一份的量为( ) A. 5 2 个 B. 5 4 个 C. 5 3 个 D. 5 6 个 解析：易得中间的一份为 20 个面包，设最小的一份的量为 a1，公差 为 d(d>0)，根据题意，有[20＋(a1＋3d)＋(a1＋4d)]× 1 7 ＝a1＋(a1＋d)，解得 a1＝ 5 3 . 故最小一份的量为5 3 个． 答案：C 二、填空题 6．在等差数列{an}中，a3，a10是方程 x 2－3x－5＝0 的根，则 a5＋a8 ＝________．
解析:由已知得a3+a10=3. 又数列{an}为等差数列 所以as+a8=a3+a1=3. 答案:3 7.正项数列{a满足a1=1,a2=2,2m=c2+1+c2-(n∈N,n≥2), 解析:由2Gl=a2+1+c2-∈N,n≥2),可得数列{c}是等差数列, 公差d=a2-a=3,首项a=1,所以G=1+3(n-1)=3n-2,又{an}为 正项数列, 所以a=、3n-2,所以m=19 答案:√19 8.已知数列)满足m=1,若点向,“比在直线x-y+1=0上 则a 解析:由题设可得 (n an+1 n+1 1=0 即 +1 n+1 n 1,所以数列是以1为公差的等差数列,且首项为1, n 故通项公式=n,所以an=m2 答案 、解答题 9.已知等差数列{a中,a1+a4+a7=15,a2amn6=45,求此数列的通 项公式 解:法一因为a1+a=2a4,a1+a+a7=3m4=15, 所以a4=5 又因为a2a46=45,所以a206=9, 即(a4-2d(a4+2d=9
解析：由已知得 a3＋a10＝3. 又数列{an}为等差数列， 所以 a5＋a8＝a3＋a10＝3. 答案：3 7．正项数列{an}满足 a1＝1，a2＝2，2a 2 n＝a 2 n＋1＋a 2 n－1(n∈N*，n≥2)， 则 a7＝________． 解析：由 2a 2 n＝a 2 n＋1＋a 2 n－1(n∈N*，n≥2)，可得数列{a 2 n}是等差数列， 公差 d＝a 2 2－a 2 1＝3，首项 a 2 1＝1，所以 a 2 n＝1＋3(n－1)＝3n－2，又{an}为 正项数列， 所以 an＝ 3n－2，所以 a7＝ 19. 答案： 19 8．已知数列{an}满足 a1＝1，若点 a n n ， an＋1 n＋1 在直线 x－y＋1＝0 上， 则 an＝________________． 解析：由题设可得an n － an＋1 n＋1 ＋1＝0， 即 an＋1 n＋1 － an n ＝1，所以数列 an n 是以 1 为公差的等差数列，且首项为 1， 故通项公式an n ＝n，所以 an＝n 2 . 答案：n 2 三、解答题 9．已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通 项公式． 解：法一 因为 a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15， 所以 a4＝5. 又因为 a2a4a6＝45，所以 a2a6＝9， 即(a4－2d)(a4＋2d)＝9
5-2d)(5+2d=9, 解得d=±2 若d=2,an=a+(m-4)d=2n-3; 若d=-2,an=a4+(-4)d=13-2n 法二设等差数列的公差为d 则由a+a4+a7=15,得 a1+a1+3d+a1+6d=15, 即a1+3=5,① 由a2046=45, 得(a1+d(a1+3da1+5=45, 将①代入上式,得 (a1+d×5×(5+2d)=45, 即(a1+×(5+21=9,② 解①,②组成的方程组,得a=-1,d=2或m=11,d=-2, 即a=-1+2(m-1)=2n-3, 或an=11-2(n-1)=-2n+13. 10.四个数成递增等差数列,中间两数的和为2,首末两项的积为-8, 求这四个数. 解:设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3减公差为2d, 依题意,2a=2,且(a-3d(a+3d=-8 即a=1,a2-9=-8, 所以d=1,所以d=1或d=-1 又四个数成递增等差数列,所以d0, 所以d=1,故所求的四个数为一2,0,2,4 B级能力提升 1.若方程x2-2x+m(x2-2x+n=0的四个根组成一个首项为的等
(5－2d)(5＋2d)＝9， 解得 d＝±2. 若 d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3； 若 d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n. 法二 设等差数列的公差为 d， 则由 a1＋a4＋a7＝15，得 a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝15， 即 a1＋3d＝5，① 由 a2a4a6＝45， 得(a1＋d)(a1＋3d)(a1＋5d)＝45， 将①代入上式，得 (a1＋d)×5×(5＋2d)＝45， 即(a1＋d)×(5＋2d)＝9，② 解①，②组成的方程组，得 a1＝－1，d＝2 或 a1＝11，d＝－2， 即 an＝－1＋2(n－1)＝2n－3， 或 an＝11－2(n－1)＝－2n＋13. 10．四个数成递增等差数列，中间两数的和为 2，首末两项的积为－8， 求这四个数． 解：设这四个数为 a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为 2d)， 依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8， 即 a＝1，a 2－9d 2＝－8， 所以 d 2＝1，所以 d＝1 或 d＝－1. 又四个数成递增等差数列，所以 d>0， 所以 d＝1，故所求的四个数为－2，0，2，4. B 级 能力提升 1．若方程(x 2－2x＋m)(x 2－2x＋n)＝0 的四个根组成一个首项为1 4 的等
差数列,则m-n=( B C 解析:设方程的四个根a1,a2,ay,a4依次成等差数列, 则a1+a4=a2+a3=2, 再设此等差数列的公差为d,则2a+3=2, 因为a1=4,所以=2 所以a2=+ a3=+1 所以m-川=a1a-a23=X一元× 答案:C 2.已知圆的方程为x2+y2-6x=0,过点(1,2)的该圆的三条弦的长 a1,a2,a3构成等差数列,则数列a,a,a3的公差的最大值是 解析:如图,由x2+y2-6x=0,得(x-3)2+y2=9, 所以圆心坐标C(3,0),半径r=3, 由圆的性质可知,过点P(1,2)的该圆的弦的最大值为圆的直径,等 于6 最小值为过P且垂直于CP的弦的弦长, 因为CP=√(3-1)2+(0-2)2=2, 所以AB=232-(2)2=2, 即a1=2,a3=6
差数列，则|m－n|＝( ) A．1 B. 3 4 C. 1 2 D. 3 8 解析：设方程的四个根 a1，a2，a3，a4依次成等差数列， 则 a1＋a4＝a2＋a3＝2， 再设此等差数列的公差为 d，则 2a1＋3d＝2， 因为 a1＝ 1 4 ，所以 d＝ 1 2 ， 所以 a2＝ 1 4 ＋ 1 2 ＝ 3 4 ， a3＝ 1 4 ＋1＝ 5 4 ， a4＝ 1 4 ＋ 3 2 ＝ 7 4 ， 所以|m－n|＝|a1a4－a2a3|＝ 1 4 × 7 4 － 3 4 × 5 4 ＝ 1 2 . 答案：C 2．已知圆的方程为 x 2＋y 2－6x＝0，过点(1，2)的该圆的三条弦的长 a1，a2，a3构成等差数列，则数列 a1，a2，a3的公差的最大值是________． 解析：如图，由 x 2＋y 2－6x＝0，得(x－3)2＋y 2＝9， 所以圆心坐标 C(3，0)，半径 r＝3， 由圆的性质可知，过点 P(1，2)的该圆的弦的最大值为圆的直径，等 于 6， 最小值为过 P 且垂直于 CP 的弦的弦长， 因为|CP|＝ （3－1）2＋（0－2）2＝2 2， 所以|AB|＝2 3 2－（2 2）2＝2， 即 a1＝2，a3＝6
所以公差d的最大值为,=,=2. 答案:2 3.在数列{an}中,a1=1,3an1an-1+anan-1=0≥2,n∈N) (1)求证:数列是等差数列 (2)求数列{am}的通项公式 (1)证明:由3anan-1+an-an-1=0, 得 3(n≥2) 又因为a1=1, 所以数列是以1为首项,3为公差的等差数列 (2)解:由(1)可得=1+3(n-1)=3n-2, 所以“n3m-2 又当n=1时,m1=1,符合上式, 所以数列{am的通项公式是an-3n-2
所以公差 d 的最大值为a3－a1 2 ＝ 6－2 2 ＝2. 答案：2 3．在数列{an}中，a1＝1，3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N* )． (1)求证：数列 1 an 是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． (1)证明：由 3anan－1＋an－an－1＝0， 得 1 an － 1 an－1 ＝3(n≥2)． 又因为 a1＝1， 所以数列 1 an 是以 1 为首项，3 为公差的等差数列． (2)解：由(1)可得1 an ＝1＋3(n－1)＝3n－2， 所以 an＝ 1 3n－2 . 又当 n＝1 时，a1＝1，符合上式， 所以数列{an}的通项公式是 an＝ 1 3n－2
