等差数列的性质 A组基础巩固 1.若等差数列{an}中,a+a一a0=8,a1-a=4,则十+函等于( A.34B.35 C.36D.37 解析:由题意得: (a3+a-a10)+(a1-a)=12, ∴(a+a1)+a-(a0+a)=12. ∴a=12,∴+a十=3a1=36. 答案:C N3+v2 3-v2 ,则a、b的等差中项为( A.3 B. 2 解析 3+V2 + √3 答案:A 3.数列{a}满足3+an=an+1(n∈N)且a+a+a=9,则1og6(a+a+函)的值是() C.2D. 解析:由已知可得{an}是等差数列,公差d=3, ∴十a十=品十a十品+9d=36, ∴10g5(a+a十画)=2. 答案:C 4.在等差数列{a}中,若a+十函+a0+a2=240,则a--a1的值为() A.30B.31 C.32D.33 解析:由等差数列的性质可得a十十函十函0+a2=240,解得函=48,设等差数列{
等差数列的性质 A 组 基础巩固 1．若等差数列{an}中，a3＋a7－a10＝8，a11－a4＝4，则 a6＋a7＋a8 等于( ) A．34 B．35 C．36 D．37 解析：由题意得： (a3＋a7－a10)＋(a11－a4)＝12， ∴(a3＋a11)＋a7－(a10＋a4)＝12. ∵a3＋a11＝a10＋a4， ∴a7＝12，∴a6＋a7＋a8＝3a7＝36. 答案：C 2．a＝ 1 3＋ 2 ，b＝ 1 3－ 2 ，则 a、b 的等差中项为( ) A. 3 B. 2 C. 3 3 D. 2 2 解析：a＋b 2 ＝ 1 3＋ 2 ＋ 1 3－ 2 2 ＝ 3－ 2 ＋ 3＋ 2 2 ＝ 3. 答案：A 3．数列{an}满足 3＋an＝an＋1(n∈N * )且 a2＋a4＋a6＝9，则 log6(a5＋a7＋a9)的值是( ) A．－2 B．－ 1 2 C．2 D. 1 2 解析：由已知可得{an}是等差数列，公差 d＝3， ∴a5＋a7＋a9＝a2＋a4＋a6＋9d＝36， ∴log6(a5＋a7＋a9)＝2. 答案：C 4．在等差数列{an}中，若 a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝240，则 a9－ 1 3 a11的值为( ) A．30 B．31 C．32 D．33 解析：由等差数列的性质可得 a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝240，解得 a8＝48，设等差数列{an}
的公差为d_1 a1=+d-(a+3d==a=32,故选C 答案:C 5.设x≠y,且两数列x,a,,,y和b,x,b,b,yb均为等差数列, 4 解析:由d=2-2知a二a= b3 由②÷①得④~b8 答案:C 6.在等差数列{a}中,a0=10g27,品m=10g,则aa1=() A.0B.7 C.1D.49 解析:∵数列{an}是等差数列,∴a是a与a。的等差中项, 即2a201=a200+a22=1og27+10g2=1og21=0,故a201=0. 答案:A 7.已知数列-1,x,9和-1,y,y,y29都是等差数列,则二= 解析:设两个等差数列的公差分别为d和d, 则3=9-(-1)=10.d=10,44=9-(-1)=10,d=5 于是当=253 答案:2 8.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数
的公差为 d，a9－ 1 3 a11＝a8＋d－ 1 3 (a8＋3d)＝ 2 3 a8＝32，故选 C. 答案：C 5．设 x≠y，且两数列 x，a1，a2，a3，y 和 b1，x，b2，b3，y，b4 均为等差数列，则b4－b3 a2－a1 ＝ ( ) A. 4 3 B. 3 4 C. 8 3 D. 3 8 解析：由 d＝ an－am n－m 知 a2－a1 3－2 ＝ y－x 5－1 ， ∴a2－a1＝ y－x 4 . ① 又 b4－b3 6－4 ＝ y－x 5－2 ，∴b4－b3＝ 2 3 (y－x)． ② 由②÷①得 b4－b3 a2－a1 ＝ 8 3 . 答案：C 6．在等差数列{an}中，a2 000＝log27，a2 022＝log2 1 7 ，则 a2 011＝( ) A．0 B．7 C．1 D．49 解析：∵数列{an}是等差数列，∴a2 011 是 a2 000 与 a2 022的等差中项， 即 2a2 011＝a2 000＋a2 022＝log27＋log2 1 7 ＝log21＝0，故 a2 011＝0. 答案：A 7．已知数列－1，x1，x2,9 和－1，y1，y2，y3,9 都是等差数列，则y3－y1 x2－x1 ＝________. 解析：设两个等差数列的公差分别为 d1 和 d2， 则 3d1＝9－(－1)＝10，d1＝ 10 3 ，4d2＝9－(－1)＝10，d2＝ 5 2 ， 于是y3－y1 x2－x1 ＝ 2d2 d1 ＝ 5 10 3 ＝ 3 2 . 答案：3 2 8．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数
列,最上面4节的容积共3升,最下面3节的容积共4升,则第5节的容积为 解析:解法一:设自上第一节竹子容积为a,则第9节容积为,且数列{a}为等差数列 由a+a+a+a=3,a+十函=4, 14a-10=3 13a+9d=4, ②解得≈67 解法二:设自上第一节竹子容积为a,依次类推,数列{a}为等差数列.又a+a+a+ a=4a+6=3,a++a=3a+21=4,解得a=2,6,∴=a+42+4x 答案 9.已知函数f(3x x+3,在数列中,x=r(x-)(n≥2,n∈N ()求证:{2 是等差数列; (2)求当=时,题05的值 解析:(1)证明:∵f(x) x+3’=f(x-1) 3xa-1 xn-1+3X23x=13x-1 即1-1=1(n≥2,neN) 是等差数列 (2)由(1)可知一是等差数列,且=2,八、的x+(m-1)d=2+(m-1) 2020 =2+×(2015-1) X2015 2020 10.已知{an}是等差数列,且a+a+a3=12,a=16 (1)求数列{a}的通项公式; (2)若从数列{a}中,依次取出第2项,第4项,第6项,…,第2n项,按原来顺序组成 个新数列{b},试求出{b}的通项公式 解:(1)∵a+a十a3=12,∴a=4 ∵a=a+(8-2)d,∴16=4+6d,∴d=2
列，最上面 4 节的容积共 3 升，最下面 3 节的容积共 4 升，则第 5 节的容积为________升． 解析：解法一：设自上第一节竹子容积为 a1，则第 9 节容积为 a9，且数列{an}为等差数列． 由 a1＋a2＋a3＋a4＝3，a7＋a8＋a9＝4， 即 4a5－10d＝3，① 3a5＋9d＝4，② 解得 a5＝ 67 66. 解法二：设自上第一节竹子容积为 a1，依次类推，数列{an}为等差数列．又 a1＋a2＋a3＋ a4＝4a1＋6d＝3，a7＋a8＋a9＝3a1＋21d＝4，解得 a1＝ 13 22，d＝ 7 66，∴a5＝a1＋4d＝ 13 22＋4× 7 66＝ 67 66. 答案：67 66 9．已知函数 f(x)＝ 3x x＋3 ，在数列{xn}中，xn＝f(xn－1)(n≥2，n∈N * )． (1)求证： 1 xn 是等差数列； (2)求当 x1＝ 1 2 时，x2 015 的值． 解析：(1)证明：∵f(x)＝ 3x x＋3 ，xn＝f(xn－1)， ∴xn＝ 3xn－1 xn－1＋3 .∴ 1 xn ＝ xn－1＋3 3xn－1 ＝ 1 3 ＋ 1 xn－1 . 即 1 xn － 1 xn－1 ＝ 1 3 (n≥2，n∈N * )． ∴ 1 xn 是等差数列． (2)由(1)可知 1 xn 是等差数列，且1 x1 ＝2，公差 d＝ 1 3 ，∴ 1 xn ＝ 1 x1 ＋(n－1)d＝2＋ 1 3 (n－1)． ∴ 1 x2 015 ＝2＋ 1 3 ×(2 015－1)＝ 2 020 3 . ∴x2 015＝ 3 2 020. 10．已知{an}是等差数列，且 a1＋a2＋a3＝12，a8＝16. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若从数列{an}中，依次取出第 2 项，第 4 项，第 6 项，…，第 2n 项，按原来顺序组成 一个新数列{bn}，试求出{bn}的通项公式． 解：(1)∵a1＋a2＋a3＝12，∴a2＝4， ∵a8＝a2＋(8－2)d，∴16＝4＋6d，∴d＝2
∴a=a+(n-2)d=4+(n-2)×2=2n (2)a2=4,a=8,a=16,…,a2=2×2n=4n. 当m1时,a。-a(a-1=4n-4(m-1)=4 ∴{bn}是以4为首项,4为公差的等差数列 ∴b=b+(n-1)d=4+4(m-1)=4n. B组能力提升 1.在△ABC中,a,b,c分别为A,B,C的对边,如果a,b,c成等差数列,B=30 △ABC的面积为1.5,那么b等于() 2+y3 C D.2+ √3 解析:灵活选择三角形面积公式,再结合余弦定理可解出b的值. 由a,b,c成等差数列可得2b=a+c. 又58m=1.5,即 actin30°=ac=2 ∴ac=6. 由余弦定理,得 b=a+c-2accos30. =(a+c)2-2ac-6 =4-12-6√3 ∴b=4+2 又∵b是△ABC的一条边,∴b0, ∴b=√3+1.故选B. 答案:B 12.若{a}为等差数列,且a十a十函=,则cos(a+a)的值为 解析:∵{a}为等差数列,∴a+画=2a=a十函,代入a+函+=丌,得。(a+a)=丌 从而cos(a2+a) 答案:-1 13.已知等差数列{an}中,a=a,公差c=1,若b=a-a2+1(n∈N),试判断数列{b}是 否为等差数列,并证明你的结论 解:数列{bn}是等差数列.证明如下 ∴等差数列{a中,a=a,d=1
∴an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n. (2)a2＝4，a4＝8，a8＝16，…，a2n＝2×2n＝4n. 当 n>1 时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4. ∴{bn}是以 4 为首项，4 为公差的等差数列． ∴bn＝b1＋(n－1)d＝4＋4(n－1)＝4n. B 组 能力提升 11．在△ABC 中，a，b，c 分别为 A，B，C 的对边，如果 a，b，c 成等差数列，B＝30°， △ABC 的面积为 1.5，那么 b 等于( ) A. 1＋ 3 2 B．1＋ 3 C. 2＋ 3 2 D．2＋ 3 解析：灵活选择三角形面积公式，再结合余弦定理可解出 b 的值． 由 a，b，c 成等差数列可得 2b＝a＋c. 又∵S△ABC＝1.5，即1 2 acsin30°＝ 1 4 ac＝ 3 2 ， ∴ac＝6. 由余弦定理，得 b 2＝a 2＋c 2－2accos30°＝(a＋c) 2－2ac－6 3 ＝4b 2－12－6 3， ∴b 2＝4＋2 3. 又∵b 是△ABC 的一条边，∴b>0， ∴b＝ 3＋1.故选 B. 答案：B 12．若{an}为等差数列，且 a1＋a5＋a9＝π，则 cos(a2＋a8)的值为________． 解析：∵{an}为等差数列，∴a1＋a9＝2a5＝a2＋a8.代入 a1＋a5＋a9＝π，得3 2 (a2＋a8)＝π， ∴a2＋a8＝ 2π 3 ，从而 cos(a2＋a8)＝－ 1 2 . 答案：－1 2 13．已知等差数列{an}中，a1＝a，公差 d＝1，若 bn＝a 2 n－a 2 n＋1(n∈N * )，试判断数列{bn}是 否为等差数列，并证明你的结论． 解：数列{bn}是等差数列．证明如下： ∵等差数列{an}中，a1＝a，d＝1
∴an=a+(m-1)×1=m-1+a be 1-2n-2a, ∴b+1=1-2(n+1)-2a. ∴b+1-bn=-(1-2n-2a) 又∵b=-=-2a-1 ∴数列{b}是以-2a-1为首项,-2为公差的等差数列 14.已知各项均为正数的两个数列{an}和{b}满足:an+ n∈N.设bn+1=1+ n∈N,求证:数列 (合 是等差数列 证明:由题设知an=a+b21+ 孟+b 从而 1(n∈N), 所以数列(是以1为公差的等差数列
∴an＝a＋(n－1)×1＝n－1＋a. ∴bn＝a 2 n－a 2 n＋1＝(n－1＋a) 2－(n＋1－1＋a) 2 ＝1－2n－2a， ∴bn＋1＝1－2(n＋1)－2a. ∴bn＋1－bn＝－(1－2n－2a) ＝－2. 又∵b1＝a 2 1－a 2 2＝－2a－1， ∴数列{bn}是以－2a－1 为首项，－2 为公差的等差数列． 14．已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：an＋1＝ an＋bn a 2 n＋b 2 n ，n∈N * .设 bn＋1＝1＋ bn an ， n∈N *，求证：数列 bn an 2 是等差数列． 证明：由题设知 an＋1＝ an＋bn a 2 n＋b 2 n ＝ 1＋ bn an 1＋ bn an 2 ＝ bn＋1 1＋ bn an 2 ，所以bn＋1 an＋1 ＝ 1＋ bn an 2， 从而 bn＋1 an＋1 2－ bn an 2＝1(n∈N * )， 所以数列 bn an 2 是以 1 为公差的等差数列．精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有