《数列的概念与简单表示》教案 、章头图与章引言 自然这一巨著,是用数学符号写成的——伽利略 树枝的分叉、花瓣的数量、植物的种子都遵循某种相似的数学规律。一根树 枝生出侧枝变成2根,三角梅有3个花瓣,桃花有5个,波斯菊有8个;洋甘菊 顺时针有13个螺旋,逆时针有21条螺旋,向日葵逆时针有34条,顺时针有55 条,将这些数字写成一列数,1,1,2,3,5,8,13,21,34,5 问1请问各位同学,这列数有什么规律? 生:从第三个数开始,每一个数是它前面两个数的和 师:这是一个特殊的数列,名曰斐波那契数列。我们将从本节课开始,由认 识数列,再进而学习等差、等比等特殊数列,最后应用数列的知识来解决实际问 题。因为数列在现实生活中随处可见,也是学习高等数学的基础。因此,接下来 的几节课,我将带领大家一起走进数列的世界,感受数列的种种神奇之处。 情景设置,引入新课【古今中外之数列】 1.【古】古希腊毕达哥拉斯学派为数学的发展做出了巨大贡献,传说他们总 在沙滩上摆放石子来表示数,像一个个这样子的三角形,他们分别表示1,3,6,10 等数字,称为三角形数;能摆出正方形的数字1,4,9,16等数字,称为正方形数 2.【今】三生三世的热潮席卷中国大陆,以下是一组电视剧网络播放量排行 榜,《三生三世十里桃花》位居榜首,这列数也称为数列 3.【古】司马相如与卓文君的爱情故事,司马相如曾寄一封家书给妻子: 二三四五六七七八九十百千万。聪明的卓文君一看便知晓家书含义,其实是丈夫 想要“停妻取妾”的意思 数列定义与相关概念 问2从上数几个数列中,你能发现数列的什么特点? 生:都是数。 追问:如果把其中一个数列的第一个数与第二个数互换位子,这个数列与 之前的数列还是同一个数列吗?说明数列还有什么特点? 生:不是。数列的排列是有顺序的! 板书:数列—按照一定顺序排列的一列数。数列中的每一个数叫做这个数 列的项。 问3如果给数列加一个花括号,是什么?(集合)那么数列与数集是同一个 概念吗?(不是)请问他们之间有什么区别? 生:数集具有无序性,而数列中的数互换位子就不是同一个数列;数集具有 互异性,而数列中相同的数字可以重复出现。 结论:数列中的每一项都与它的序号有关。排在第一位的数称为这个数列的 第一项,一般叫做首项:排在第二位的数称为这个数列的第二项,依次类推,排 在第n位的数称为这个数列的第n项 目的:突破本节课的重点:数列的概念。通过与数集的互异性与无序性的比
《数列的概念与简单表示》教案 一、章头图与章引言 自然这一巨著，是用数学符号写成的——伽利略 树枝的分叉、花瓣的数量、植物的种子都遵循某种相似的数学规律。一根树 枝生出侧枝变成 2 根，三角梅有 3 个花瓣，桃花有 5 个，波斯菊有 8 个；洋甘菊 顺时针有 13 个螺旋，逆时针有 21 条螺旋，向日葵逆时针有 34 条，顺时针有 55 条，将这些数字写成一列数，1,1,2,3,5,8,13,21,34,55… 问 1 请问各位同学，这列数有什么规律？ 生：从第三个数开始，每一个数是它前面两个数的和。 师：这是一个特殊的数列，名曰斐波那契数列。我们将从本节课开始，由认 识数列，再进而学习等差、等比等特殊数列，最后应用数列的知识来解决实际问 题。因为数列在现实生活中随处可见，也是学习高等数学的基础。因此，接下来 的几节课，我将带领大家一起走进数列的世界，感受数列的种种神奇之处。 二、情景设置，引入新课【古今中外之数列】 1.【古】古希腊毕达哥拉斯学派为数学的发展做出了巨大贡献，传说他们总 在沙滩上摆放石子来表示数，像一个个这样子的三角形，他们分别表示 1,3,6,10… 等数字，称为三角形数；能摆出正方形的数字 1,4,9,16…等数字，称为正方形数； 2.【今】三生三世的热潮席卷中国大陆，以下是一组电视剧网络播放量排行 榜，《三生三世十里桃花》位居榜首，这列数也称为数列； 3.【古】司马相如与卓文君的爱情故事，司马相如曾寄一封家书给妻子：一 二三四五六七七八九十百千万。聪明的卓文君一看便知晓家书含义，其实是丈夫 想要“停妻取妾”的意思； 三、数列定义与相关概念 问 2 从上数几个数列中，你能发现数列的什么特点？ 生：都是数。 追问： 如果把其中一个数列的第一个数与第二个数互换位子，这个数列与 之前的数列还是同一个数列吗？说明数列还有什么特点？ 生：不是。数列的排列是有顺序的！ 板书：数列——按照一定顺序排列的一列数。数列中的每一个数叫做这个数 列的项。 问 3 如果给数列加一个花括号，是什么？（集合）那么数列与数集是同一个 概念吗？（不是）请问他们之间有什么区别？ 生：数集具有无序性，而数列中的数互换位子就不是同一个数列；数集具有 互异性，而数列中相同的数字可以重复出现。 结论：数列中的每一项都与它的序号有关。排在第一位的数称为这个数列的 第一项，一般叫做首项；排在第二位的数称为这个数列的第二项，依次类推，排 在第 n 位的数称为这个数列的第 n 项。 目的：突破本节课的重点：数列的概念。通过与数集的互异性与无序性的比
较,引出数列是按照一定顺序排列的一列数。 数列的一般表形式可以写成a,a2a3…an2…,简记为{an},其中a是数列的 第n项。 四、数列与函数 问4数列的最后一项我们通常叫做末项,那么是否所有的数列都有末项呢? 生:不是 结论:按照项数的多少分,我们可以将数列分成有穷数列和我穷数列。 【活动与探究】 活动:不同的分类标准,给出的分类是不一样的,数列也是如此。请自行阅 读28页第四段的内容,然后以6人为一个小组完成下列活动运用身边事物 抽象出的数组成各种类型的数列。 探究:思考项与序号之间的关系? 具体操作——如以每个人的身高抽象出一列数,根据不同的排列可以得到递 增数列,递减数列,常数数列与摆动数列。并板书根据项数的大小将数列分成4 种类型。 打乱学生的站位,明确第一个学生所持数字是首项,最后一个学生所持数字 是末项,询问每一位同学所对应的数字,制成一幅一一对应的图,如下 序号n 问5从刚才与6位同学的对话中,大家能否发现项与序号之间存在的某种关系? 生 对应关系 问6从序号与项之间是一一对应的这种关系,以及上图中序号与项的图像,大 家能否联系之前学过的知识,说一说这是什么呢? 目的:引出数列是一个特殊函数这一概念!突破本节课的难点。 问7请问此处的函数三要素分别是什么? 注:函数三要素——定义域,值域,对应关系 结论:函数的角度给数列的定义:以正整数集N(或它地有限子集{23…})
较，引出数列是按照一定顺序排列的一列数。 数列的一般表形式可以写成 1 2 3 , , , , n a a a a ，简记为 an ，其中 n a 是数列的 第 n 项。 四、数列与函数 问 4 数列的最后一项我们通常叫做末项，那么是否所有的数列都有末项呢？ 生：不是 结论：按照项数的多少分，我们可以将数列分成有穷数列和我穷数列。 【活动与探究】 活动：不同的分类标准，给出的分类是不一样的，数列也是如此。请自行阅 读 28 页第四段的内容，然后以 6 人为一个小组完成下列活动——运用身边事物 抽象出的数组成各种类型的数列。 探究：思考项与序号之间的关系？ 具体操作——如以每个人的身高抽象出一列数，根据不同的排列可以得到递 增数列，递减数列，常数数列与摆动数列。并板书根据项数的大小将数列分成 4 种类型。 打乱学生的站位，明确第一个学生所持数字是首项，最后一个学生所持数字 是末项，询问每一位同学所对应的数字，制成一幅一一对应的图，如下 问 5 从刚才与 6 位同学的对话中，大家能否发现项与序号之间存在的某种关系？ 生：一一对应关系 问 6 从序号与项之间是一一对应的这种关系，以及上图中序号与项的图像，大 家能否联系之前学过的知识，说一说这是什么呢？ 目的：引出数列是一个特殊函数这一概念！突破本节课的难点。 问 7 请问此处的函数三要素分别是什么？ 注：函数三要素——定义域，值域，对应关系 结论：函数的角度给数列的定义：以正整数集 N （或它地有限子集 1,2,3, ） 1 2 3 4 5 6 序号 n 152 162 160 158 178 168 项 an
的函数a1=f(n)当自变量从小到大依次取值时所对应的一列函数值。 问8同学们能否用图像法和列表法表示刚才6为同学代表的数字所组成的集合? 在草稿纸上画出来 操作:用手机拍好某些同学的照片,上传到QQ供同学们参考。 目的:学生能加深“数列是一个特殊的函数”这一概念! 结论:从图像中,我们能够很直观的发现数列波动的特点,且是离散的。从列表 法中,我们知道数列中的每一项的数。但是,对于无穷数列而言,图像法和列表 法无法适用。因此,我们希望知道函数的解析式,那么在数列中这一解析式我们 给予它新的名字—通项公式。 通项公式:如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表 示,那么这个公式叫做数列的通项公式。 五、小试牛刀 例1根据通项公式写出下列数列的前4项,思考可以从数列的通项公式中了解 数列的哪些特点和性质?(更简单的说,数列的通项公式有什么优点?) 目的:根据数列的通项公式可以了解数列的单调性与最值,进一步明确“数列是 个特殊的函数”这一难点。同时了解数列的通项公式,可以用来确定数列的任 意一项的值,对于无穷数列的研究有着不可替代的价值 例2写出下面数列的一个通项公式,使它地前4项分别是下列各数 (1)1,-1,1,-1 (2)1 (3)2,0,2,0; 问9是否所有的数列都有通项公式? 目的:不是所有的数列都有通项公式,正如不是所有的函数都有解析式:通项公 式不唯一,且可以为一个式子,也可以是分段函数。 六、归纳总结,巩固新知 过程:学生归纳,教师补充 新知:1数列的定义与相关概念;2数列的分类;3.数列是特殊的函数;4研究有 通项公式的数列 七、分层作业,因材施教 层次1红对勾第一课时 层次2教材完全解读相应习题
的函数 an=f(n)当自变量从小到大依次取值时所对应的一列函数值。 问 8 同学们能否用图像法和列表法表示刚才 6 为同学代表的数字所组成的集合？ 在草稿纸上画出来。 操作：用手机拍好某些同学的照片，上传到 QQ 供同学们参考。 目的：学生能加深“数列是一个特殊的函数”这一概念！ 结论：从图像中，我们能够很直观的发现数列波动的特点，且是离散的。从列表 法中，我们知道数列中的每一项的数。但是，对于无穷数列而言，图像法和列表 法无法适用。因此，我们希望知道函数的解析式，那么在数列中这一解析式我们 给予它新的名字——通项公式。 通项公式：如果数列{an}的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表 示，那么这个公式叫做数列的通项公式。 五、小试牛刀 例 1 根据通项公式写出下列数列的前 4 项，思考可以从数列的通项公式中了解 数列的哪些特点和性质？（更简单的说，数列的通项公式有什么优点？） 目的：根据数列的通项公式可以了解数列的单调性与最值，进一步明确“数列是 一个特殊的函数”这一难点。同时了解数列的通项公式，可以用来确定数列的任 意一项的值，对于无穷数列的研究有着不可替代的价值。 例 2 写出下面数列的一个通项公式，使它地前 4 项分别是下列各数： （1） 1, 1,1, 1 − − ； （2） 1 1 1 1, , , 2 3 4 − − ； （3） 2,0,2,0 ； 问 9 是否所有的数列都有通项公式？ 目的：不是所有的数列都有通项公式，正如不是所有的函数都有解析式；通项公 式不唯一，且可以为一个式子，也可以是分段函数。 六、归纳总结，巩固新知 过程：学生归纳，教师补充 新知：1.数列的定义与相关概念；2.数列的分类；3.数列是特殊的函数；4.研究有 通项公式的数列。 七、分层作业，因材施教 层次 1 红对勾第一课时； 层次 2 教材完全解读相应习题；
八、板书设计 21数列的概念与简单表示 ①数列:按照一定顺序排列的一列数 ②数列的一般形式:a1,aa3,lan, 简记为{an ③数列的分类 有穷数列 项数的多少 无穷数列 递增数列 递减数列 项数的大小 常数数列 摆动数列
八、板书设计 2.1 数列的概念与简单表示 ①数列：按照一定顺序排列的一列数 ②数列的一般形式：a1,a2,a3,…an…， 简记为{an} ③数列的分类 有穷数列 项数的多少 无穷数列 递增数列 递减数列 项数的大小 常数数列 摆动数列 1,1,2,3,5,8… 1,3,6,10… 1,4,9,16… 41112,20968… 1,2,3,4,5,6,7,7… 序号 n 1 2 3 4 5 6 项 1 2 3 4 5 6 An=f(n) n=1,2,3…n… f(1),f(2),f(3),…f(n)…