全方位教学辅导教案 学科:数学任课教师: 授课时间:2012年11月3日星期 姓名 性别|女 年级|高二 总课时:第 次课 教学 均值不等式应用(技巧) 内容 教学 1、熟悉均值不等式的应用题型 目标 2、掌握各种求最值的方法 重点重点是掌握最值应用的方法 难点难点是不等 的应用 课前作业完成情况: 检查 教与交交流与沟通 均值不等式 1.(1)若a,b∈R,则a2+b222ab(2)若ab∈R,则2+b2(当且仅当a=b 针 时取“=” 对2.()若a,b∈R,则红+b2④2)若a,b∈R,则a+b≥2√mb(当且仅当a=b 过 性/时取“ (若anb∈R∵,则mb≤(+b)(当且仅当a=b时取“=) 授 3.若x>0,则x+1≥2(当且仅当x=1时取“=”):若x0,则a+b≥2(当且仅当a=b时取“=”) 若ab≠0,则、62即9b2或+≤2(当且仅当a=b时取“=”) 4.若a,b∈R,则(2-)≤ (当且仅当a=b时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时 可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大 (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面 有广泛的应用
1 全方位教学辅导教案 学科： 数学 任课教师： 授课时间： 2012 年 11 月 3 日 星期 姓 名 性 别 女 年 级 高二 总课时： 第 次课 教 学 内 容 均值不等式应用（技巧） 教 学 目 标 1、熟悉均值不等式的应用题型 2、掌握各种求最值的方法 重 点 难 点 重点是掌握最值应用的方法 难点是不等式条件的应用 教 学 过 程 课 前 检 查 与 交 流 作业完成情况： 交流与沟通 针 对 性 授 课 一．均值不等式 1.（1）若 a,b R ，则 a b 2ab 2 2 + (2)若 a,b R ，则 2 2 2 a b ab + （当且仅当 a = b 时取“=”） 2. (1)若 * a,b R ，则 ab a b + 2 (2)若 * a,b R ，则 a + b 2 ab （当且仅当 a = b 时取“=”） (3)若 * a,b R ，则 2 2 + a b ab (当且仅当 a = b 时取“=”） 3.若 x 0 ，则 1 x 2 x + (当且仅当 x =1 时取“=”）;若 x 0 ，则 1 x 2 x + − (当且仅当 x =−1 时取“=”） 若 x 0 ，则 1 1 1 x x x 2 2 -2 x x x + + + 即 或 (当且仅当 a = b 时取“=”） 3.若 ab 0 ，则 + 2 a b b a (当且仅当 a = b 时取“=”） 若 ab 0 ，则 2 2 -2 a b a b a b b a b a b a + + + 即 或 (当且仅当 a = b 时取“=”） 4.若 a,b R ，则 2 ) 2 ( 2 2 a b 2 a + b + （当且仅当 a = b 时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时， 可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面 有广泛的应用．
应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 (1)y=3x2+ 解题技巧: 技巧一:凑项 例1:(2)y=2x+ 变式:4,求函数y=4x-2x4x-5 的最大值 技巧二:凑系数 例1.当00,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此 题为两个式子积的形式,但其和不是定值。注意到2x+(8-2x)=8为定值,故只需将 y=x(8-2x)凑上一个系数即可。 评注:本题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用均值不 等式求最大值。 变式:1、设0<x<,求函数y=4x(3-2x)的最大值。并求此时x的值
2 应用一：求最值 例 1：求下列函数的值域 （1）y＝3x 2＋ 1 2x 2 （2）y＝x＋ 1 x 解题技巧： 技巧一：凑项 例 1：(2) 1 2 , 3 3 y x x x = + − 。 变式：已知 5 4 x ，求函数 1 4 2 4 5 y x x = − + − 的最大值 。 技巧二：凑系数 例 1. 当 时，求 y x x = − (8 2 ) 的最大值。 解析：由 知， ，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此 题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到 2 (8 2 ) 8 x x + − = 为定值，故只需将 y x x = − (8 2 ) 凑上一个系数即可。 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不 等式求最大值。 变式：1、设 2 3 0 x ，求函数 y = 4x(3 − 2x) 的最大值。并求此时 x 的值
2.已知0-1)的值域 技巧四:换元 解析二:本题看似无法运用均值不等式,可先换元,令t=x+1,化简原式在分离求最值。 (t-1)2+7(t-1)+10_12+5t+4 当x>+1,即=x+1>0时y≥2,N*5=9(当=2即x=1时取“=”号)。 评注:分式函数求最值,通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利 用不等式求最值。即化为y=mg(x)++B(A>0,B>0),g(x)恒正或恒负的形式,然 g(x) 后运用均值不等式来求最值。 变式 x2+3x+1 (1)y (x>0)
3 2．已知 0 1 x ，求函数 y x x = − (1 ) 的最大值.； 3． 2 0 3 x ，求函数 y x x = − (2 3 ) 的最大值. 技巧三： 分离 例 3. 求 2 7 10 ( 1) 1 x x y x x + + = − + 的值域。 技巧四：换元 解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令 t=x＋1，化简原式在分离求最值。 2 2 ( 1) 7( 1 +10 5 4 4 = 5 t t t t y t t t t − + − + + = = + + ） 当 ,即 t= 时, 4 y t 2 5 9 t + = （当 t=2 即 x＝1 时取“＝”号）。 评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利 用不等式求最值。即化为 ( ) ( 0, 0) ( ) A y mg x B A B g x = + + ，g(x)恒正或恒负的形式，然 后运用均值不等式来求最值。 变式 (1) 2 3 1,( 0) x x y x x + + =
技巧五:注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数/(x)=x+2 的单调性 例:求函数y h2+4的值域。 解:令√x2+4=1(t≥2),则 x2+5 t+-(t≥2 因t>0.t=1,但t=解得t=土1不在区间[2,+∞),故等号不成立,考虑单调性 因为y=+7在区间[L+x)单调递增,所以在其子区间[2+)为单调递增函数,故y22 所以,所求函数的值域为,+∞ 条件求最值 1.若实数满足a+b=2,则3+3的最小值是 变式:若log4x+log4y=2,求一+一的最小值并求xy的值 技巧六:整体代换: 2:已知x>0,y>0,且 1,求x+y的最小值 变式:(1)若x,y∈R且2x+y=1,求1+1的最小值 已知a,b,x,y∈R+且2 求x+y的最小值
4 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数 ( ) a f x x x = + 的单调性。 例：求函数 2 2 5 4 x y x + = + 的值域。 解：令 2 x t t + = 4 ( 2) ，则 2 2 5 4 x y x + = + 2 2 1 1 4 ( 2) 4 x t t x t = + + = + + 因 1 t t 0, 1 t = ，但 1 t t = 解得 t =1 不在区间 2,+) ，故等号不成立，考虑单调性。 因为 1 y t t = + 在区间 1,+) 单调递增，所以在其子区间 2,+) 为单调递增函数，故 5 2 y 。 所以，所求函数的值域为 5 , 2 + 。 条件求最值 1.若实数满足 a +b = 2 ，则 a b 3 + 3 的最小值是 . 变式：若 4 4 log log 2 x y + = ，求 1 1 x y + 的最小值.并求 x,y 的值 技巧六：整体代换： 2：已知 x y 0, 0 ，且 1 9 1 x y + = ，求 x y + 的最小值。 。 变式： （1）若 + x, y R 且 2x + y = 1 ，求 x y 1 1 + 的最小值 (2)已知 + a,b, x, y R 且 + = 1 y b x a ，求 x + y 的最小值
技巧七、已知x,y为正实数,且x2+)=1,求x+y2的最大值 技巧八:已知a,b为正实数,2b+ab+a=30,求函数y=m的最小值 分析:这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问 题,再用单调性或基本不等式求解,对本题来说,这种途径是可行的:二是直接用基本不等 式,对本题来说,因已知条件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值 虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式的途径进行 b 点评:①本题考查不等式≥√ab(ab∈R+)的应用、不等式的解法及运算能力:②如 何由已知不等式ab=a+2b+30(a,b∈R)出发求得ab的范围,关键是寻找到a+b与ab 之间的关系,由此想到不等式a+b ≥√amb(a,b∈R+),这样将已知条件转换为含ab的不 等式,进而解得ab的范围 变式:1已知a>0,b>0,ab-(a+b)=1,求a+b的最小值。 2.若直角三角形周长为1,求它的面积最大值
5 技巧七、已知 x，y 为正实数，且 x 2＋ y 2 2 ＝1，求 x 1＋y 2 的最大值. 技巧八：已知 a，b 为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数 y＝ 1 ab 的最小值. 分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问 题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等 式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考 虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。 点评：①本题考查不等式 ab a b + 2 （a,b R +） 的应用、不等式的解法及运算能力；②如 何由已知不等式 ab a b = + + 2 30（a,b R +） 出发求得 ab 的范围，关键是寻找到 a + b与ab 之间的关系，由此想到不等式 ab a b + 2 （a,b R +） ，这样将已知条件转换为含 ab 的不 等式，进而解得 ab 的范围. 变式：1.已知 a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求 a＋b 的最小值。 2.若直角三角形周长为 1，求它的面积最大值
技巧九、取平方 5、已知x,y为正实数,3x+2y=10,求函数W=3x+Vy的最值 解法一:若利用算术平均与平方平均之间的不等关系, a+b a2+b2 本题很简单 压x+V≤Vy(3x)2+(V2)2=Vx+2y=25 解法二:条件与结论均为和的形式,设法直接用基本不等式,应通过平方化函数式为积的形 式,再向“和为定值”条件靠拢。 W>0,W2=3x+2y+23xV2y=10+23xV2y≤10+(3x)2(2y)2=10+(3x+2y) =20 W≤V20=2V5 变式:求函数y=√2x-1+√-2x(ab+bc+ca 2、正数a,b,c满足a+b+c=1,求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc 应用三:均值不等式与恒成立问题 例:已知x>0y>0且+=1,求使不等式x+y≥m恒成立的实数m的取值范围。 解:令x+y=k,x>0,y>0,-+2=1,∴kax x6+(+…16+x6a+x hy k hx ky 3 ≥21。∷k≥16,m∈(16
6 技巧九、取平方 5、已知 x，y 为正实数，3x＋2y＝10，求函数 W＝ 3x ＋ 2y 的最值. 解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，a＋b 2 ≤ a 2＋b 2 2 ，本题很简单 3x ＋ 2y ≤ 2 （ 3x ）2＋（ 2y ）2 ＝ 2 3x＋2y ＝2 5 解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形 式，再向“和为定值”条件靠拢。 W＞0，W2＝3x＋2y＋2 3x · 2y ＝10＋2 3x · 2y ≤10＋( 3x ) 2·( 2y ) 2 ＝10＋(3x＋2y) ＝20 ∴ W≤ 20 ＝2 5 变式: 求函数 1 5 2 1 5 2 ( ) 2 2 y x x x = − + − 的最大值。 评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。 总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些 变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。 应 应用二：利用均值不等式证明不等式 例 6：已知 a、b、c R + ，且 abc + + =1 。求证： 1 1 1 1 1 1 8 abc − − − 变式： 1．已知 a,b, c 为两两不相等的实数，求证： a + b + c ab + bc + ca 2 2 2 2、正数 a，b，c 满足 a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc 应用三：均值不等式与恒成立问题 例：已知 x y 0, 0 且 1 9 1 x y + = ，求使不等式 x y m + 恒成立的实数 m 的取值范围。 解：令 x y k x y + = , 0, 0, 1 9 1 x y + = ， 9 9 1. x y x y kx ky + + + = 10 9 1 y x k kx ky + + = 10 3 1 2 k k − 。 k 16 ， m − ( ,16
课堂检测 1:添加项 【例1】已知x3 求y=x+ 的最小值 2:配系数 【例2】已知02,求y= 的最小值 4:巧用”1”代换 【例4】已知正数x,y满足2x+y=1,求!2 的最小值 【例5】已知正数x,y,z满足x+y+z=1,求+-+-的最小值
7 课 堂 检 测 1：添加项 【例 1】已知 2 3 x ，求 2 3 2 − = + x y x 的最小值. 2:配系数 【例 2】已知 2 3 0 x ，求 y = x(3 − 2x) 的最大值. 3:分拆项 【例 3】已知 x 2 ，求 2 3 6 2 − − + = x x x y 的最小值. 4:巧用”1”代换 【例 4】已知正数 x, y 满足 2x + y = 1,求 x y 1 2 + 的最小值. . 【例 5】已知正数 x, y,z 满足 x + y + z = 1 ，求 x y z 1 4 9 + + 的最小值
5:换元 【例6】已知a>b>c,求w= a-ca-c a-b的最小值 x+1 【例7】已知x>-1,求y= 的最大值 +5x+8 7:直接运用化为其它 【例9】已知正数a,b满足ab=a+b+3,求ab的取值范围 课后作业 1、(1)、已知x>0,y>0,满足x+2y=1,求1 一的最值 (2)、若x>0,y>0,日2,8 1,求xy的最值; 2-2x+2 (3)、若4<x<1求2x-2的最大值 2、函数f(x)= (x≠0)的最大值是 此时的x值为
8 5:换元 【例 6】已知 a b c ,求 b c a c a b a c w − − + − − = 的最小值. 【例 7】已知 x −1,求 5 8 1 2 + + + = x x x y 的最大值. 7:直接运用化为其它 【例 9】已知正数 a,b 满足 ab = a +b +3,求 ab 的取值范围. 课 后 作 业 1、（1）、已知 x 0 ， y 0 ，满足 x y + = 2 1 ，求 1 1 x y + 的最值； （2）、若 x 0 ， y 0 ，且 2 8 1 x y + = ，求 xy 的最值； （3）、若-4＜x＜1,求 2 2 2 2 2 − − + x x x 的最大值. 2 、函数 f(x)= 2 4 2 x + x (x ≠ 0) 的最大值是 ；此时的 x 值 为 _______________．
3、(2010山东理)若对任意x>0 x2+3,≤a恒成立,则a的取值范围是 4、若点A(-2,-1)在直线mx+m+1=0上,其中m>0,则+2的最小值 为 5、(1)、已知x+3y-2=0,则3+27+1的最小值为 (2)、若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值 6、已知两个正数a,b满足a+b=4,求使二+,≥m恒成立的m的范围 7.函数y=1og(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其 中mn>0,求+-的最小值为。 8.(2010年合肥模拟)已知xx2…x209x10=1,且x,x,…,x209,x1o都是正数,则(1+x) (1+x)(1+x0)的最小值是 9.已知直线l过点P(2,1),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,O为坐标原点, 则三角形OAB面积的最小值为
9 3、（2010 山东理）若对任意 x＞0， 2 3 1 x a x x + + 恒成立，则 a 的取值范围是 ． 4 、 若 点 A( 2, 1) − − 在直线 mx ny + + =1 0 上，其中 mn 0 , 则 m n 1 2 + 的最小值 为 . 5、（1）、已知 x+3y-2=0，则 3 x +27y +1 的最小值为 . （2）、若 x,y∈(0,+∞)且 2x+8y-xy=0，求 x+y 的最小值 . 6、已知两个正数 a b, 满足 a b + = 4 ，求使 2 8 m a b + 恒成立的 m 的范围. 7．函数 y=loga(x+3)－1(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上，其 中 mn>0，求 m n 1 1 + 的最小值为。 8．(2010 年合肥模拟)已知 x1·x2·…·x2009·x2010＝1，且 x1，x2，…，x2009，x2010 都是正数，则(1＋x1) (1＋x2)…(1＋x2010)的最小值是________． 9．已知直线 l 过点 P(2,1)，且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点，O 为坐标原点， 则三角形 OAB 面积的最小值为________．
10.(2008年江苏卷改编)若x、y、二∈R’,x-2y+3z=0,求的最小值 11.已知A(0,9)B(0,16)是y轴正半轴上的两点,C(x,0)是x轴上任意一点,求当点C在何 位置时,∠ACB最大? 12.已知不等式(x+y)(-+-)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为 签字|教研组长: 教学主任: 学生: 教务老师 家长: 老师学生的状况、接受情况和配合程度 课后 评价 给家长的建议: TA-65
10 10．(2008 年江苏卷改编)若 x、y、z∈R ＋，x－2y＋3z＝0，求y 2 xz 的最小值． 11．已知 A(0,9) B(0,16)是 y 轴正半轴上的两点，C(x,0)是 x 轴上任意一点，求当点 C 在何 位置时， ACB 最大？ ． 12.已知不等式 1 ( )( ) 9 a x y x y + + 对任意正实数 x y, 恒成立，则正实数 a 的最小值为 签 字 教研组长： 教学主任： 学生： 教务老师： 家长： 老 师 课 后 评 价 学生的状况、接受情况和配合程度： 给家长的建议： TA-65