3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域 高效演练知能提升 A级基础巩固 选择题 x-y+5≥0 1.不等式组 所表示的平面区域是() x+y+1>0 5-1025-1103z5-103 解析:不等式x-y+5≥0表示的区域为直线x-y+5=0及其右下方的区域,不等式x +y+1>0表示的区域为直线x+y+1=0右上方的区域,故不等式组表示的平面区域为选 项D. 答案:D 2.在平面直角坐标系中,不等式组x+3y≤4,表示的平面区域的面积是() 3x+y≥4 A.=B.=C.=D. 解析:不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示 (1,1) 3y-4=0 面区域为一个三角形及其内部,三个顶点的坐标分别为(,0,(0)(,D,所 以平面区域的面积为=×4 故选C. 答案:C 3.已知点(a,2a-1),既在直线y=3x-6的上方,又在y轴的右侧,则a的取值范围 是() C.(0,2) D.(0,5) 解析:由题可得 2a-1>3a-6-0a5
3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域 A 级 基础巩固 一、选择题 1．不等式组 x－y＋5≥0 x＋y＋1＞0 ，所表示的平面区域是( ) 解析：不等式 x－y＋5≥0 表示的区域为直线 x－y＋5＝0 及其右下方的区域，不等式 x ＋y＋1＞0 表示的区域为直线 x＋y＋1＝0 右上方的区域，故不等式组表示的平面区域为选 项 D. 答案：D 2．在平面直角坐标系中，不等式组 y≥0， x＋3y≤4， 3x＋y≥4 表示的平面区域的面积是( ) A. 3 2 B. 2 3 C. 4 3 D. 3 4 解析：不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示． 平面区域为一个三角形及其内部，三个顶点的坐标分别为(4，0)， 4 3 ，0 ，(1，1)，所 以平面区域的面积为 S＝ 1 2 × 4－ 4 3 ×1＝ 4 3 ，故选 C. 答案：C 3．已知点(a，2a－1)，既在直线 y＝3x－6 的上方，又在 y 轴的右侧，则 a 的取值范围 是( ) A．(2，＋∞) B．(－∞，5) C．(0，2) D．(0，5) 解析：由题可得 a>0， 2a－1>3a－6 ⇒0<a<5
答案:D x+y-1≥0, 4.在平面直角坐标系中,若不等式组x-1≤0,(a为常数)所表示的平面区域的面 ax-y+1≥0 积等于2,则a的值为() A.-5B.1C.2D.3 解析:由题意知,不等式组所表示的平面区域为一个三角形区域,设为△ABC,则A(1, 0),B(0,1),C(1,1+a),且a-1. 因为S△m=2,所以2(1+a)×1=2,所以a=3 答案:D x-y+5≥0 5.若不等式组y≥a 表示的平面区域是一个三角形及其内部,则a的取值范 0≤x≤2 围是( A.a<5 C.5≤a<7 D.a≥7或a<5 解析:不等式x-y+5≥0和0≤x≤2表示的平面区域如图所示.因为原不等式组表示 的平面区域是一个三角形及其内部,所以由图可知5≤a<7 答案:C 二、填空题 6.若不等式|3x+2y+c≤8表示平面区域总包含点(0,1),(1,1),则c的取值范围 解析:由题意得 ∫2+cl≤8, -10≤c≤3 答案:[-10,3] 7.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、 硝酸盐18t:生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐Ⅰt、硝酸盐15t.现库存磷 酸盐10t、硝酸盐66t,在此基础上生产这两种混合肥料,设x,y分别为计划生产甲、乙 两种混合肥料的车皮数,列出满足生产条件的数学关系式 解析:由题意知满足以下条件:
答案：D 4．在平面直角坐标系中，若不等式组 x＋y－1≥0， x－1≤0， ax－y＋1≥0 (a 为常数)所表示的平面区域的面 积等于 2，则 a 的值为( ) A．－5 B．1 C．2 D．3 解析：由题意知，不等式组所表示的平面区域为一个三角形区域，设为△ABC，则 A(1， 0)，B(0，1)，C(1，1＋a)，且 a>－1. 因为 S△ABC＝2，所以1 2 (1＋a)×1＝2，所以 a＝3. 答案：D 5．若不等式组 x－y＋5≥0， y≥a， 0≤x≤2 表示的平面区域是一个三角形及其内部，则 a 的取值范 围是( ) A．a＜5 B．a≥7 C．5≤a＜7 D．a≥7 或 a＜5 解析：不等式 x－y＋5≥0 和 0≤x≤2 表示的平面区域如图所示．因为原不等式组表示 的平面区域是一个三角形及其内部，所以由图可知 5≤a＜7. 答案：C 二、填空题 6．若不等式|3x＋2y＋c|≤8 表示平面区域总包含点(0，1)，(1，1)，则 c 的取值范围 是________． 解析：由题意得 |2＋c|≤8， |5＋c|≤8 ⇒－10≤c≤3. 答案：[－10，3] 7．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产 1 车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐 4 t、 硝酸盐 18 t；生产 1 车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐 1 t、硝酸盐 15 t．现库存磷 酸盐 10 t、硝酸盐 66 t，在此基础上生产这两种混合肥料，设 x，y 分别为计划生产甲、乙 两种混合肥料的车皮数，列出满足生产条件的数学关系式___________． 解析：由题意知满足以下条件：
18x+15y≤66 4x+y≤10 答案:」18x+15y≤66 ∈N y∈N +y-3≥0, 8.x,y满足{x-y+1≥0,若方程y=kx有解,则k的取值范围是 解析:不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示,三条边界线的交点分别记为A,B C,由图可知y=kx应在直线OA与OB之间,所以km≤k≤ka,即≤k≤2 3x-y-5=0 答案 三、解答题 >0, 9.求不等式组y>0 表示的平面区域的面积及平面区域内的整数点坐标 4x+3<≤12 解:画出平面区域(如图所示),区域图形 为直角三角形 面积S=×4×3=6. x的整数值只有1,2.当x=1时,代入4x+3≤12,得J≤3
4x＋y≤10， 18x＋15y≤66， x∈N， y∈N. 答案： 4x＋y≤10 18x＋15y≤66 x∈N y∈N 8 ． x ， y 满 足 x＋y－3≥0， x－y＋1≥0， 3x－y－5≤0， 若方程 y ＝ kx 有 解 ， 则 k 的 取 值 范 围 是 ____________________． 解析：不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，三条边界线的交点分别记为 A，B， C，由图可知 y＝kx 应在直线 OA 与 OB 之间，所以 kOB≤k≤kOA，即 1 2 ≤k≤2. 答案： 1 2 ，2 三、解答题 9．求不等式组 x＞0， y＞0， 4x＋3y≤12 表示的平面区域的面积及平面区域内的整数点坐标． 解：画出平面区域(如图所示)，区域图形 为直角三角形． 面积 S＝ 1 2 ×4×3＝6. x 的整数值只有 1，2.当 x＝1 时，代入 4x＋3y≤12，得 y≤ 8 3
所以整点为(1,2),(1,1) 当x=2时,代入4x+3y≤12,得 所以整点为(2,1) 综上可知,平面区域内的整点坐标为(1,1)、(1,2)和(2,1). 10.画出下列不等式表示的平面区域 (1)(x-y)(x-y-1)≤0 (2)|3x+4y-1k0, 故不等式表示的平面区域如图(2)所示 (3)当y≥0时,原不等式可化为 ≤2x,是点(x,y)在第一象限内两条过原点的射线y=x(x≥0)与y=2x(x≥0)所表 示的区域 当J≤0时,由对称性作表出另一半区域 故不等式表示的平面区域如图(3)所示 x-y=0 x1、3x+4y60 3x+4y+4=0 B级能力提升 1.若函数y=2图象上存在点(x,y)满足不等式组 2y-3≤0,则实数m的最大值为()
所以整点为(1，2)，(1，1)． 当 x＝2 时，代入 4x＋3y≤12，得 y≤ 4 3 . 所以整点为(2，1)． 综上可知，平面区域内的整点坐标为(1，1)、(1，2)和(2，1)． 10．画出下列不等式表示的平面区域． (1)(x－y)(x－y－1)≤0； (2)|3x＋4y－1|0， 故不等式表示的平面区域如图(2)所示． (3)当 y≥0 时，原不等式可化为 x≤y， y≤2x， x≥0， 是点(x，y)在第一象限内两条过原点的射线 y＝x(x≥0)与 y＝2x(x≥0)所表 示的区域内． 当 y≤0 时，由对称性作表出另一半区域． 故不等式表示的平面区域如图(3)所示． (1) (2) (3) B 级 能力提升 1．若函数 y＝2 x 图象上存在点(x，y)满足不等式组 x＋y－3≤0， x－2y－3≤0 x≥m， ，则实数 m 的最大值为( )
A.=B.1C.=D.2 解析:不等式组表示的平面区域D如图中阴影部分所示,函数y=22的图象经过D上的 即交点坐标为(1,2),当直线x=m过点(1,2)时,实数m x+y-3=0, 取得最大值1 怎〓m 4主 答案:B 2.已知x,y为非负整数,则满足x+≤2的点(x,y)共有 解析:因为x,y为非负整数,所以满足x+y≤2的点有(0,0),(0,1),(0,2),(1, 0),(1,1),(2,0)共6个 答案:6 3.在△ABC中,各顶点坐标分别为A(3,-1)、B(-1,1)、C(1,3),写出△ABC区域 所表示的二元一次不等式组 解:如图所示,可求得直线AB、BC、CA的方程分别为x+2y-1=0,x-y+2=0,2x +y-5=0.由于△ABC区域在直线AB右上方, 所以x+2y-1≥0 在直线BC右下方,所以x-y+2≥2 在直线AC左下方,所以2x+y-5≤0 x+2y-1≥0, 所以△ABC区域可表示为x-y+2≥0, 2x+y-5≤0
A. 1 2 B．1 C. 3 2 D．2 解析：不等式组表示的平面区域 D 如图中阴影部分所示，函数 y＝2 x 的图象经过 D 上的 点，由 y＝2 x ， x＋y－3＝0， 得 x＝1， y＝2， 即交点坐标为(1，2)，当直线 x＝m 过点(1，2)时，实数 m 取得最大值 1. 答案：B 2．已知 x，y 为非负整数，则满足 x＋y≤2 的点(x，y)共有________个． 解析：因为 x，y 为非负整数，所以满足 x＋y≤2 的点有(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1， 0)，(1，1)，(2，0)共 6 个． 答案：6 3．在△ABC 中，各顶点坐标分别为 A(3，－1)、B(－1，1)、C(1，3)，写出△ABC 区域 所表示的二元一次不等式组． 解：如图所示，可求得直线 AB、BC、CA 的方程分别为 x＋2y－1＝0，x－y＋2＝0，2x ＋y－5＝0.由于△ABC 区域在直线 AB 右上方， 所以 x＋2y－1≥0； 在直线 BC 右下方，所以 x－y＋2≥2； 在直线 AC 左下方，所以 2x＋y－5≤0. 所以△ABC 区域可表示为 x＋2y－1≥0， x－y＋2≥0， 2x＋y－5≤0