备课资料 、备用例题 【例1】梯子最高一级宽33cm,最低一级宽为110cm,中间还有10级,各级的宽度成等 差数列,计算中间各级的宽度 解:设{an}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列,由已知条件,可知 a1=3,a12=110,m=12,所以a12=a1+(12-1)d,即得110=33+11d,解之,得d=7 因此a2=33+7=40,a3=40+7=47,a=54a5=61,6=68a=75,as=82,a9=89,a0=96,a1=103 答:梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm,47cm,54cm,61cm,68cm,75cm,82 cm, 89 cm, 96 cm, 103 cm ab令等差数列,求证:b+cc+a.a+b 【例2】已知111 也成等差数列 证明:因为1,1,1成等差数列,所以2=1+1,化简得20=b(a+0,所以有 6+c a+b bc 1b b(a+c)+a+c 2ac+a+c a+c b(a+c) b 6+cc+a atb 因而 也成等差数列 C 【例3】设数列{an}、{bn}都是等差数列,且a1=35,b1=75,a2+b2=100 求数列{an+bn}的第37项的值 分析:由数列{an}、{bm}都是等差数列,可得{a+bn}是等差数列,故可求出数列{an+bn}的公 差和通项 解:设数列{an}、{bm}的公差分别为d,b,则(am++bh+)(an+bh)=an+1-a)+(bn+1-bh)=dh+dh 为常数,所以可得{an+bn}是等差数列设其公差为d,则公差 d+=(a2+b2)-(a1+b)=100435+75)=10.因而a3+b37=110-10×(37-1)=250. 所以数列{an+bn}的第37项的值为250 点拨若一个数列未告诉我们是等差数列时,应先由定义法判定它是等差数列后,方可使用 通项公式an=a1+(n-1)d但对客观试题则可以直接运用某些重要结论,直接判定数列是否为等 差数列 【例4】在美国广为流传的一道数学题目是“老板给你两个加工资的方案:一是每年年末加 1000美元:二是每半年结束时加300美元,请你选择一种加薪方式”一般不擅长数学的人, 很容易选择前者,因为一年加一千美元总比两个半年共加600美元要多其实,由于加工资 是累计的时间稍长,往往会发现第二种方案更有利例如:在第二年的年末,依第一种方案 共可以加得1000+200=30美元:而第二种方案共可以加得300+600+900+1200=3000 美元,但到了第三年,第一方案共可加得600美元,第二方案则共加得6300美元,显然 多于第一种方案第四年后会更多因此,你若会在该公司干三年以上,则应选择第二方案 根据以上材料,解答下列问题 (1)如果在该公司干十年,问选择第二种方案比选择第一种方案多加薪多少美元? (2)如果第二方案中的每半年加300美元改为每半年加a美元问a取何值时,总是选择第二 种方案比选择第一种方案多加薪?
1 备课资料 一、备用例题 【例 1】 梯子最高一级宽 33 cm，最低一级宽为 110 cm，中间还有 10 级，各级的宽度成等 差数列，计算中间各级的宽度. 解：设{an}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知条件，可知 a 1=33，a 12=110，n=12，所以 a12=a1+(12-1)d，即得 110=33+11d，解之，得 d=7. 因此 a2=33+7=40,a3=40+7=47,a4=54,a5=61,a6=68,a7=75,a8=82,a9=89,a10=96,a11=103. 答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是 40 cm，47cm，54 cm，61 cm，68 cm，75 cm， 82 cm，89 cm，96 cm，103 cm. 【例 2】 已知 a b c 1 , 1 , 1 成等差数列，求证： a b + c ， b c + a ， c a + b 也成等差数列. 证明：因为 a 1 ， b 1 ， c 1 成等差数列，所以 b a c 2 1 1 = + ，化简得 2ac=b(a+c)，所以有 ac ac a c ac b a c a c ac bc c a ab c a b a b c 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 + + = + + + = + + + = + + + = b a c b a c a c ac a c + = • + + = + 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 . 因而 , a b + c , b c + a c a + b 也成等差数列. 【例 3】 设数列{an}、{bn}都是等差数列，且 a1=35，b1=75，a2+b2=100， 求数列{an+bn}的第 37 项的值. 分析：由数列{an}、{bn}都是等差数列，可得{an+bn}是等差数列，故可求出数列{an+bn}的公 差和通项. 解：设数列{an}、{bn}的公差分别为 d1，d2，则(a n+1+bn+1)-(an+bn)=(a n+1-an)+(bn+1-bn)=d1+d2 为 常 数 ， 所 以 可 得 {an+bn} 是 等 差 数 列 . 设 其 公 差 为 d ， 则 公 差 d=(a2+b2)-(a1+b1)=100-(35+75)=-10.因而 a37+b37=110-10×(37-1)=-250. 所以数列{an+bn}的第 37 项的值为-250. 点拨:若一个数列未告诉我们是等差数列时，应先由定义法判定它是等差数列后，方可使用 通项公式 an=a1+(n-1)d.但对客观试题则可以直接运用某些重要结论，直接判定数列是否为等 差数列. 【例 4】 在美国广为流传的一道数学题目是“老板给你两个加工资的方案：一是每年年末加 1 000 美元；二是每半年结束时加 300 美元，请你选择一种加薪方式”.一般不擅长数学的人， 很容易选择前者，因为一年加一千美元总比两个半年共加 600 美元要多.其实，由于加工资 是累计的时间稍长，往往会发现第二种方案更有利.例如：在第二年的年末，依第一种方案 共可以加得 1 000+2 000=3 000 美元；而第二种方案共可以加得 300+600+900+1 200=3 000 美元，但到了第三年，第一方案共可加得 6 000 美元，第二方案则共加得 6 300 美元，显然 多于第一种方案.第四年后会更多.因此，你若会在该公司干三年以上，则应选择第二方案. 根据以上材料，解答下列问题： (1)如果在该公司干十年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加薪多少美元？ (2)如果第二方案中的每半年加 300 美元改为每半年加 a 美元.问 a 取何值时，总是选择第二 种方案比选择第一种方案多加薪？
答案:(1)在该公司干10年,选择第二种方案比选项择第一种方案多加薪8000美元 (2)当a大于100时,总是第二方案加薪多于第一种方案 【例5】意大利的匹萨饼店的伙计们喜欢将饼切成形状各异的一块一块他们发现,每一种 确定的刀数,都可以有一个最多的块数例如,切一刀最多切成2块,切2刀最多切成4块, 切3刀最多切成7块问切n刀,最多可切出几块? (要求学生发挥自己的聪明才智,课外认真思考,分清每一种确定的刀数,都可以有一个最 多的块数,可先从少量的几刀去得出一些数据,再对数据加以分析,让学生学会归纳与总结 并能勇于联想、探索) 谷案:-n2+-n+1 、阅读材料 一个古老的数学课题 等差数列是一个古老的数学课题一个数列从第二项起,后项减去前项所得的差是一个 相等的常数,则称此数列为等差数列 在数学发展的早期已有许多人研究过数列这一课题,特别是等差数列例如早在公元前 2700年以前埃及数学的《莱因特纸草书》中,就记载着相关的问题在巴比伦晚期的《泥板 文书》中,也有按级递减分物的等差数列问题其中有一个问题大意是: 10个兄弟分100两银子,长兄最多,依次减少相同数目现知第八兄弟分得6两,问相 邻两兄弟相差多少? 在我国公元五世纪写成的《张丘建算经》中,透过五个具体例子,分别给出了求公差 总和、项数的一般步骤比如书中第23题(用现代语叙述) (1)有一女子不善织布,逐日所织布按数递减,已知第一日织5尺,最后一日织1尺,共 织了30日,问共织布多少? 这是一个已知首项(a1)、末项(a),以及项数(n)求总数(Sn)的问题,对此,原书提出的 解法是:总数等于首项加末项除2,乘以项数它相当于现今代数里的求和公式:Sn=a1+a n)印度数学家婆罗摩笈多在公元7世纪也得出了这个公式,并给出了求末项公式: an=a1+(-1)d (2)有一女子善于织布,逐日所织布按同数递增,已知第一日织5尺,经一月共织39丈, 问每日比前一日增织多少? 这是一个已知首项(a1),总数(Sn)以及项数(m),求公差(d)的问题,对此原书给出的解法是 d 等价于现在的求和公式:Sn=n 2a1+(n-1)d 2 书中第1题:今有某人拿钱赠人,第一人给3元,第二人给4元,第三人给5元,其余依次 递增分给给完后把这些人所得的钱全部收回,再平均分配,结果每人得100元,问人数多 这是一个已知首项(a1),公差(d以及n项的平均数m),求项数(n)的问题,对此原书给出的 解法是n=2(m-a)+d d 我国自张邱建之后,对等差数列的计算日趋重视,特别是在天文学和堆栈求积等问题的推动 2
2 答案：(1)在该公司干 10 年，选择第二种方案比选项择第一种方案多加薪 8 000 美元. (2)当 a 大于 3 1000 时，总是第二方案加薪多于第一种方案. 【例 5】 意大利的匹萨饼店的伙计们喜欢将饼切成形状各异的一块一块.他们发现，每一种 确定的刀数，都可以有一个最多的块数.例如，切一刀最多切成 2 块，切 2 刀最多切成 4 块， 切 3 刀最多切成 7 块……问切 n 刀，最多可切出几块? (要求学生发挥自己的聪明才智，课外认真思考，分清每一种确定的刀数，都可以有一个最 多的块数，可先从少量的几刀去得出一些数据，再对数据加以分析，让学生学会归纳与总结， 并能勇于联想、探索) 答案： 1 2 1 2 1 2 n + n + . 二、阅读材料 一个古老的数学课题 等差数列是一个古老的数学课题.一个数列从第二项起，后项减去前项所得的差是一个 相等的常数，则称此数列为等差数列. 在数学发展的早期已有许多人研究过数列这一课题，特别是等差数列.例如早在公元前 2700 年以前埃及数学的《莱因特纸草书》中，就记载着相关的问题.在巴比伦晚期的《泥板 文书》中，也有按级递减分物的等差数列问题.其中有一个问题大意是： 10 个兄弟分 100 两银子，长兄最多，依次减少相同数目.现知第八兄弟分得 6 两，问相 邻两兄弟相差多少？ 在我国公元五世纪写成的《张丘建算经》中，透过五个具体例子，分别给出了求公差、 总和、项数的一般步骤.比如书中第 23 题(用现代语叙述)： （1）有一女子不善织布，逐日所织布按数递减，已知第一日织 5 尺，最后一日织 1 尺，共 织了 30 日，问共织布多少？ 这是一个已知首项(a 1)、末项(an)，以及项数(n)求总数(S n)的问题，对此，原书提出的 解法是：总数等于首项加末项除 2，乘以项数.它相当于现今代数里的求和公式：Sn=(a 1+a n)· 2 n .印度数学家婆罗摩笈多在公元 7 世纪也得出了这个公式，并给出了求末项公式： an=a1+(n-1)d. （2）有一女子善于织布，逐日所织布按同数递增，已知第一日织 5 尺，经一月共织 39 丈， 问每日比前一日增织多少？ 这是一个已知首项(a1)，总数(Sn)以及项数(n)，求公差(d)的问题，对此原书给出的解法是. 1 2 2 1 − − = n a n S d n 等价于现在的求和公式： 2 2 ( 1) a1 n d Sn n + − = . 书中第 1 题：今有某人拿钱赠人，第一人给 3 元，第二人给 4 元，第三人给 5 元，其余依次 递增分给.给完后把这些人所得的钱全部收回，再平均分配，结果每人得 100 元，问人数多 少？ 这是一个已知首项(a1)，公差(d)以及 n 项的平均数(m)，求项数(n)的问题，对此原书给出的 解法是 d m a d n − + = 2( ) 1 . 我国自张邱建之后，对等差数列的计算日趋重视，特别是在天文学和堆栈求积等问题的推动
下,从对一般的等差数列的研究发展成为对高阶等差数列的研究在北宋沈括(1031~1095) 的《梦溪笔谈》中,“垛积术”就是第一个关于高级等差数列的求积法. 垛积术即“有限差分法”,我国古代用于天文历算和计算垛积 垛积术也就是高阶等差级数求和我国古代,对于一般等差数列和等比数列,很早就有了初 步的研究成果 《九章算术》中已经提出求等差数列各项以及已知首项、末项和项数求公差的问题,并用比 例方法来解决 公元5世纪末的《张邱建算经》给出了等差数列求和公式 2+1)与求公差的公式:d=1S2a) 南宋数学家杨辉,丰富和发展了沈括的成果,提出了诸如 12+22+32++m2=2 (n+1)(2n+1) S=1+3+6+10+.+ n(n+1)_1 =m(n+1)n+2) 之类的垛积公式 北宋科学家沈括的长方台形垛积(如图)的求和公式: s-ny2b+d)a+(2d+bc]+-(c-a 元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》和《算学启蒙》中得到一系列重要的高阶等差数列求和公 式朱世杰的垛积根差术,全面地推进了宋元数学家在这方面的研究工作
3 下，从对一般的等差数列的研究发展成为对高阶等差数列的研究.在北宋沈括(1031～1095) 的《梦溪笔谈》中，“垛积术”就是第一个关于高级等差数列的求积法. 垛积术即“有限差分法”，我国古代用于天文历算和计算垛积. 垛积术也就是高阶等差级数求和.我国古代，对于一般等差数列和等比数列，很早就有了初 步的研究成果. 《九章算术》中已经提出求等差数列各项以及已知首项、末项和项数求公差的问题，并用比 例方法来解决. 公元 5 世纪末的《张邱建算经》给出了等差数列求和公式： S= 2 1 n(a+1)与求公差的公式： 2 ) 2 ( 1 1 a n S n d − − = . 南宋数学家杨辉，丰富和发展了沈括的成果，提出了诸如 S=12+22+32+…+n 2= 6 n (n+1)(2n+1), S=1+3+6+10+…+ 2 n(n +1) = 6 1 n(n+1)(n+2) 之类的垛积公式. 北宋科学家沈括的长方台形垛积(如图)的求和公式： ( ) 6 [2 ) (2 ] 6 c a n b d a d bc n S = + + + + − . 元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》和《算学启蒙》中得到一系列重要的高阶等差数列求和公 式.朱世杰的垛积根差术，全面地推进了宋元数学家在这方面的研究工作