2.3等差数列的前n项和(第2课时) 学习目标 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式,了解等差数列的一些性质,并会用 它们解决一些相关问题,提高应用意识 合作学习 、设计问题,创设情境 复习引入 1.通项公式: 2.求和公式 3.两个公式中含有五个量,分别是 把公式看成方程,能解决几个量? 4.Sa是关于n的二次函数,二次函数存在最值问题,如何求最值? 5.S与an的关系:S=a1+a2+at+…+an+an,如何求数列{an}的通项公式? 、信息交流,揭示规律 6.两个公式中含有五个量,分别是Sn,an,n,d,an,两个公式对应两个方程,因此已知其中的 三个量,就可以求其他的两个量,即“知三求二
2.3 等差数列的前 n 项和(第 2 课时) 学习目标 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前 n 项和公式,了解等差数列的一些性质,并会用 它们解决一些相关问题,提高应用意识. 合作学习 一、设计问题,创设情境 复习引入 1.通项公式: 2.求和公式: 3.两个公式中含有五个量,分别是 ,把公式看成方程,能解决几个量? 4.Sn 是关于 n 的二次函数,二次函数存在最值问题,如何求最值? 5.Sn 与 an 的关系:Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an,如何求数列{an}的通项公式? 二、信息交流,揭示规律 6.两个公式中含有五个量,分别是 Sn,an,n,d,a1,两个公式对应两个方程,因此已知其中的 三个量,就可以求其他的两个量,即“知三求二
an=a1+(n-1)d, S==na+d. 7.S。是关于n的二次函数,二次函数可以求最值,归纳为求二次函数的最值问题,不过要注 意自变量n是正整数;还可以从研究数列的单调性及项的正负进而研究前n项和S的最值,方 法更具有一般性 有最大值 有最小值 8.Sn与an的关系:S2=a1+a2+a+…+an+an如何求数列{an}的通项公式? S-1=a1+a2+a3+…+an-1(n≥2) 只要两式相减就会得到a=SSn1(n≥2),只不过这个表达式中不含有a,需要单独考虑 是否符合a。=Sn-S 类似于分段函数 最后验证是否可以用一个式子来表示 运用规律,解决问题 9.已知一个等差数列{an}的前10项的和是310,前20项的和是1220,由此可以确定求其前 n项和的公式吗? 10.已知等差数列5,4,3,…的前n项和为Sn,求使得Sn最大的序号n的值 11.已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n,求这个数列的通项公式.这个数列是不是等差数 四、变式训练,深化提高
an=a1+(n-1)d, Sn==na1+d. 7.Sn 是关于 n 的二次函数,二次函数可以求最值,归纳为求二次函数的最值问题,不过要注 意自变量 n 是正整数;还可以从研究数列的单调性及项的正负进而研究前 n 项和 Sn 的最值,方 法更具有一般性. Sn= , 有最大值; 有最小值. 8.Sn 与 an 的关系:Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an 如何求数列{an}的通项公式? Sn-1=a1+a2+a3+…+an-1(n≥2) 只要两式相减就会得到 an=Sn-Sn-1(n≥2),只不过这个表达式中不含有 a1,需要单独考虑 a1 是否符合 an=Sn-Sn-1. 类似于分段函数. an= ,最后验证是否可以用一个式子来表示. 三、运用规律,解决问题 9.已知一个等差数列{an}的前 10 项的和是 310,前 20 项的和是 1220,由此可以确定求其前 n 项和的公式吗? 10.已知等差数列 5,4,3,…的前 n 项和为 Sn,求使得 Sn 最大的序号 n 的值. 11.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=n 2 +n,求这个数列的通项公式.这个数列是不是等差数 列? 四、变式训练,深化提高
12.已知{an}是一个等差数列,且a2=1,as=5. (1)求{an}的通项公式an (2)求{a}前n项和Sn的最大值 13.已知数列{a}的前n项和为S=n2+n+1,求这个数列的通项公式,这个数列是不是等差数 五、反思小结,观点提炼 参考答案 设计问题,创设情境 1.a=a1+(n-1)d 2.S=na+d 3.Sn, a,, n, d, ar 二、信息交流,揭示规律 7.n2 、运用规律,解决问题 9.分析:将已知条件代入等差数列前n项和的公式后,可得到两个关于a与d的二元一次 方程,然后确定a与d,从而得到所求前n项和的公式
12.已知{an}是一个等差数列,且 a2=1,a5=-5. (1)求{an}的通项公式 an; (2)求{an}前 n 项和 Sn 的最大值. 13.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=n 2 +n+1,求这个数列的通项公式,这个数列是不是等差数 列? 五、反思小结,观点提炼 参考答案 一、设计问题,创设情境 1.an=a1+(n-1)d 2.Sn==na1+d 3.Sn,an,n,d,a1 二、信息交流,揭示规律 7.n 2 +n= 8.an= 三、运用规律,解决问题 9.分析:将已知条件代入等差数列前 n 项和的公式后,可得到两个关于 a1 与 d 的二元一次 方程,然后确定 a1 与 d,从而得到所求前 n 项和的公式
解:由题意知S1。=310,S20=1220, 将它们代入公式S=na1+d,得到 解这个关于a1与d的方程组,得到a1=4,d=6, 所以S=4n+×6=3n2+n 这就是说,已知S10与S2可以确定这个数列的前n项和的公式, 这个公式是Sn=3n2+n. 10.解:方法一:令公差为d,则 d=a2-a1=a3-a2=3-4 所以S= 又n∈N,所以当n=7或者n=8时,S取最大值 方法二:d=a2-a1=a3-a2=3-4=, 其通项公式为a=5+(m-1)×=-n+ 因为a1=5>0,d=-<0,所以数列{an}的前n项和有最大值 即有解得即7≤n≤8,又n∈N", 所以当n=7或者n=8时,Sn取最大值 11.解:由题意知,当n=1时,a1=S1=,当n≥2时,S=n2+n,① Sn-1=(n-1)2+(n-1),② 由①②得a=Sn-Sn-=2n- 又当n=1时,2×1-=a,所以当n=1时,a也满足an=2n 则数列{an}的通项公式为a1=2n-(n≥1,n∈N) 这个数列是等差数列,an-an=2(这是一个与n无关的常数) 四、变式训练,深化提高 12.解:(1)设{an}的公差为d,由已知条件,解出a1=3,d= 所以a=a1+(n-1)d=2n+5 (2)Sn=na1+d=n2+4n=4-(n-2) 所以当n=2时,S2取到最大值4. 13.解:由题意知,当n=1时,a1=S1=, 当n≥2时,Sn=n2+n+1,①Sn-1=(n-1)2+(m-1)+1,② 由①-②得a=Sn-Sn-1=2n
解:由题意知 S10=310,S20=1220, 将它们代入公式 Sn=na1+d,得到 解这个关于 a1 与 d 的方程组,得到 a1=4,d=6, 所以 Sn=4n+×6=3n2 +n 这就是说,已知 S10 与 S20 可以确定这个数列的前 n 项和的公式, 这个公式是 Sn=3n2 +n. 10.解:方法一:令公差为 d,则 d=a2-a1=a3-a2=3-4=-, 所以 Sn==-. 又 n∈N * ,所以当 n=7 或者 n=8 时,Sn 取最大值. 方法二:d=a2-a1=a3-a2=3-4=-, 其通项公式为 an=5+(n-1)×=-n+. 因为 a1=5>0,d=-<0,所以数列{an}的前 n 项和有最大值. 即有解得即 7≤n≤8,又 n∈N * , 所以当 n=7 或者 n=8 时,Sn 取最大值. 11.解:由题意知,当 n=1 时,a1=S1=,当 n≥2 时,Sn=n 2 +n, ① Sn-1=(n-1)2 +(n-1), ② 由①-②得 an=Sn-Sn-1=2n-, 又当 n=1 时,2×1-=a1,所以当 n=1 时,a1 也满足 an=2n-, 则数列{an}的通项公式为 an=2n-(n≥1,n∈N). 这个数列是等差数列,an-an-1==2(这是一个与 n 无关的常数). 四、变式训练,深化提高 12.解:(1)设{an}的公差为 d,由已知条件,解出 a1=3,d=-2, 所以 an=a1+(n-1)d=-2n+5. (2)Sn=na1+d=-n 2 +4n=4-(n-2)2 , 所以当 n=2 时,Sn 取到最大值 4. 13.解:由题意知,当 n=1 时,a1=S1=, 当 n≥2 时,Sn=n 2 +n+1, ① Sn-1=(n-1)2 +(n-1)+1, ② 由①-②得 an=Sn-Sn-1=2n-
又当n=1时,2×1-≠a,所以当n=1时,a1不满足a=2n-, 则数列{an}的通项公式为an= 这个数列不是等差数列,a2-a1≠a3-a2=a4-a3=…=2. 五、反思小结,观点提炼
又当 n=1 时,2×1-≠a1,所以当 n=1 时,a1 不满足 an=2n-, 则数列{an}的通项公式为 an= 这个数列不是等差数列,a2-a1≠a3-a2=a4-a3=…=2. 五、反思小结,观点提炼 略 随着年岁的叠加，我们会渐渐发现：越是有智慧的人，越是谦虚，因为昂头的只是稗子，低头的才是稻子；越是富有的人，越是高贵，因为真正的富裕是灵魂上的高贵以及精神世界的富足；越是 优秀的人，越是努力，因为优秀从来不是与生俱来，从来不是一蹴而就。随着沧桑的累积，我们也会慢慢懂得：成功的路，其实并不拥挤，因为能够坚持到底的人实在太少；所有优秀的人，其实 就是活得很努力的人，所谓的胜利，其实最后就是自身价值观的胜利。人到中年，突然间醒悟许多，总算明白：人生，只有将世间的路一一走遍，才能到尽头；生活，只有将尘世况味种种尝遍， 才能熬出头。这世间，从来没有最好，只有更好。每天，总想要努力醒得比太阳还早，因为总觉得世间万物，太阳是最能赐人力量和能量的。每当面对喷薄的日出，心中的太阳随之冉冉腾起，生 命之火熊熊燃烧，生活的热情就会光芒四射。我真的难以想象，那些从来不早起的人，一生到底能够看到几回日升？那些从来没有良好习惯的人，活到最后到底该是多么的遗憾与愧疚？曾国藩说： 早晨不起，误一天的事；幼时不学，误一生的事。尼采也说：每一个不曾起舞的日子，都是对生命的辜负。光阴易逝，岂容我待？越是努力的人，越是没有时间抱怨，越是没有工夫颓丧。每当走 在黎明的曙光里，看到那些兢兢业业清洁城市的“美容师”，我就会由衷地欣赏并在心底赞叹他们，因为他们活得很努力很认真。每当看见那些奔跑在朝霞绚烂里的晨练者，我就会从心里为他们竖 起大拇指，因为他们给自己力量的同时，也赠予他人能量。我总觉得：你可以不优秀，但你必须有认真的态度；你可以不成功，但你必须努力。这个世界上，从来没有谁比谁更优秀，只有谁比谁 更努力。我也始终认为：一个活得很努力的人，自带光芒万丈；一个人认真的样子，比任何时候都要美好；一个能够自律自控的人，他的人生也就成功了大半。世间每一种的好，从来都只为懂得 努力的人盛装而来。有时候，我真的感觉，人生的另一个名字应该叫做努力，努力了就会无悔，努力了就会无愧；生活的另一种说法应该叫做煎熬，熬过了漫漫黑夜，天就亮了，熬过了萧萧冬日， 春天就来了。人生不易，越努力越幸运；余生不长，越珍惜越精彩。人生，是一本太仓促的书，越认真越深刻；生命，是一条无名的河，越往前越深邃。愿你不要为已逝的年华叹息，不要为前路 的茫茫而裹足不前愿你相信所有的坚持总能奏响黎明的号角，所有的努力总能孕育硕果的盛驾光临。愿你坚信越是成功的人越是不允许自己颓废散漫，越是优秀的人越是努力……生活中很多时候， 我们遇到一些复杂的情况，会很容易被眼前的障碍所蒙蔽，找不到解决问题的方法。这时候，如果能从当前的环境脱离出来，从一个新角度去解决问题，也许就会柳暗花明。一个土豪，每次出门 都担心家中被盗，想买只狼狗栓门前护院，但又不想雇人喂狗浪费银两。苦思良久后终得一法：每次出门前把 WiFi 修改成无密码，然后放心出门每次回来都能看到十几个人捧着手机蹲在自家门口， 从此无忧。护院，未必一定要养狗换个角度想问题，结果大不同。一位大爷到菜市场买菜，挑了 3 个西红柿到到秤盘，摊主秤了下：“一斤半 3 块7。”大爷：“做汤不用那么多。”去掉了最大的西 红柿。摊主:“一斤二两，3 块。”正当身边人想提醒大爷注意秤时，大爷从容的掏出了七毛钱，拿起刚刚去掉的那个大的西红柿，潇洒地换种算法，独辟蹊径，你会发现解决问题的另一个方法。生 活中，我们特别容易陷入非A即 B 的思维死角，但其实，遭遇两难困境时换个角度思考，也许就会明白：路的旁边还有路。一个鱼塘新开张，钓费 100 块。钓了一整天没钓到鱼，老板说凡是没钓 到的就送一只鸡。很多人都去了，回来的时候每人拎着一只鸡，大家都很高兴！觉得老板很够意思。后来，钓鱼场看门大爷告诉大家，老板本来就是个养鸡专业户，这鱼塘本来就没鱼。巧妙的去 库存，还让顾客心甘情愿买单。新时代，做营销，必须打破传统思维。孩子不愿意做爸爸留的课外作业，于是爸爸灵机一动说：儿子，我来做作业，你来检查如何？孩子高兴的答应了，并且把爸 爸的“作业”认真的检查了一遍，还列出算式给爸爸讲解了一遍不过他可能怎么也不明白为什么爸爸所有作业都做错了。巧妙转换角色，后退一步，有时候是另一种前进。一个博士群里有人提问： 一滴水从很高很高的地方自由落体下来，砸到人会不会砸伤？或砸死？群里一下就热闹起来，各种公式，各种假设，各种阻力，重力，加速度的计算，足足讨论了近一个小时 后来，一个不小心进 错群的人默默问了一句：你们没有淋过雨吗 人们常常容易被日常思维所禁锢，而忘却了最简单也是最直接的路有两个年轻人，大学毕业后一起到广州闯天下。 甲很快做成一单大生意，升为部门经理；乙业绩很差，还是一个业务员，并且是甲的手下。乙心理不平衡，就去庙里找和尚，求神明相助。和尚说：“你过三年再看。”三年后，他找到和尚，很沮 丧地说甲现在已经是总经理了。和尚说：再过三年再看。三年 又过去了，他又去见和尚，气急败坏地说：甲已经自己当老板了。和尚说：我也从普通和尚升为方丈了。我们都是自己，你是谁？我 们都为自己活着，监管着自己的责任，你在干什么？你痛苦地为甲活着，监管着他，你丢的不是职位、金钱和面子，你丢掉了自己。一年后，乙又来了，幸灾乐祸地说：和尚你不对，甲公司破产， 他坐牢了。和尚无语，心里悲悯：坐牢了，破产了，甲还是他自己。可是你这个可怜的人啊，还不是你自己呀。十年后，甲在监狱里服刑时，思索人生，写了一本书，很轰动，成了畅销书。签名 售书，成了名人，无限风光。甲还在电视上与和尚一起，作为名人谈经论道、感化众生。乙在出租屋里看电视，手里翻着甲的书，内心极度痛苦。他给和尚发短信：我相信命运了，甲坐牢都能坐 出好风光来。你还没找到自己乙就这样一辈子把自己给弄丢了。你看到别人一路畅通时，心中是否会愤愤不平？看到别人失意落魄时，又是否会幸灾乐祸，沾沾自喜？其实别人的好与坏，与你又 有什么关系呢？你需要要做的其实只是自己。真正智慧的人，在人生追求的路上，只有不断的自我升级，对照别人的一切，不断的鞭策自己，一路坚持，才能不断的升华，实现人生的梦想。 一 位少年家境贫寒，为了生计，他到一个庄园主家里当工人。他很勤奋，也很卖力，生怕自己干不好被辞退。庄园主是一位绅士，对待工人很友善。一天，他突然接到一个电话，那边传来一个中年 人的声音：“先生，您需不需要工人？”庄园主摇了摇头，轻声地说： “对不起，我有工人了，不需要。”我绝对可以起早贪黑干活，我的工钱可以减半！”对方急忙说。不，我的工人非常勤快， 真不需要。”庄园主有礼貌地补充说。我保证一刻也不闲着，包括所有角落的灰尘都擦到。”对方又说。我家的工人也是这么做的，像你一样细致。”庄园主回答说。对方无奈，只好挂断了电话。庄 园主不知道，安排打这个电话的，正是在庄园里干活的那位少年。那一天，他拿着发的第一个月的薪水，跑到镇上，找来自己的叔叔，用全部的薪水支付电话费用，然后让叔叔给庄园主打电话。 叔叔搞不清楚他在做什么，便问他说：“孩子，你就在那里做工，怎么还问人家需不需要工人？”少年听后笑了，对叔叔说：“叔叔，我在那里做工，就要对他们负责，我只想知道，在他们心中， 我做得怎么样，被不被认可。”叔叔顿时对这个侄子刮目相看，认为他将来必有出息，蹲下来告诉他：“孩子，将来无论你做什么，你都要记住你的那句话，经常问客户你做得怎么样……”少年后 来就跟在叔叔身边做生意，生意做得越来越好，最后离开了叔叔独自创业，跳槽到纽约一家公司，从零开始自己的职业生涯，逐渐出人头地。他叫范德利普，后来作为总裁，领导花旗银行十年
这十年的时光中，他的战略就是发展国内中小企业客户，而他每年都有大半的时间在各地跑，做调研，只为征求客户对银行的意见，再有针对性地改进。花旗银行在他的带领下实现了跨越式发展， 在他任职的第二年，便成为美国第一家总资产达数亿美元的银行，为它的辉煌发展打下了坚实基础，这就是一个企业家最大的智慧