等差数列前n项和的最值问题 教学内容分析 等差数列前n项和的最值问题,是在学生已学习了等差数列通项公式和前n项和公式 的基础上学习的,是对等差数列的通项公式和前n项和公式的一个重要应用。通过本节知 识点的学习,可作较深透的分析、训练和小结。适当地应用这种函数观点去解决等差数列前 n项和的最值问题,并归纳出求等差数列前n项和的最值的方法,不仅能够加深对数列概念 和公式的理解,加强知识点之间联系,增强化归能力,而且常起到化难为易的作用。 教学目标: 1、通过对等差数列前n项和的最值的方法的探究,使学生加深对数列概念和公式的理解 2、初步培养学生的观察—一分析和归纳——概括能力,提高学生解题的技巧和方法。 教学重点难点:将最值问题引向确定“项数”问题 教学方法:启发探究、讲练结合 教学过程 问题探究,导入新课 按要求,写出下列等差数列的基本量、前n项和Sn,及Sn的最值。并观察使等差数列 前n项和Sn取到最值时,序号n的规律。 ①等差数列10,7,4,1,-2,5,…则a=,d=Sn=_,(S)==,此时n ②等差数列-9,6,3,0,3,6,……则a=,d=_Sn=-(S)==,此时n=。 ③等差数列1,3,5,7,9,…则a1=,d=Sn=,(Sn)==,此时n ④等差数列1,2,3,4,5,……则a=,d=Sn=、(S)=,此时n= 尝试归纳:当d>0时,Sn有最小值;当d0.,d0,则Sn有最小值,此时n的取值为负的或非正的项数. ③若a1>0,d>0,则a1是Sn的最小值,n的取值为1
等差数列前 n 项和的最值问题 教学内容分析 等差数列前 n 项和的最值问题，是在学生已学习了等差数列通项公式和前 n 项和公式 的基础上学习的，是对等差数列的通项公式和前 n 项和公式的一个重要应用。通过本节知 识点的学习，可作较深透的分析、训练和小结。适当地应用这种函数观点去解决等差数列前 n 项和的最值问题，并归纳出求等差数列前 n 项和的最值的方法，不仅能够加深对数列概念 和公式的理解，加强知识点之间联系，增强化归能力，而且常起到化难为易的作用。 教学目标： 1、通过对等差数列前 n 项和的最值的方法的探究，使学生加深对数列概念和公式的理解。 2、初步培养学生的观察——分析和归纳——概括能力，提高学生解题的技巧和方法。 教学重点.难点：将最值问题引向确定“项数”问题 教学方法： 启发探究、讲练结合 教学过程： 一、问题探究，导入新课： 按要求，写出下列等差数列的基本量、前 n 项和 n S ，及 n S 的最值。并观察使等差数列 前 n 项和 n S 取到最值时，序号 n 的规律。 ①等差数列10，7，4，1，-2，-5，……. 则 1 ( )max , . , , n n a d S S = = = = 此时 n = 。 ②等差数列 –9, -6，-3，0，3，6，……. 则 1 ( )min , . , , n n a d S S = = = = 此时 n = 。 ③等差数列 1，3，5，7，9，…… 则 1 ( )min , . , , n n a d S S = = = = 此时 n = 。 ④等差数列-1，-2，-3，-4，-5，…… 则 1 ( )max , . , , n n a d S S = = = = 此时 n = 。 尝试归纳: 当 d 0 时， n S 有最小值；当 d 0 时， n S 有最大值。 ①若 1 a d 0, 0, 则 n S 有最大值，此时 n 的取值为正的项数． ②若 1 a d 0, 0, 则 n S 有最小值，此时 n 的取值为负的或非正的项数． ③若 1 a d 0, 0, 则 1 a 是 n S 的最小值，n 的取值为 1；
④若a10,n≥14时,an<0 当n=12或13时,S取得最大值,且最大值为S12=S13=12×20+12×1 3 130 解法二:同解法一求得 n(n-1 n∈N"当n=12或13时,Sn取得最大值,且最大值为S12=S13=130 (点评:解法二转化为二次函数求最值问题,但要注意n∈N“这一隐含条件,n=12或13时, S取得最大值,而不是=2时有最大值,体现了数列是一种特殊的函数。 解法三:同解法一求得d= 又由S10=S得a1+a12+a13+a14+a1=0.∴5c13=0,即a13=0。 当n=12或13时,Sn取得最大值,且最大值为S12=13=130 方法规律:求等差数列前n项和的最值,常用的方法 (1)利用性质求出其正、负转折项,便可求得和的最值,当a≥0,a≤0时,S为最 大;当ak≤0,a4+1≥0时,S为最小.(如解法一:通项法); B)2B2 (2)利用等差数列的前n项和Sn=An2+Bn=4m 24-4(A、B为常数)为二 次函数,根据二次函数的性质求最值(如解法二:二次函数法)。 【跟踪训练】
④若 1 a d 0, 0, 则 1 a 是 n S 的最大值，n 的取值为 1。 设计意图：导出问题：为什么有最大最小值？由于 n S 是关于 n 的二次函数，所以有最大最 小值问题。从而导入新课。板书课题：“等差数列前 n 项和的最值问题”） 二、实例分析，探寻规律： 例题：在等差数列{an}中，已知 a1=20，前 n 项和为 n S ，且 S10=S15，求 n 取何值时， n S 取得最大值，并求出它的最大值。 解析：解法一： 1 10 15 a S S = = 20, , 10 9 15 14 5 10 20 15 20 , . 2 2 3 d d d + = + =− ( ) 5 5 65 20 1 . 0. 13 3 3 3 a n n a n = + − − =− + = 即当 n 12 时， 0, 14 n a n 时， 0. n a 当 n=12或13时， n S 取得最大值，且最大值为 12 11 5 12 20 130. 12 13 2 3 S S = = + − = 解法二：同解法一求得 5 . 3 d =− ( 1) 5 20 2 3 n n S n n − = + − 2 5 125 5 25 3125 2 . 6 6 6 2 24 n n n =− + =− − + n N , 当 n=12或13时， n S 取得最大值，且最大值为 S12=S13=130. （点评：解法二转化为二次函数求最值问题，但要注意 n N 这一隐含条件，n=12或13时， n S 取得最大值，而不是 25 2 n= 时有最大值，体现了数列是一种特殊的函数。） 解法三：同解法一求得 5 . 3 d =− 又由 S10=S15得 11 12 13 14 15 a a a a a + + + + = 0. 13 = 5 0 a ，即 13 a = 0 。 当 n=12或13时， n S 取得最大值，且最大值为 S12=S13=130. 方法规律：求等差数列前 n 项和的最值，常用的方法： （1） 利用性质求出其正、负转折项，便可求得和的最值，当 1 0, 0 k k a a + 时， k S 为最 大；当 1 0, 0 k k a a + 时， k S 为最小.（如解法一：通项法）； （2） 利用等差数列的前 n 项和 2 2 2 2 4 B B S An Bn A n n A A = + = + − （ A 、B 为常数）为二 次函数，根据二次函数的性质求最值（如解法二：二次函数法）。 【跟踪训练】
已知{an}是一个等差数列,且a2=1,a3=5.(1)求{an}的通项an:(2)求{an}的 前n项和Sn的最大值。 (分析):由a2=1,a5=5可求得首项和公差,进而得通项an:只须再求出Sn,则 S,是关于n的二次函数,利用二次函数的单调性可求最值 解析:(1)设{an}的公差为d,由已知条件得 a,+d=1 a1+4d=-5 解得a1=3,d=-2,所以an=a1+(n-1)d=-2n+5 n2+4n=4-(m-2所以n=2时,S取到最大值4 另:请同学们参看例题的解法一,解决本题,让学生尝试活动中自己解决问题。) 尝试归纳:在等差数列中,求Sn的最大(小)值,其思路是找出某一项,使这项及它前面 的项皆取正(负)值或零,而它后面的各项皆取负(正)值,由an≥()0且an≤(≥)0即 可求出n,则从第一项起到该项的各项的和为最大(小)。由于Sn为关于n的二次函数,也 可借助二次函数的图像或性质求解 三、反馈练习,提升能力 1、已知:等差数列{an}中,a1=11,d=2.求:{an}的前n项和的最大值或最小值 思路分析:①将a1=1,d=2代入Sn可得关于n的一元二次函数,进而通过研究二次函数 达到解题目的;②利用数列单调性,在某一负数项an的后面必为正数,把最值问题引向求 项数问题,通过an≤0且an1≥0即可求出 (说明:学生讨论、解答,教师点评。教师要针对学生感到困难、关键的地方重点进行讲解 确保学生系统掌握知识。结论:当n=6时,S,取到最小值-36.) 2、设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和,则下列命题错误的是 、若d0 D、若对任意n∈N,均有S>0,则数列{Sn}是递增数列
已知 an 是一个等差数列，且 a2=1，a5=-5。（1）求 an 的通项 n a ；（2）求 an 的 前 n 项和 n S 的最大值。 （分析） ：由 a2=1，a5=-5可求得首项和公差，进而得通项 n a ；只须再求出 n S ，则 n S 是关于 n 的二次函数，利用二次函数的单调性可求最值。 解析：（1）设 an 的公差为 d，由已知条件得， 1 1 1 4 5, a d a d + = + = − 解得 1 a d = = − 3, 2 ，所以 a a n d n n = + − = − + 1 ( 1 2 5. ) （2） ( ) ( ) 1 2 2 4 4 2 . 1 2 n n S na d n n n n − = + =− + = − − 所以 n=2时， n S 取到最大值4. （另：请同学们参看例题的解法一，解决本题，让学生尝试活动中自己解决问题。） 尝试归纳：在等差数列中，求 n S 的最大（小）值，其思路是找出某一项，使这项及它前面 的项皆取正（负）值或零，而它后面的各项皆取负（正）值，由 ( )0 n a 且 1 ( )0 n a + 即 可求出 n，则从第一项起到该项的各项的和为最大（小）。由于 n S 为关于 n 的二次函数，也 可借助二次函数的图像或性质求解。 三、反馈练习，提升能力： 1、已知:等差数列 an 中, a1=-11，d=2. 求: an 的前 n 项和的最大值或最小值 思路分析：①将 a1=-11，d=2.代入 n S 可得关于 n 的一元二次函数，进而通过研究二次函数 达到解题目的；②利用数列单调性，在某一负数项 ma 的后面必为正数，把最值问题引向求 项数问题，通过 0 m a 且 1 0 m a + 即可求出。 （说明：学生讨论、解答，教师点评。教师要针对学生感到困难、关键的地方重点进行讲解。 确保学生系统掌握知识。结论：当 n=6时， n S 取到最小值-36.） 2、设 n S 是公差为 d d( 0) 的无穷等差数列 an 的前 n 项和，则下列命题错误的是 A、 若 d 0 ，则数列 Sn 有最大项； B、 若数列 Sn 有最大项，则 d 0 ； C、 若数列 Sn 是递增数列，则对任意 n N , 均有 0 n S ； D、 若对任意 n N , 均有 0 n S ，则数列 Sn 是递增数列
d 解析:因n sn=na1+on(n-1)d=an+a, 2,所以S是关于n的二次函数,当 d0,则数列{S}为递增数列,此时S0,则a=S>0且n+412对于n∈N"恒成立,20,即命题 D正确,故选C 四、知识小结,提高认识:(师生归纳) 1、等差数列前n项和的最值问题中求最值的两种方法各是什么? ()利用二次函数的单调性求最值:由于Sn=An2+Bm=)2B2 4A利用二次函 数求最值 (2)利用一次函数的单调性求最值:当d>0时,S有最小值:当d0,d0,则由14+1=o,求得等差数列{an}前n项和S取最小值时n 的取值 ③若a10,d>0,则a1是Sn的最小值 2、这两种解法的关键要把握住什么?(关键在于求出取得最值的项数) 3、利用函数的单调性求Sn最值的两种方法各要注意些是什么? ①利用二次函数的单调性求最值时,要画出函数图象,根据图象的对称性及单调性写出最 值,不容易出差错 ②利用一次函数的单调性求最值时,要注意:若am=0时,n=m和n=m-1时,S都取得 最值。 五、作业强化,能力提升:
解析：因 ( ) 1 2 1 1 1 2 2 2 d d S na n n d n a n n = + − = + − ，所以 n S 是关于 n 的二次函数，当 d 0 时，则 n S 有最大值，即数列 Sn 有最大项，故 A 命题正确。若 Sn 有最大项，即 对于 n N , n S 有最大值，故二次函数图象的开口要向下，即 d 0 ，故 B 命题正确。而若 1 a d 0, 0, 则数列 Sn 为递增数列，此时 1 S 0 ，故 C 命题错误。若对于任意的 n N , 均有 0 n S ，则 1 1 a S = 0, 且 0 1 2 2 d d n a+ − 对于 n N 恒成立， 0 2 d ，即命题 D 正确，故选 C。 四、知识小结，提高认识：（师生归纳） 1、等差数列前 n 项和的最值问题中求最值的两种方法各是什么? ⑴利用二次函数的单调性求最值：由于 2 2 2 2 4 B B S An Bn A n n A A = + = + − 利用二次函 数求最值． ⑵ 利用一次函数的单调性求最值：当 d 0 时， n S 有最小值；当 d 0 时， n S 有最大 值。 ①若 1 a d 0, 0, 则由 0 0 1 a n a n + ，求得等差数列 an 前 n 项和 n S 的最大值时 n 的 取值． ②若 1 a d 0, 0, 则由 0 0 1 a n a n + ，求得等差数列 an 前 n 项和 n S 取最小值时 n 的取值． ③若 1 a d 0, 0, 则 1 a 是 n S 的最大值；若 1 a d 0, 0, 则 1 a 是 n S 的最小值。 2、 这两种解法的关键要把握住什么?(关键在于求出取得最值的项数) 3、利用函数的单调性求 n S 最值的两种方法各要注意些是什么? ①利用二次函数的单调性求最值时，要画出函数图象，根据图象的对称性及单调性写出最 值，不容易出差错； ②利用一次函数的单调性求最值时，要注意：若 am=0时，n=m 和 n=m-1时， n S 都取得 最值。 五、作业强化，能力提升：
1、已知等差数列{an}中,若它的前n项和S满足SS 则下列结论错误的是:() A.dS5D.S6与S均为Sn的最大值 2、已知为等{an}差数列,a+a3+a3=105,a2+a+a=99,Sn是等差数列{an}的 前n项和,则使得S达到最大值的n是() C.19 D.18 3、设{an}是递减的等差数列,前三项的和是15,前三项的积是105,当该数列的前n项和 最大时 「,n等于( 4、已知数列{an}为等差数列,若a10 的最大值n为( C.20 D.21 5、已知等差数列{an}的首项a10,若它的前n项和S满足S2=51u,间n为何值时Sn有最值 7、已知等差数列{an}中若它的前n项和Sn满足s12>0s1<0,试判断n为何值时Sn有最 值.(高考题的变式)
1、已知等差数列 an 中, 若它的前 n 项和 n S 满足 5 6 6 7 8 S S S S S = , , 则下列结论错误的是：（ ） A. d 0 B. 7 a = 0 C. 9 5 S S D. 6 S 与 7 S 均为 n S 的最大值 2、已知为等 an 差数列， 1 3 5 a a a + + =105， 2 4 6 aaa + + = 99 ， n S 是等差数列 an 的 前 n 项和，则使得 n S 达到最大值的 n 是( ) A．21 B．20 C．19 D．18 3、设 an 是递减的等差数列，前三项的和是 15，前三项的积是 105，当该数列的前 n 项和 最大时， n 等于( ) A．4 B．5 C．6 D．7 4、已知数列 an 为等差数列，若 11 10 1 a a − ，且它们的 n 前项和 n S 有最大值，则使得 0 n S 的最大值 n 为( ) A．11 B．19 C．20 D．21 5、已知等差数列 an 的首项 a10,若它的前 n 项和 n S 满足 s3=s11,问 n 为何值时 n S 有最值. 7、已知等差数列 an 中,若它的前 n 项和 n S 满足 s12>0,s13<0, 试判断 n 为何值时 n S 有最 值.（高考题的变式）