等差数列的前n项和第一课时 教学目标和重难点 【教学目标】 ●知识目标 (1)掌握等差数列前n项和公式 (2)掌握等差数列前n项和公式的推导过程 (3)会简单运用等差数列的前n项和公式 ●能力日标 (1)通过对等差数列前n项和公式的推导过程渗透倒序相加求和的数学方 (2)通过公式的运用体会方程的思想 (3)通过运用公式的过程,提高学生类比化归、数形结合的能力 (4)体会从特殊到一般和一般到特殊的数学研究方法,进一步提高解决问题 的能力。 ●情感态度 结合具体模型,将教材知识和实际生活联系起来,使学生感受数学的实用性, 有效激发学习兴趣并通过对等差数列求和历史的了解,渗透数学史和数学文 化 【教学重、难点】 ●重点 探索并掌握等差数列前n项和公式的推导和应用 ●难点 等差数列前n项和公式推导思路的获得。 ●重、难点解决的方法策略 本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略.利用数形结 合、类比归纳的思想,层层深入,通过学生自主探究、分析、整理出推导公式的 不同思路,同时,借助多媒体的直观演示,帮助学生理解,并通过范例后的变式 训练和教师的点拨引导,师生互动、讲练结合,从而突出重点、突破教学难点。 【教学过程设计】 结合教材知识内容和教学目标,本课的教学环节设计如下: 创设情景 探究等差数列 公式应用与 提出问题数学故事前项和公式 数形结合议练活动(1) 新课引入 类比化归 前后呼应 公式应用 归纳总结 公式应用与 公式的认识 议练活动(2) 与理解
等差数列的前 n 项和第一课时 教学目标和重难点 【教学目标】： ● 知识目标 (1)掌握等差数列前 n 项和公式; (2)掌握等差数列前 n 项和公式的推导过程; (3)会简单运用等差数列的前 n 项和公式。 ● 能力目标 (1) 通过对等差数列前 n 项和公式的推导过程,渗透倒序相加求和的数学方 法； (2) 通过公式的运用体会方程的思想； (3) 通过运用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力； (4) 体会从特殊到一般和一般到特殊的数学研究方法，进一步提高解决问题 的能力。 ● 情感态度 结合具体模型,将教材知识和实际生活联系起来,使学生感受数学的实用性, 有效激发学习兴趣,并通过对等差数列求和历史的了解,渗透数学史和数学文 化。 【教学重、难点】 ● 重点 探索并掌握等差数列前 n 项和公式的推导和应用。 ● 难点 等差数列前 n 项和公式推导思路的获得。 ● 重、难点解决的方法策略 本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．利用数形结 合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究、分析、整理出推导公式的 不同思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过范例后的变式 训练和教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。 【教学过程设计】 结合教材知识内容和教学目标，本课的教学环节设计如下： 数学故事 数形结合 新课引入 类比化归 前后呼应 公式应用 创设情景 提出问题 探究等差数列 前 n 项和公式 公式应用与 议练活动（1） 公式的认识 与理解 公式应用与 议练活动（2） 归纳总结
【教学过程】 教学 教师活动 设计 学生活动 环节 意图 创「创设情境:一天,高斯和老师去买铅笔,商 店里有一个堆放铅笔的V形架,V形架的最 下面一层放一支铅笔,往上每一层都比它下 用实际 设面一层多放一支,最上面一层放100间: 生活 你知道这个V形架上共放着多少支铅笔 吗? 运用数学故事,体会生活实引入 情 例,抽象出模型,体会并思|新课。 问题1提出:计算1+2+3+4+..100=? 考回答问题 教师活动:引出前n项和的定义,(板书) 景|并引出高斯的故事 提出问题:高斯如何计1+2+3+4++100? 活动:回答高斯故事 高斯求和 教师活动:总结高斯算法所蕴含的思想方法 总结算法思想:1+100=101 高明之处:将不同数的求和问题转化为相同数的2+99101,5+51=10 众所周知 求和问题 (1+101)=5050 学生能快 问题2:S=1+2+3+…+n=? 学生1:将首末两项配对,第二项与解答 探教师:引导学生,引出倒序相加法,总结各种解|倒数第二项配对,以此类推,每一对这里用到 法展示最优解法,避免分类讨论. 的和都相等,并且都等于1+n 1+2+3+…+n 列性质 =n+…+3+2+1 学生2:不一定,需要对n取值的奇从高斯 两式相加后可得Sn(n+1) 偶进行讨论。当n为偶数时刚好配对算法出 索 成功。当n为奇数时,中间的一项落进行讨论 单了。学生3: 寻找求和 公式思路 问题3:已知等差数列{an},求前n项和Sn学生:学生思考,不难发现用自然,学 倒置的思想来解决此问题。 生容易想 公 由上一问题的解决,学生到 教师活动:对于更一般的等差数列怎么求容易想到倒序相加求和法。)|但对中间 和?大家思考并相互讨论 项的解决 教师板书 学生:利用倒序相加求和办法过程 Sn=a+a2+…+an1+an,法。(在这个过程相互讨论交有难度, 进一步让 式 学生体会 研究数列 两式相加得:2Sn=n(a1+an) 就是对脚 标数学的 n(a,+a,) 问题:由刚才的练习,根据所学能否给求学生:将求和公式与梯形面利用数
【教学过程】 教学 环节 设 计 意 图 创 设 情 景 创设情境：一天，高斯和老师去买铅笔，商 店里有一个堆放铅笔的 V 形架，V 形架的最 下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下 面一层多放一支，最上面一层放 100 支.问： 你知道这个 V 形架上共放着多少支铅笔 吗？ 问题 1 提出：计算 1+2+3+4+….100=？ 教师活动：引出前 n 项和的定义，（板书） 并引出高斯的故事。 运用数学故事，体会生活实 例，抽象出模型，体会并思 考回答问题. 用实际 生活 引入 新课。 探 索 公 式 提出问题：高斯如何计 1+2+3+4+…..+100？ 教师活动：总结高斯算法所蕴含的思想方法 高明之处：将不同数的求和问题转化为相同数的 求和问题. 问题 2： 教师：引导学生，引出倒序相加法，总结各种解 法.展示最优解法，避免分类讨论. 两式相加后可得 问题 3：已知等差数列{ n a }，求前n项和 n S , 教师活动：对于更一般的等差数列怎么求 和？大家思考并相互讨论。 教师板书： 两式相加得： 问题：由刚才的练习，根据所学：能否给求 活动：回答高斯故事 总 结 算 法 思 想 ： 1+100=101 ， 2+99=101，…..50+51=101， ∴50 （1+101）=5050 学生 1：将首末两项配对，第二项与 倒数第二项配对，以此类推，每一对 的和都相等，并且都等于 。 学生 2：不一定，需要对 n 取值的奇 偶进行讨论。当 n 为偶数时刚好配对 成功。当 n 为奇数时，中间的一项落 单了。学生 3:……. 学生：学生思考，不难发现用 倒置的思想来解决此问题。 （由上一问题的解决，学生 容易想到倒序相加求和法。） 学生：利用倒序相加求和 法。（在这个过程相互讨论交 流） 学生：将求和公式与梯形面 高斯求和 众所周知 学生能快 解答。 这里用到 了等差数 列性质. 从高斯 算法出 发，对 n 进行讨论 寻找求和 公式思路 自然，学 生容易想 到。 但对中间 项的解决 办法过程 有难度， 进一步让 学生体会 研究数列 就是对脚 标数学的 研究。 利用数 教 师 活 动 学 生 活 动 1 2 1 ? n n n S a a a a = + + + + = − 1+ n Sn = a1 + a2 ++ an−1 + an Sn = an + an−1 ++ a2 + a1 2 ( ) Sn = n a1 + an 1 ( ) 2 n n n a a S + = 1 2 3 ? n S n = + + + + = 1 2 3 n S n = + + + + 3 2 1 n S n = + + + + ( 1) 2 n n n S + =
和公式一个几何解释呢? 积公式建立联系,而梯形面|形结合 教师提示将求和公式与梯形建立联系。积公式的推导也正是利用的思 公式1:Sm(a1+an) 了倒置的思想。 想,使 学生对 两个公 式有直 观的认 探 识,体 会数学 的图形 学生:同样将公式2与梯语言 形面积公式建立联系。用 割”的思想将梯形分做 个平行四边形和一个三角结合所 公式2:Sn=na1+ n(n 形,而梯形面积就是这两部学方便 2 d分面积之和 学生对 索 公式深 刻理解 (n-1)d 公 剖析公式: 学生讨论:公式中一共含有 公式1Sn n(a,+a,) 五个量,根据三个公式之间 2 的联系,由方程的思想,知 公式2S=mn+d 三可求二。 式 通项公式:an=a1+(n-1) 教师提示,从方程中量的关系入手。 练习:根据下列各题中的条件,求相应的等差数列{a}的 体会方
探 索 公 式 和公式一个几何解释呢？ 教师提示将求和公式与梯形建立联系。 1 a n a n n a 1 a 1 a n n 剖析公式： 教师提示，从方程中量的关系入手。 练习:根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an｝的 积公式建立联系，而梯形面 积公式的推导也正是利用 了倒置的思想。 学生：同样将公式 2 与梯 形面积公式建立联系。用 “割”的思想将梯形分做一 个平行四边形和一个三角 形，而梯形面积就是这两部 分面积之和。 学生讨论：公式中一共含有 五个量，根据三个公式之间 的联系，由方程的思想，知 三可求二。 形结合 的 思 想，使 学生对 两个公 式有直 观的认 识，体 会数学 的图形 语言。 结合所 学方便 学生对 公式深 刻理解. 体会方 d n n Sn na 2 ( 1) 2 1 − 公式 ： = + 2 ( ) 1: 1 n n n a a S + 公式 = an = a1 + (n −1)d 1 a (n −1)d 1 ( ) 1 2 n n n a a S + 公式 = 1 ( 1) 2 2 n n n S na d − 公式 = + 通项公式：an = a1 + (n −1)d
学生:运算并回答 程的思 (1)a=5,a=95,=10 想方法 (2)a1=100,c-2,50 例1,在引导学生如何确定 例1、计算 项数 深刻认 (1)5+6+7+…+79+8 识公式 并懂得 公(3)1-2+3-4+5+6+…+(2n1) 运用 例2.2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实 巩固所学 施“校校通”工程的通知》,某市据此提出了实施“校例2培养学生分析问题的能力,通公式 通”工程的总目标:从20年起用10年的时间,在全市过对实际问题的解决让学生认识数 中小学建成不同标准的校园网,据测算,从2001年该市 式|用于“校校通”工程的经费为50万元,为了保证工程的学来源于生活,同时又服务于生活 顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年增加50万元, 那么从2001年起的未来10年内,该市在“校校通”工程 中的总投入是多少? 教师活动:注意引导学生分析,同时板书。 解:从2001年起的未来10年,每年投入“校校通”的资 例3在解 决了练习 认|金构成等差数列:a1=50,=50m=10 的基 S0=10×500+×50=7250(万元) 上,由浅 答:从2001年起未来10年,该市的总投入是7250万元 化了对公 式的理 例3、已知一个等差数列的前10项的和是 解,体现 310,前20项的和是1220,由此可以确定 了方程的 识|求其前n项和的公式吗? 思想。 练习1 在等差数列{an}中,a1=20,an=54, 紧扣教 材,让学 理|Sn=99,求n 生体会整 体应用公 练习2、 练习3让学生体会数列的 式,类比 等差数列10,-6,.2,2,…的前项性质在求和中的简便应用,化的思 和为54。 为后续讲解埋下伏笔。 想方法, 同时,为 练习3 以后综合 在等差数列{an}中 40,求S 问题的解 答设下伏
公 式 认 识 理 解 Sn ： （1）a1=5，an=95，n=10 （2）a1=100，d=－2，n=50 例 1、计算 （1） 5+6+7+…+79+80 （2） 1+3+5+…+（2n-1） （3）1-2+3-4+5-6+…+（2n-1）-2n 例 2.2000 年 11 月 14 日教育部下发了《关于在中小学实 施“校校通”工程的通知》.某市据此提出了实施“校校 通”工程的总目标：从 2001 年起用 10 年的时间，在全市 中小学建成不同标准的校园网，据测算，从 2001 年该市 用于“校校通”工程的经费为 500 万元，为了保证工程的 顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加 50 万元， 那么从 2001 年起的未来 10 年内，该市在“校校通”工程 中的总投入是多少？ 教师活动：注意引导学生分析，同时板书。 解：从 2001 年起的未来 10 年，每年投入“校校通”的资 金构成等差数列 an , 1 a ＝500，d＝50,n=10, 10 10 9 10 500 50 7250( 2 S = + = 万元） 答：从 2001 年起未来 10 年，该市的总投入是 7250 万元. 例 3、已知一个等差数列的前 10 项的和是 310，前 20 项的和是 1220，由此可以确定 求其前 n 项和的公式吗？ 练习 1、 在等差数列 { } a n 中， a1 = 20 , an = 54 ， S n = 999 ，求 n 练习 2、 等差数列-10，-6，-2,2，……的前____项 和为 54。 练习 3、 在等差数列 { } a n 中，a3 + a15 = 40 ，求 S 17 学生：运算并回答. 例 1，在引导学生如何确定 项数 例 2 培养学生分析问题的能力。通 过对实际问题的解决让学生认识数 学来源于生活，同时又服务于生活. 练习 3 让学生体会数列的 性质在求和中的简便应用， 为后续讲解埋下伏笔。 程的思 想方法 深刻认 识公式 并懂得 运用. 巩固所学 公式. 例 3 在解 决了练习 的基础 上，由浅 入深，深 化了对公 式的理 解，体现 了方程的 思想。 紧扣教 材，让学 生体会整 体应用公 式，类比 化归的思 想方法， 同时，为 以后综合 问题的解 答设下伏 笔
(1)回顾从特殊到一般 般到特殊的研究方法 教师引导学生归纳总结本节课所学习的 通过归纳 /主要内容 (2)体会等差数列的基本 元表示方法,倒序相加的算 总结本节 及数形结合的数学思所学,进 一步掌握 (3)掌握等差数列的两个知识,达 2、课后作业: 求和公式及简单应用 到对所学 课时作业相应章节 的数学知 总 识、思想 等方法有 更深刻的 结 认识和理
课 堂 总 结 1、教师引导学生归纳总结本节课所学习的 主要内容． 2、课后作业： 课时作业相应章节 （1）回顾从特殊到一般， 一般到特殊的研究方法. （2）体会等差数列的基本 元表示方法，倒序相加的算 法，及数形结合的数学思 想. （3）掌握等差数列的两个 求和公式及简单应用。 通过归纳 总结本节 所学，进 一步掌握 知识，达 到对所学 的数学知 识、思想 等方法有 更深刻的 认识和理 解