2.3等差数列的前n项和(1) 学习目标1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.2.经历公式的推导过程,体验从特殊 到一般的研究方法,学会观察、归纳、反思.3.熟练掌握等差数列的五个量a,d,n,a,S 的关系,能够由其中三个求另外两个 问题导学 知识点一等差数列前n项和公式的推导 思考高斯用1+2+3+…+100=(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=101×50迅速求出 了等差数列前100项的和.但如果是求1+2+3+…+n,不知道共有奇数项还是偶数项怎么 答案不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对.但我们可以采用倒序相加来回避这个问 设S=1+2+3+…+(m-1)+n 又S2=n+(n-1)+(n-2)+…+2+1, ∴2S=(1+n)+[2+(m-1)]+… +[(m-1)+2]+(n+1) ∴2S=n(n+1), s-n n+- 梳理“倒序相加法”可以推广到一般等差数列求前n项和,其方法如下: Sn=a1+a+a3+…+a-1+a a+(a+d+(a+2d+…+[a+(m-2)d+[a+(n-1)d S,=a,taa-1+aa-2+.+a2+a a+(a-d+(a-2d+…+[an-(n-2)d+[an-(m-1)d 两式相加,得2S=n(a+an) 由此可得等差数列{an}的前n项和公式S2= 根据等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d, n n-1 代入上式可得S2=ma+ 知识点二等差数列前n项和公式的特征 思考1等差数列{a}中,若已知a=7,能求出前3项和S吗? 3a+ 答案S 思考2我们对等差数列的通项公式变形:an=a+(m-1)d=dm+(a-d,分析出通项公式
2.3 等差数列的前 n 项和（1） 学习目标 1.掌握等差数列前 n 项和公式及其获取思路.2.经历公式的推导过程，体验从特殊 到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思.3.熟练掌握等差数列的五个量 a1，d，n，an，Sn 的关系，能够由其中三个求另外两个． 知识点一 等差数列前 n 项和公式的推导 思考 高斯用 1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50 迅速求出 了等差数列前 100 项的和．但如果是求 1＋2＋3＋…＋n，不知道共有奇数项还是偶数项怎么 办？ 答案 不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对．但我们可以采用倒序相加来回避这个问 题： 设 Sn＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n， 又 Sn＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1， ∴2Sn＝(1＋n)＋[2＋(n－1)]＋… ＋[(n－1)＋2]＋(n＋1)， ∴2Sn＝n(n＋1)， ∴Sn＝ n n＋1 2 . 梳理 “倒序相加法”可以推广到一般等差数列求前 n 项和，其方法如下： Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an ＝a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋…＋[a1＋(n－2)d]＋[a1＋(n－1)d]； Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a2＋a1 ＝an＋(an－d)＋(an－2d)＋…＋[an－(n－2)d]＋[an－(n－1)d]． 两式相加，得 2Sn＝n(a1＋an)， 由此可得等差数列{an}的前 n 项和公式 Sn＝ n a1＋an 2 . 根据等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d， 代入上式可得 Sn＝na1＋ n n－1 2 d. 知识点二 等差数列前 n 项和公式的特征 思考 1 等差数列{an}中，若已知 a2＝7，能求出前 3 项和 S3 吗？ 答案 S3＝ 3 a1＋a3 2 ＝3× a1＋a3 2 ＝3a2＝21. 思考 2 我们对等差数列的通项公式变形：an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，分析出通项公式
与一次函数的关系.你能类比这个思路分析一下S=ma1+ d吗? 答案按n的降幂展开S=m+2d=元2+(a-)n是关于n的二次函数形式,且 常数项为0. 梳理等差数列{a}的前n项和S,有下面几种常见变形: an+ (1)S (35=2n+(a-5(S是公差为的等差数列 知识点三等差数列前n项和公式的性质 思考如果{an}是等差数列,那么a+a+…+通0,ah1+a2+…十,a+2+…+a0是等 差数列吗? 答案(a1+a2+…+a0)-(a1+a2+…+a) 10d+10d+…+10d=100d,类似可得 0个 (a1+a2+…+a3)=100d ∴a+a+…+ +a0是等差数列 梳理(1)S,Sn,Sn分别为等差数列{an}的前m项,前2m项,前3m项的和,则S,S-S, S-S2n也成等差数列,公差为md (2)若等差数列的项数为2n(n∈N),则S2=D(a+ax),且S偶-Sa=d, (3)若等差数列的项数为2m-1(n∈N), 则S-1=(2m=1)a,且S含-S=a,Sa=Bn,Sg=(n-1)·么,S= 2题型探究 类型一等差数列前n项和公式的应用 命题角度1方程思想 例1已知一个等差数列{a}的前10项的和是310,前20项的和是1220,由这些条件能确 定这个等差数列的前n项和的公式吗?
与一次函数的关系．你能类比这个思路分析一下 Sn＝na1＋ n n－1 2 d 吗？ 答案 按 n 的降幂展开 Sn＝na1＋ n n－1 2 d ＝ d 2 n 2＋(a1－ d 2 )n 是关于 n 的二次函数形式，且 常数项为 0. 梳理 等差数列{an}的前 n 项和 Sn，有下面几种常见变形： (1)Sn＝n· a1＋an 2 ； (2)Sn＝ d 2 n 2＋(a1－ d 2 )n； (3)Sn n ＝ d 2 n＋(a1－ d 2 )({Sn n }是公差为d 2 的等差数列)． 知识点三 等差数列前 n 项和公式的性质 思考 如果{an}是等差数列，那么 a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30 是等 差数列吗？ 答案 (a11＋a12＋…＋a20)－(a1＋a2＋…＋a10) ＝(a11－a1)＋(a12－a2)＋…＋(a20－a10) ＝10 10 10 0 ＋ ＋…＋ 1 个 d d d ＝100d，类似可得 (a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝100d. ∴a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋… ＋a30 是等差数列． 梳理 (1)Sm，S2m，S3m分别为等差数列{an}的前 m 项，前 2m 项，前 3m 项的和，则 Sm，S2m－Sm， S3m－S2m也成等差数列，公差为 m 2 d. (2)若等差数列的项数为 2n(n∈N * )，则 S2n＝n(an＋an＋1)，且 S 偶－S 奇＝nd， S奇 S偶 ＝ an an＋1 . (3)若等差数列的项数为 2n－1(n∈N * )， 则 S2n－1＝(2n－1)an，且 S 奇－S 偶＝an，S 奇＝nan，S 偶＝(n－1)·an， S奇 S偶 ＝ n n－1 . 类型一 等差数列前 n 项和公式的应用 命题角度 1 方程思想 例 1 已知一个等差数列{an}的前 10 项的和是 310，前 20 项的和是 1 220，由这些条件能确 定这个等差数列的前 n 项和的公式吗？
解方法一由题意知S0=310,S0=1220, 将它们代入公式S=ma+201 10ah+45d=310, 得到 20a1+190d=1220 =4 解方程组得 Sn=n×4 ×6=3n+n 2 方法二S0 310→a+a0=62, 1220→a+a20=122 ②一①得a0-a0=60 ∴10d=60, ∴d=6,a=4. n n-1 SR d=3n2+n. 反思与感悟(1)在解决与等差数列前n项和有关的问题时,要注意方程思想和整体思想的运 用 (2)构成等差数列前n项和公式的元素有a,d,D,a,S,知其三能求其二 跟踪训练1在等差数列{a》}中,已知d=2,a=11,Sn=35,求函和n 2×2=35, n=5, 7=7 解方程组得 命题角度2实际应用 例2某人用分期付款的方式购买一件家电,价格为1150元,购买当天先付150元,以后 每月的这一天都交付50元,并加付欠款利息,月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算 分期付款的第一个月,则分期付款的第10个月该交付多少钱?全部贷款付清后,买这件家电 实际花费多少钱?
解 方法一 由题意知 S10＝310，S20＝1 220， 将它们代入公式 Sn＝na1＋ n n－1 2 d， 得到 10a1＋45d＝310， 20a1＋190d＝1 220， 解方程组得 a1＝4， d＝6. ∴Sn＝n×4＋ n n－1 2 ×6＝3n 2＋n. 方法二 S10＝ 10 a1＋a10 2 ＝310⇒a1＋a10＝62， ① S20＝ 20 a1＋a20 2 ＝1 220⇒a1＋a20＝122， ② ②－①得 a20－a10＝60， ∴10d＝60， ∴d＝6，a1＝4. ∴Sn＝na1＋ n n－1 2 d＝3n 2＋n. 反思与感悟 (1)在解决与等差数列前 n 项和有关的问题时，要注意方程思想和整体思想的运 用； (2)构成等差数列前 n 项和公式的元素有 a1，d，n，an，Sn，知其三能求其二． 跟踪训练 1 在等差数列{an}中，已知 d＝2，an＝11，Sn＝35，求 a1 和 n. 解 由 an＝a1＋ n－1 d， Sn＝na1＋ n n－1 2 d， 得 a1＋2 n－1 ＝11， na1＋ n n－1 2 ×2＝35， 解方程组得 n＝5， a1＝3 或 n＝7， a1＝－1. 命题角度 2 实际应用 例 2 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为 1 150 元，购买当天先付 150 元，以后 每月的这一天都交付 50 元，并加付欠款利息，月利率为 1%.若交付 150 元后的一个月开始算 分期付款的第一个月，则分期付款的第 10 个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电 实际花费多少钱？
解设每次交款数额依次为a,a2,…,a0, 则a1=50+1000×1%=60(元) a2=50+(1000-50)×1%=59.5(元), ao=50+(1000-9×50)×1%=55.5(元), 即第10个月应付款55.5元 由于{an}是以60为首项,以-0.5为公差的等差数列 所以有易60+60-19×0.5×20=105(元) 即全部付清后实际付款1105+150=1255(元) 反思与感悟建立等差数列的模型时,要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和 项数.本题是根据首项和公差选择前n项和公式进行求解. 跟踪训练2甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动,甲第1分钟走2m,以后 每分钟比前1分钟多走1m,乙每分钟走5m (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇? (2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回,甲继续每分钟比前1分钟多走1m,乙继续每分钟 走5m,那么开始运动几分钟后第二次相遇? 解(1)设n分钟后第1次相遇,依题意 有2n+2m1+5m=70,整理得+13n-140=0 解之得n=7 20(舍去) 所以第1次相遇是在开始运动后7分钟 (2)设n分钟后第2次相遇,依题意, 有2n+ 2+5n=3×70, 整理得n+13n-420=0. 解之得n=15,n=-28(舍去) 所以第2次相遇是在开始运动后15分钟 类型二等差数列前n项和的性质的应用 例3(1)等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,求数列{a}的前3m项的和Sn (2)两个等差数列{an},{b}的前n项和分别为S和,已知 S._7n+2,求的值 Tnn+3,小b 解(1)方法一在等差数列中, S,Sa-S,S。-S成等差数列 0,70,Sn-100成等差数列
解 设每次交款数额依次为 a1，a2，…，a20， 则 a1＝50＋1 000×1%＝60(元)， a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5(元)， … a10＝50＋(1 000－9×50)×1%＝55.5(元)， 即第 10 个月应付款 55.5 元． 由于{an}是以 60 为首项，以－0.5 为公差的等差数列， 所以有 S20＝ 60＋ 60－19×0.5 2 ×20＝1 105(元)， 即全部付清后实际付款 1 105＋150＝1 255(元)． 反思与感悟 建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和 项数．本题是根据首项和公差选择前 n 项和公式进行求解． 跟踪训练 2 甲、乙两物体分别从相距 70 m 的两处同时相向运动，甲第 1 分钟走 2 m，以后 每分钟比前 1 分钟多走 1 m，乙每分钟走 5 m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？ (2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前 1 分钟多走 1 m，乙继续每分钟 走 5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？ 解 (1)设 n 分钟后第 1 次相遇，依题意， 有 2n＋ n n－1 2 ＋5n＝70，整理得 n 2＋13n－140＝0. 解之得 n＝7，n＝－20(舍去)． 所以第 1 次相遇是在开始运动后 7 分钟． (2)设 n 分钟后第 2 次相遇，依题意， 有 2n＋ n n－1 2 ＋5n＝3×70， 整理得 n 2＋13n－420＝0. 解之得 n＝15，n＝－28(舍去)． 所以第 2 次相遇是在开始运动后 15 分钟． 类型二 等差数列前 n 项和的性质的应用 例 3 (1)等差数列{an}的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，求数列{an}的前 3m 项的和 S3m； (2)两个等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn和 Tn，已知Sn Tn ＝ 7n＋2 n＋3 ，求a5 b5 的值． 解 (1)方法一 在等差数列中， ∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列， ∴30,70，S3m－100 成等差数列．
2×70=30+(S-100), S8=210. 方法二在等差数列中, 成等差数列, S⊥S 即S=3(S-S2)=3×(100-30)=210 1 b+a S7×9+2 反思与感悟等差数列前n项和S的有关性质在解题过程中,如果运用得当可以达到化繁为 简、化难为易、事半功倍的效果 跟踪训练3设{an}为等差数列,S为数列{a}的前n项和,已知S=7,S5=75,T为数 的前n项和,求T 解设等差数列{an}的公差为d, 则S2=ma+n(m-1)d, ∵S=7,S5=75, 「7a1+21d=7 u1a+105d=75 +3d=1, +7d=5 解得 d=1 (n-1)d=n-5 +1n
∴2×70＝30＋(S3m－100)， ∴S3m＝210. 方法二 在等差数列中，Sm m ， S2m 2m ， S3m 3m 成等差数列， ∴ 2S2m 2m ＝ Sm m ＋ S3m 3m . 即 S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210. (2)a5 b5 ＝ 1 2 a1＋a9 1 2 b1＋b9 ＝ 9 a1＋a9 2 9 b1＋b9 2 ＝ S9 T9 ＝ 7×9＋2 9＋3 ＝ 65 12. 反思与感悟 等差数列前 n 项和 Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为 简、化难为易、事半功倍的效果． 跟踪训练 3 设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前 n 项和，已知 S7＝7，S15＝75，Tn为数列 Sn n 的前 n 项和，求 Tn. 解 设等差数列{an}的公差为 d， 则 Sn＝na1＋ 1 2 n(n－1)d， ∵S7＝7，S15＝75， ∴ 7a1＋21d＝7， 15a1＋105d＝75， 即 a1＋3d＝1， a1＋7d＝5， 解得 a1＝－2， d＝1. ∴ Sn n ＝a1＋ 1 2 (n－1)d＝ 1 2 n－ 5 2 ， ∴ Sn＋1 n＋1 － Sn n ＝ 1 2
数列是等差数列其首项为一2,公差为 3当堂训练 1.在等差数列{a}中,若S0=120,则a+a的值是() A.12 B.24 C.36 答案B 10a+a0 解析由S0 2 a+ao=50120 2.记等差数列的前n项和为S,若S2=4,S=20,则该数列的公差d等于() B.3 C.6 答案B ∫S=2a+d=4, 解析方法一由 S4=4a+6d=20, 解得d=3 方法二由S-S=a+a1=a1+2d+a+2d=S2+4d,所以20-4=4+4d,解得d=3 3.在一个等差数列中,已知a0=10,则S9= 答案190 解析S auo t alo 19aho=19×10=190 4.已知等差数列{an}中, (1) S=-15,求n及a; (2)a1=1,a=-512,S=-1022,求 解(1)∵S=n×+( 整理得n2-7n-60=0, 解得n=12或n=-5(舍去)
∴数列 Sn n 是等差数列，其首项为－2，公差为1 2 ， ∴Tn＝n×(－2)＋ n n－1 2 × 1 2 ＝ 1 4 n 2－ 9 4 n. 1．在等差数列{an}中，若 S10＝120，则 a1＋a10 的值是( ) A．12 B．24 C．36 D．48 答案 B 解析 由 S10＝ 10 a1＋a10 2 ， 得 a1＋a10＝ S10 5 ＝ 120 5 ＝24. 2．记等差数列的前 n 项和为 Sn，若 S2＝4，S4＝20，则该数列的公差 d 等于( ) A．2 B．3 C．6 D．7 答案 B 解析 方法一 由 S2＝2a1＋d＝4， S4＝4a1＋6d＝20， 解得 d＝3. 方法二 由 S4－S2＝a3＋a4＝a1＋2d＋a2＋2d＝S2＋4d，所以 20－4＝4＋4d，解得 d＝3. 3．在一个等差数列中，已知 a10＝10，则 S19＝________. 答案 190 解析 S19＝ 19 a1＋a19 2 ＝ 19 a10＋a10 2 ＝19a10 ＝19×10＝190. 4．已知等差数列{an}中， (1)a1＝ 3 2 ，d＝－ 1 2 ，Sn＝－15，求 n 及 an； (2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求 d. 解 (1)∵Sn＝n× 3 2 ＋(－ 1 2 )×n n－1 2 ＝－15， 整理得 n 2－7n－60＝0， 解得 n＝12 或 n＝－5(舍去)
a2==+(12-1)×(-2)=-4 ∴n=12,an=a2 1-512 2)由S2 1022, 解得n=4. 又由a=a+(m-1)d 即-512=1+(4-1)d, 解得d=-171 规律与方法 求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法,在某些数列求和中也可能用到 2.等差数列的两个求和公式中,一共涉及a,an,S,n,d五个量.若已知其中三个量,通 过方程思想可求另外两个量.在利用求和公式时,要注意整体思想的应用,注意下面结论的 运用: 若m+n=p+q,则an+a=a+a(n,m,D,q∈N):若m+n=2p,则an+a=2an 3.本节基本思想:方程思想,函数思想,整体思想,分类讨论思想 40分钟课时作业 选择题 1.在等差数列{a}中,若a2+a3=8,则该数列的前9项和S等于( C.36 D.45 答案C 解析S==(a+a)=。(a2+a)=36. 2.在等差数列{an}中,若S0=4S,则一等于( 答案A 解析由题意得 10a+×10×9d=4(5a+×5×4△
a12＝ 3 2 ＋(12－1)×(－ 1 2 )＝－4. ∴n＝12，an＝a12＝－4. (2)由 Sn＝ n a1＋an 2 ＝ n 1－512 2 ＝－1 022， 解得 n＝4. 又由 an＝a1＋(n－1)d， 即－512＝1＋(4－1)d， 解得 d＝－171. 1．求等差数列前 n 项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到． 2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及 a1，an，Sn，n，d 五个量．若已知其中三个量，通 过方程思想可求另外两个量．在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的 运用： 若 m＋n＝p＋q，则 an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N * )；若 m＋n＝2p，则 an＋am＝2ap. 3．本节基本思想：方程思想，函数思想，整体思想，分类讨论思想． 40 分钟课时作业 一、选择题 1．在等差数列{an}中，若 a2＋a8＝8，则该数列的前 9 项和 S9 等于( ) A．18 B．27 C．36 D．45 答案 C 解析 S9＝ 9 2 (a1＋a9)＝ 9 2 (a2＋a8)＝36. 2．在等差数列{an}中，若 S10＝4S5，则 a1 d 等于( ) A. 1 2 B．2 C. 1 4 D．4 答案 A 解析 由题意得 10a1＋ 1 2 ×10×9d＝4(5a1＋ 1 2 ×5×4d)
10a+45d=20a1+40d 10a=5d,∴马=1 3.已知等差数列{an}中,a3+函+2a=9,且a<0,则S0为( B.-11 C.-13 D.-15 答案D 解析由a3+函+2aa=9得(a+a)2=9, ∴S 10a+ao10a+a_10×-3 4.设等差数列{a}的前n项和为Sn,若S=9,S=36,则a十+画等于() B.45 答案 解析数列{a}为等差数列,则S,S-S,S-S为等差数列,即2(S-S)=S+(S S3=9,S-S=27,∴S-S=45 即a+a+a=S-S=45 5.在小于100的自然数中,所有被7除余2的数之和为() A.765 B.665 C.763 D.663 答案B 解析∵a=2,d7,2+(m-1)×7<100, n15 ∴n=14,S4=14×2+×14×13×7=665 6.含2n+1项的等差数列,其奇数项的和与偶数项的和之比为() +1 B. 答案 解析5、n+1a1+a ,s-n a2ta2a ∵a1+an+1=a+a2
∴10a1＋45d＝20a1＋40d， ∴10a1＝5d，∴ a1 d ＝ 1 2 . 3．已知等差数列{an}中，a 2 3＋a 2 8＋2a3a8＝9，且 an<0，则 S10 为( ) A．－9 B．－11 C．－13 D．－15 答案 D 解析 由 a 2 3＋a 2 8＋2a3a8＝9 得(a3＋a8) 2＝9， ∵an<0，∴a3＋a8＝－3， ∴S10＝ 10 a1＋a10 2 ＝ 10 a3＋a8 2 ＝ 10× －3 2 ＝－15. 4．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3＝9，S6＝36，则 a7＋a8＋a9等于( ) A．63 B．45 C．36 D．27 答案 B 解析 数列{an}为等差数列，则 S3，S6－S3，S9－S6 为等差数列，即 2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)， ∵S3＝9，S6－S3＝27，∴S9－S6＝45. 即 a7＋a8＋a9＝S9－S6＝45. 5．在小于 100 的自然数中，所有被 7 除余 2 的数之和为( ) A．765 B．665 C．763 D．663 答案 B 解析 ∵a1＝2，d＝7,2＋(n－1)×7<100， ∴n<15， ∴n＝14，S14＝14×2＋ 1 2 ×14×13×7＝665. 6．含 2n＋1 项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为( ) A. 2n＋1 n B. n＋1 n C. n－1 n D. n＋1 2n 答案 B 解析 S 奇＝ n＋1 a1＋a2n＋1 2 ，S 偶＝ n a2＋a2n 2 ， ∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n
7.等差数列{a}的前n项和为S,已知an-1+an+1-a2=0,S-1=38,则m等于() A.38 B.20 C.10 答案C 解析因为{an}是等差数列,所以a-1+an+1=2a, 由a-1+a+1-a=0,得2a-a=0, 由S-1=38知a2≠0,所以a2=2, 又Sa-1=38 2m- a十a2x 即(2m1)×2= 解得m=10,故选C 填空题 现有200根相同的钢管,把它们堆成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能少,那么剩余钢 管的根数为 答案10 解析钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列,最上面一层钢管数为1, 逐层增加1个 钢管总数为1+2+3+…+n=n+1 当n=19时,S9=190.当n=20时,S20=210>200. ∴n=19时,剩余钢管根数最少,为10根 9.设S是等差数列(a)的前n项和,若s=3,则s= 答案 10 解析方法一 3a1+3d1 S6a+15d3 S_6a+15d_12d+15d3 S212a1+66d24d+66d10 方法二 得S=3S.S,S-S,S-S
∴ S奇 S偶 ＝ n＋1 n . 7．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 am－1＋am＋1－a 2 m＝0，S2m－1＝38，则 m 等于( ) A．38 B．20 C．10 D．9 答案 C 解析 因为{an}是等差数列，所以 am－1＋am＋1＝2am， 由 am－1＋am＋1－a 2 m＝0，得 2am－a 2 m＝0， 由 S2m－1＝38 知 am≠0，所以 am＝2， 又 S2m－1＝38， 即 2m－1 a1＋a2m－1 2 ＝38， 即(2m－1)×2＝38， 解得 m＝10，故选 C. 二、填空题 8．现有 200 根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢 管的根数为________． 答案 10 解析 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为 1， 逐层增加 1 个． ∴钢管总数为 1＋2＋3＋…＋n＝ n n＋1 2 . 当 n＝19 时，S19＝190.当 n＝20 时，S20＝210>200. ∴n＝19 时，剩余钢管根数最少，为 10 根． 9．设 Sn是等差数列{an}的前 n 项和，若S3 S6 ＝ 1 3 ，则S6 S12 ＝________. 答案 3 10 解析 方法一 ∵ S3 S6 ＝ 3a1＋3d 6a1＋15d ＝ 1 3 ， ∴a1＝2d， S6 S12 ＝ 6a1＋15d 12a1＋66d ＝ 12d＋15d 24d＋66d ＝ 3 10. 方法二 由 S3 S6 ＝ 1 3 ， 得 S6＝3S3.S3，S6－S3，S9－S6
S2-S仍然是等差数列 公差为(S-S)-S=S, 从而S-S=S+2S=3S→S=6S S2-S=S3+3S3=4S→52=105S3, S210 0.设S为等差数列{a}的前n项和,若S2=3,S=24,则a 答案15 解析设等差数列的公差为d, 3×2 则S=3a+d=3a1+3d=3 即a1+d=1 s=6a+6×5d=6a 15d=24 即2a1+5d=8 由a+, 2a+5d=8, 解得 故a=a+8d=-1+8×2=15 、解答题 11.已知等差数列{an}的前三项依次为a,4,3a,前k项和S=2550,求a及k. 解设等差数列{an}的公差为d, a+3a=2×4, 则由题意得4-a 石⊥kk-1 d=2550, d=2, (注:k=-51舍) 12.一个等差数列的前10项和为100,前100项和为10,求前110项之和 解方法一设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn, n-1 则Sn=n
S12－S9 仍然是等差数列， 公差为(S6－S3)－S3＝S3， 从而 S9－S6＝S3＋2S3＝3S3⇒S9＝6S3， S12－S9＝S3＋3S3＝4S3⇒S12＝10S3， ∴ S6 S12 ＝ 3 10. 10．设 Sn为等差数列{an}的前 n 项和，若 S3＝3，S6＝24，则 a9＝________. 答案 15 解析 设等差数列的公差为 d， 则 S3＝3a1＋ 3×2 2 d＝3a1＋3d＝3， 即 a1＋d＝1， S6＝6a1＋ 6×5 2 d＝6a1＋15d＝24， 即 2a1＋5d＝8. 由 a1＋d＝1， 2a1＋5d＝8， 解得 a1＝－1， d＝2. 故 a9＝a1＋8d＝－1＋8×2＝15. 三、解答题 11．已知等差数列{an}的前三项依次为 a,4,3a，前 k 项和 Sk＝2 550，求 a 及 k. 解 设等差数列{an}的公差为 d， 则由题意得 a＋3a＝2×4， d＝4－a， ka＋ k k－1 2 d＝2 550， ∴ a＝2， d＝2， k＝50， (注：k＝－51 舍) ∴a＝2，k＝50. 12．一个等差数列的前 10 项和为 100，前 100 项和为 10，求前 110 项之和． 解 方法一 设等差数列{an}的公差为 d，前 n 项和为 Sn， 则 Sn＝na1＋ n n－1 2 d