人教版高中数学必修精品教学资料 第二章数列 24等比数列 第2课时等比数列的性质 高效演练知能提升 A级基础巩固 选择题 12+1与2一1,两数的等比中项是( 1.1B.-1C.士1D 解析:设等比中项为b,则b2=(2+1)(2-1)=1,所以b=±1 答案:C .在等比数列{an}中,a+a2+a3=2,a4+as+a6=4,则a10+an+ a1等于( A.32B.16C.12D.8 解析: (4Ta5Ta6 =q=,=2, a1+a2+a3 2 所以a10+a+a12=(a1+a2+a3)q=2(23)=2=16 答案:B 3.已知方程(x2-mx+2)x2-nx+2)=0的四个根组成以为首项 的等比数列则等于() B。或
人教版高中数学必修精品教学资料 第二章 数列 2.4 等比数列 第 2 课时 等比数列的性质 A 级 基础巩固 一、选择题 1. 2＋1 与 2－1,两数的等比中项是( ) A．1 B．－1 C．±1 D. 1 2 解析：设等比中项为 b,则 b 2＝( 2＋1)·( 2－1)＝1,所以 b＝±1. 答案：C 2．在等比数列{an}中,a1＋a2＋a3＝2,a4＋a5＋a6＝4,则 a10＋a11＋ a12等于( ) A．32 B．16 C．12 D．8 解析：a4＋a5＋a6 a1＋a2＋a3 ＝q 3＝ 4 2 ＝2, 所以 a10＋a11＋a12＝(a1＋a2＋a3)q 9＝2·(23 )＝2 4＝16. 答案：B 3．已知方程(x 2－mx＋2)(x 2－nx＋2)＝0 的四个根组成以1 2 为首项 的等比数列,则 m n 等于( ) A. 3 2 B. 3 2 或 2 3
D.以上都不对 解析:不妨设是x2-mx+2=0的根则其另一根为4所以m 4+ 对方程x2-mx+2=0,设其根为x1,x2(x1<x2),则xx2=2, 所以等比数列为x,x24, 所以q=1=8,所以q=2 所以x1=1,x2=2, 所以n=x1+x2=1+2=3, n 所以 2×32 答案: 4.在1与100之间插入n个正数使这n+2个数成等比数列则 插入的n个数的积为( A.10nB.n10C.100nD.n100 解析:设这n+2个数为a,a2…,ant+,an+2, n n 则a2·a3…·an+1=(a1an+2)2=(100)2=10 答案:A 5.等比数列{an}中,an∈R,a4·=32,则lg21+logx2+…+ 的值为() A.10B.20C.36D.128 解析: +log2a2+…+log2as log2(
C. 2 3 D．以上都不对 解析：不妨设1 2 是 x 2－mx＋2＝0 的根,则其另一根为 4,所以 m＝ 4＋ 1 2 ＝ 9 2 , 对方程 x 2－nx＋2＝0,设其根为 x1,x2(x1<x2),则 x1x2＝2, 所以等比数列为1 2 ,x1,x2,4, 所以 q 3＝ 4 1 2 ＝8,所以 q＝2, 所以 x1＝1,x2＝2, 所以 n＝x1＋x2＝1＋2＝3, 所以m n ＝ 9 2×3 ＝ 3 2 . 答案：A 4．在 1 与 100 之间插入 n 个正数,使这 n＋2 个数成等比数列,则 插入的 n 个数的积为( ) A．10n B．n 10 C．100n D．n 100 解析：设这 n＋2 个数为 a1,a2,…,an＋1,an＋2, 则 a2·a3·…·an＋1＝(a1an＋2) n 2＝(100) n 2＝10n. 答案：A 5．等比数列{an}中,an∈R* ,a4·a5＝32,则 log2a1＋log2a2＋…＋ log2a8的值为( ) A．10 B．20 C．36 D．128 解析：log2a1＋log2a2＋…＋log2a8＝ log2(a1·a2·a3·…·a8)＝
log2(a4as)4=4l0g232=20. 故选B. 答案:B 填空题 6.等比数列{an}中,a10且1一0,所以an>0,q 由条件得2+
log2(a4a5) 4＝4log232＝20. 故选 B. 答案：B 二、填空题 6．等比数列{an}中,a1＜0,{an}是递增数列,则满足条件的 q 的取值 范围是______________． 解析：由 an＋1＞an⇒a1q n＞a1q n－1, 因为 a1＜0, 所以 q n＜q n－1⇒q n 1－ 1 q ＜0 对任意正整数 n 都成立． 所以 q＞0 且 1－ 1 q ＜0 解得：0＜q＜1. 答案：0＜q＜1 7．在数列{an}中,若 a1＝1,an＋1＝2an＋3(n≥1),则该数列的通项 an ＝______________． 解析：由 a1＝1,an＋1＝2an＋3(n≥1), 所以 an＋1＋3＝2(an＋3)(n≥1), 即(an＋3)是以 a1＋3＝4 为首项,2 为公比的等比数列,an＋3＝ 4·2n－1＝2 n＋1, 所以该数列的通项 an＝2 n＋1－3. 答案：2 n＋1－3 8．已知等比数列{an}为递增数列,且 a 2 5＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1, 则数列{an}的通项公式 an＝________． 解析：因为{an}单调递增,所以 q>0, 又 a 2 5＝a10>0,所以 an>0,q>1, 由条件得 2 a n an＋1 ＋ an＋2 an＋1 ＝5
即 所以q=2或q=(舍) 由a3=an0得(ag+)2=a1q°, 所以a1=q=2,故an=2n 答案:2n 解答题 9已知一个等比数列的首项为1项数是偶数其奇数项的和为85 偶数项的和为170,求这个数列的公比和项数. 解:法一:设该数列的公比为q,项数为2m,则S=q+→ (1 q=85+170 所以22-1=255所以2n=8. 故这个数列的公比为2,项数为8. 法二:设该数列的公比为g,项数为2n,则 S寺 al1-(qy)叫8 S a1q-(q2) =170. 所以n=4,q=2. 10.三个正数成等比数列它们的和等于2,倒数的和等于1,求这 个数 解:设三个数为aag(aq>0)
即 2 1 q ＋q ＝5, 所以 q＝2 或 q＝ 1 2 (舍), 由 a 2 5＝a10得(a1q 4 ) 2＝a1q 9, 所以 a1＝q＝2,故 an＝2 n. 答案：2 n 三、解答题 9．已知一个等比数列的首项为1,项数是偶数,其奇数项的和为85, 偶数项的和为 170,求这个数列的公比和项数． 解：法一：设该数列的公比为 q,项数为 2n,则 S 偶＝qS 奇⇒ a1（1－q 2n） 1－q ＝85＋170, 所以 2 2n－1＝255.所以 2n＝8. 故这个数列的公比为 2,项数为 8. 法二：设该数列的公比为 q,项数为 2n,则 S 奇＝ a1[1－（q 2）n ] 1－q 2 ＝85, S 偶＝ a1q[1－（q 2）n ] 1－q 2 ＝170. 所以 n＝4,q＝2. 10．三个正数成等比数列,它们的和等于 21,倒数的和等于 7 12,求这 三个数． 解：设三个数为a q ,a,aq(a,q>0)
+a+aq=21 由题 17 +1+q=21 所以 2 →a2=21×7=36, q+1+ 所以a=6,q=2或 所以三个数为3,6,12或12,6,3 B级能力提升 1.等比数列x3x+36x+6;…的第四项等于() 24B.0C.12D.24 解析:由题意知(3x+3)2=x(6x+6 即x2+4x+3=0,解得x=-3或x=-1(舍去)所以等比数列的 前3项是-3,-6,-12,则第四项为-24 答案:A 2.等比数列{an中,a1=3174=-2,记n)=a1·a2…·a则当 n)最大时,n的值为 解析:由子a=317×一2 易知a=317×>1,a100,故f(9)=aa2…m值最大,此时n=9 答案:9 3容器A中盛有浓度为a%的农药m,容器B中盛有浓度为b% 的同种农药mL,A,B两容器中农药的浓度差为20%a>b)先将A中
由题 a q ＋a＋aq＝21 q a ＋ 1 a ＋ 1 aq ＝ 7 12 , 所以 a 1 q ＋1＋q ＝21 1 a q＋1＋ 1 q ＝ 7 12 ⇒a 2＝21× 12 7 ＝36, 所以 a＝6,q＝2 或 1 2 , 所以三个数为 3,6,12 或 12,6,3. B 级 能力提升 1．等比数列 x,3x＋3,6x＋6,…的第四项等于( ) A．－24 B．0 C．12 D．24 解析：由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6), 即 x 2＋4x＋3＝0,解得 x＝－3 或 x＝－1(舍去),所以等比数列的 前 3 项是－3,－6,－12,则第四项为－24. 答案：A 2．等比数列{an}中,a1＝317,q＝－ 1 2 .记 f(n)＝a1·a2·…·an,则当 f(n)最大时,n 的值为________． 解析：由于 an＝317× － 1 2 n－1 ,易知 a9＝317× 1 256＞1,a10＜0,0 ＜a11＜1,又 a1a2…a9＞0,故 f(9)＝a1a2…a9值最大,此时 n＝9. 答案：9 3．容器 A 中盛有浓度为 a%的农药 mL,容器 B 中盛有浓度为 b% 的同种农药 mL,A,B 两容器中农药的浓度差为 20%(a＞b),先将 A 中
农药的倒入B中混合均匀后再由B倒入一部分到A中恰好使A中 保持mL,问至少经过多少次这样的操作两容器中农药的浓度差小于 1% 解:设第n次操作后,A中农药的浓度为anB中农药的浓度为 n,则a0=a%,b0=b% b1=a+4b),a1=0+=(4a+b); b=3a+4b,a=41+b=5(4a+b) bn=:(an-1+4b-1) (4an-1+bn-1) 所以an-bn=4(an-1-bn-1) (aobo) 因为a0-b0= 所以an-bn 依题意知·<1%n∈N,解得n≥6 故至少经过6次这样的操作,两容器中农药的浓度差小于1%
农药的1 4 倒入 B 中,混合均匀后,再由 B 倒入一部分到 A 中,恰好使 A 中 保持 mL,问至少经过多少次这样的操作,两容器中农药的浓度差小于 1%? 解：设第 n 次操作后,A 中农药的浓度为 an,B 中农药的浓度为 bn,则 a0＝a%,b0＝b%. b1＝ 1 5 (a0＋4b0),a1＝ 3 4 a0＋ 1 4 b1＝ 1 5 (4a0＋b0)； b2＝ 1 5 (a1＋4b1),a2＝ 3 4 a1＋ 1 4 b2＝ 1 5 (4a1＋b1)；…； bn＝ 1 5 (an－1＋4bn－1)． an＝ 1 5 (4an－1＋bn－1), 所以 an－bn＝ 3 5 (an－1－bn－1)＝…＝ 3 5 (a0－b0)· 3 5 n－1 . 因为 a0－b0＝ 1 5 , 所以 an－bn＝ 1 5 · 3 5 n . 依题意知1 5 · 3 5 n ＜1%,n∈N*,解得 n≥6. 故至少经过 6 次这样的操作,两容器中农药的浓度差小于 1%