24等比数列 第一课时 教学过程 推进新课 [合作探究] 教师出示投影胶片:计算机病毒传播问题 种计算机病毒,可以査找计算机中的地址簿,通过邮件进行传播如果把病毒制造者 发送病毒称为第一轮,邮件接收者发送病毒称为第二轮,依此类推假设每一轮每一台计算 机都感染20台计算机,那么在不重复的情况下,这种病毒感染的计算机数构成一个什么样的 数列呢 师(读题后)这种病毒每一轮传播的计算机数构成的数列是怎样的呢? 引导学生发现“病毒制造者发送病毒称为第一轮”每一轮感染20台计算机”中蕴涵的等比关 系 生发现等比关系,写出一个无穷等比数列: 教师出示多媒体课件二:银行存款利息问题 师介绍“复利”的背景:“复利”是我国现行定期储蓄中的一种支付利息的方式,即把前一期 的利息和本金加在一起算作本金,再计算下一期的利息,也就是通常说的“利滚利”我国现 行定期储蓄中的自动转存业务实际上就是按复利支付利息的 给出计算本利和的公式 本利和=本金×(1+本金),这里n为存期 生列出5年内各年末的本利和,并说明计算过程 师生合作讨论得出“时间”年初本金”年末本利和”三个量之间的对应关系,并写出:各年 末本利和(单位:元)组成了下面数列 10000×10198,10000×1.01982,10000×1.01983,10000×101984,10000×1.01985② 师回忆数列的等差关系和等差数列的定义,观察上面的数列①②③④,说说它们有什么共 同特点 师引导学生类比等差关系和等差数列的概念,发现等比关系 师从上面的数列①②中我们发现了它们的共同特点是:具有等比关系如果我们将具有这样 特点的数列称之为等比数列,那么你能给等比数列下一个什么样的定义呢? 生回忆等差数列的定义,并进行类比,说出 一般地,如果把一个数列,从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数,那么这个 数列叫做等比数列 [教师精讲] 师同学们概括得很好,这就是等比数列( geometric sequence的定义有些书籍把等比数列 的英文缩写记作GP( Geometric progression).我们今后也常用GP这个缩写表示等比数列 定义中的这个常数叫做等比数列的公比( common ratIo),公比通常用字母q表示(q≠0) 请同学们想一想,为什么q0呢? 生独立思考、合作交流、自主探究 师假设q0,数列的第二项就应该是0,那么作第一项后面的任一项与它的前一项的比时就 出现什么了呢? 生分母为0了 师对了,问题就出在这里了,所以,必须q#0
最新精品资料 2.4 等比数列 第一课时 教学过程 推进新课 ［合作探究］ 教师出示投影胶片：计算机病毒传播问题. 一种计算机病毒，可以查找计算机中的地址簿，通过邮件进行传播.如果把病毒制造者 发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推.假设每一轮每一台计算 机都感染 20 台计算机,那么在不重复的情况下,这种病毒感染的计算机数构成一个什么样的 数列呢? 师 (读题后)这种病毒每一轮传播的计算机数构成的数列是怎样的呢？ 引导学生发现“病毒制造者发送病毒称为第一轮”“每一轮感染 20 台计算机”中蕴涵的等比关 系. 生 发现等比关系，写出一个无穷等比数列： 1，20，20 2，203，204，… ① 教师出示多媒体课件二：银行存款利息问题. 师 介绍“复利”的背景：“复利”是我国现行定期储蓄中的一 种支付利息的方式，即把前一期 的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是通常说的“利滚利”.我国现 行定期储蓄中的自动转存业务实际上就是按复利支付利息的. 给出计算本利和的公式： 本利和=本金×(1+本金) n，这里 n 为存期. 生 列出 5 年内各年末的本利和，并说明计算过程. 师 生合作讨论得出“时间”“年初本金”“年末本利和”三个量之间的对应关系，并写出：各年 末本利和(单位：元)组成了下面数列： 10 000×1.019 8，10 000×1.019 82，10 000×1.019 83，10 000×1.019 84，10 000×1.019 85 . ② 师 回忆数列的等差关系和等差数列的定义，观察上面的数列①②③④，说说它们有什么共 同特点？ 师 引导学生类比等差关系和等差数列的概念，发现等比关系. 师 从上面的数列①②中我们发现了它们的共同特点是：具有等比关系.如果我们将具有这样 特点的数列称之为等比数列，那么你能给等比数列下一个什么样的定义呢？ 生 回忆等差数列的定义，并进行类比，说出： 一般地，如果把一个数列，从第 2 项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个 数列叫做等比数列. ［教师精讲］ 师 同学们概括得很好，这就是等比数列( geometric sequence)的定义.有些书籍把等比数列 的英文缩写记作 G.P.(Geometric Progression).我们今后也常用 G.P.这个缩写表示等比数列. 定义中的这个常数叫做等比数列的公比(common ratio)，公比通常用字母 q 表示(q≠0). 请同学们想一想，为什么 q≠0 呢？ 生 独立思考、合作交流、自主探究. [来源:www.sh u lihu a.netwww.shu lih ua.net] 师 假设 q=0，数列的第二项就应该是 0，那么作第一项后面的任一项与它的前一项的比时就 出现什么了呢？ 生 分母为 0 了. 师 对了，问题就出在这里了，所以，必须 q≠0
师那么,等比数列的首项能不能为0呢? 生等比数列的首项不能为0 师是的,等比数列的首项和公比都不能为0,等比数列中的任一项都不会是0 合作探究] 师类比等差中项的概念,请同学们自己给出等比中项的概念 生如果在a与b中间插入一个数G,使a、G、b成等比数列,那么G叫做a、b的等比中 项 师想一想,这时a、b的符号有什么特点呢?你能用a、b表示G吗? 生一起探究a、b是同号的bG=+√ab,G2=ab 师观察学生所得到的a、b、G的关系式,并给予肯定 补充练习:与等差数列一样,等比数列也具有一定的对称性,对于等差数列来说,与数列中 任一项等距离的两项之和等于该项的2倍,即ank+an+k=2an对于等比数列来说,有什么类 似的性质呢? 生独立探究,得出:等比数列有类似的性质:ank:an+k=an2 合作探究] 探究: (1)一个数列a1,a2,a3…,an,…(a≠O)是等差数列,同时还能不能是等比数列呢? (2)写出两个首项为1的等比数列的前5项,比较这两个数列是否相同?写出两个公比为2 的等比数列的前5项,比较这两个数列是否相同? (3)任一项an及公比q相同,则这两个数列相同吗? (4)任意两项am、an相同,这两个数列相同吗? (5)若两个等比数列相同,需要什么条件? 师引导学生探究,并给出(1)的答案,(2)(3)(4)可留给学生回答 生探究并分组讨论上述问题的解答办法,并交流(1)的解答 [教师精讲] 概括总结对上述问题的探究,得出: (1)中,既是等差数列又是等比数列的数列是存在的,每一个非零常数列都是公差为0,公比 为1的既是等差数列又是等比数列的数列 概括学生对(2)(3)4)的解答 (2)中,首项为1,而公比不同的等比数列是不会相同的:公比为2,而首项不同的等比数列 也是不会相同的 (3)中,是指两个数列中的任一对应项与公比都相同,可得出这两个数列相同 (4)中,是指两个数列中的任意两个对应项都相同,可以得出这两个数列相同; (5)中,结论是:若两个数列相同,需要“首项和公比都相同 (探究的目的是为了说明首项和公比是决定一个等比数列的必要条件;为等比数列的通项公 式的推导做准备) 合作探究] 师回顾等差数列的通项公式的推导过程,你能推导出等比数列的通项公式吗? 生推导等比数列的通项公式 方法引导 师让学生与等差数列的推导过程类比,并引导学生采用不完全归纳法得出等比数列的通项 公式 具体的,设等比数列{an}首项为a,公比为q,根据等比数列的定义,我们有:
师 那么，等比数列的首项能不能为 0 呢？ 生 等比数列的首项不能为 0. 师 是的，等比数列的首项和公比都不能为 0，等比数列中的任一项都不会是 0. ［合作探究］ 师类比等差中项的概念，请同学们自己给出等比中项的概念. 生 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a、G、b 成等比数列，那么 G 叫做 a、b 的等比中 项. 师 想一想，这时 a、b 的符号有什么特点呢？你能用 a、b 表示 G 吗？ 生 一起探究,a、b 是同号的 G b a G = ，G=± ab ，G2=ab. 师 观察学生所得到的 a、b、G 的关系式，并给予肯定. 补充练习：与等差数列一样，等比数列也具有一定的对称性，对于等差数列来说，与数列中 任一项等距离的两项之和等于该项的 2 倍，即 a n-k+a n+k=2an.对于等比数列来说，有什么类 似的性质呢？ 生 独立探究，得出：等比数列有类似的性质：a n-k·a n+k=an 2 . ［合作探究］ 探究： (1)一个数列 a1,a2,a3,…,an,…(a1≠0)是等差数列，同时还能不能是等比数列呢？ (2)写出两个首项为 1 的等比数列的前 5 项，比较这两个数列是否相同？写出两个公比为 2 的等比数列的前 5 项，比较这两个数列是否相同？ (3)任一项 an 及公比 q 相同，则这两个数列相同吗？ (4)任意两项 am、an 相同，这两个数列相同吗？ (5)若两个等比数列相同，需要什么条件？ 师 引导学生探究，并给出(1)的答案，（2)(3)(4)可留给学生回答. 生 探究并分组讨论上述问题的解答办法，并交流(1)的解答. ［教师精讲］ 概括总结对上述问题的探究，得出： (1)中，既是等差数列又是等比数列的数列是存在的，每一个非零常数列都是公差为 0，公比 为 1 的既是等差数列又是等比数列的数列. 概括学生对(2)(3)(4)的解答. (2)中，首项为 1，而公比不同的等比数列是不会相同的；公比为 2，而首项不同的等比数列 也是不会相同的. (3)中，是指两个数列中的任一对应项与公比都相同，可得出这两个数列相同； [来源:www.sh ulihu a.n et] (4)中，是指两个数列中的任意两个对应项都相同，可以得出这两个数列相同； (5)中，结论是：若两个数列相同，需要“首项和公比都相同”. (探究的目的是为了说明首项和公比是决定一个等比数列的必要条件；为等比数列的通项公 式的推导做准备) ［合作探究］ 师 回顾等差数列的通项公式的推导过程，你能推导出等比数列的通项公式吗？ 生 推导等比数列的通项公式. ［方法引导］ 师 让学生与等差数列的推导过程类比，并引导学生采用不完全归纳法得出等比数列的通项 公式. 具体的，设等比数列{an}首项为 a1，公比为 q，根据等比数列的定义，我们有：
=a1g,a3=a2q=a1q,. an=an-19=a1q". 即an=aq1 师根据等比数列的定义,我们还可以写出 进而有an=am1q=an2q2=anq3=.=aq 亦得 师观察一下上式,每一道式子里,项的下标与q的指数,你能发现有什么共同的特征吗? 生把an看成anqP,那么,每一道式子里,项的下标与q的指数的和都是n 师非常正确,这里不仅给出了一个由an倒推到an与a,q的关系,从而得出通项公式的过 程,而且其中还蕴含了等比数列的基本性质,在后面我们研究等比数列的基本性质时将会再 提到这组关系式 师请同学们围绕根据等比数列的定义写出的式子 a2-=互 =q,再思考 如果我们把上面的式子改写成=q,=q,=q,,一=q 那么我们就有了n-1个等式,将这n1个等式两边分别乘到一起(叠乘),得到的结果是 4q,于是,得an=09 师这不又是一个推导等比数列通项公式的方法吗? 师在上述方法中,前两种方法采用的是不完全归纳法,严格的,还需给出证明第三种方法 没有涉及不完全归纳法,是一个完美的推导过程,不再需要证明 师让学生说出公式中首项a1和公比q的限制条件 生a,q都不能为0 [知识拓展] 师前面实例中也有“细胞分裂计算机病毒传播”“复利计算”的练习和习题,那里是用什么 方法解决问题的呢? 教师出示多媒体课件三:前面实例中关于“细胞分裂”计算机病毒传播”复利计算”的练习或 习题 某种储蓄按复利计算成本利息,若本金为a元,每期利率为r,设存期是x本利和为 兀 (1)写出本利和y随存期x变化的函数关系式; (2)如果存入本金1000元,每期利率为225%,试计算5期后的本利和 师前面实例中关于“细胞分裂”计算机病毒传播”“复利计算”的问题是用函数的知识和方法 解决问题的 生比较两种方法,思考它们的异同 [教师精讲] 通过用不同的数学知识解决类似的数学问题,从中发现等比数列和指数函数可以联系起来
a2=a1q,a3=a2q=a1q 2 ,…,an=a n-1q=a1q n-1， 即 an=a1q n-1 . 师 根据等比数列的定义，我们还可以写出 q a a a a a a a a n n = = = = = 3 −1 4 2 3 1 2 ... , 进而有 an=an-1q=a n-2q 2=a n-3q 3=…=a1q n-1 . 亦得 an=a1q n-1 . 师 观察一下上式，每一道式子里，项的下标与 q 的指数，你能发现有什么共同的特征吗？ 生 把 an 看成 anq 0，那么，每一道式子里，项的下标与 q 的指数的和都是 n. 师 非常正确，这里不仅给出了一个由 an 倒推到 an 与 a1，q 的关系，从而得出通项公式的过 程，而且其中还蕴含了等比数列的基本性质，在后面我们研究等比数列的基本性质时将会再 提到这组关系式. 师 请同学们围绕根据等比数列的定义写出的式子 q a a a a a a a a n n = = = = = 3 −1 4 2 3 1 2 ... ,再思考. 如果我们把上面的式子改写成 q a a q a a q a a q a a n n = = = = 3 −1 4 2 3 1 2 , , ,..., . 那么我们就有了 n-1 个等式，将这 n-1 个等式两边分别乘到一起(叠乘)，得到的结果是 1 1 − = n n q a a ,于是，得 an=a1q n-1 . 师 这不又是一个推导等比数列通项公式的方法吗？ 师 在上述方法中，前两种方法采用的是不完全归纳法，严格的，还需给出证明.第三种方法 没有涉及不完全归纳法，是一个完美的推导过程，不再需要证明. 师 让学生说出公式中首项 a1 和公比 q 的限制条件. 生 a1，q 都不能为 0. ［知识拓展］ 师 前面实例中也有“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的练习和习题，那里是用什么 方法解决问题的呢？ 教师出示多媒体课件三：前面实例中关于“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的练习或 习题. 某种储蓄按复利计算成本利息，若本金为 a 元，每期利率为 r，设存期是 x,本利和为 y 元. （1）写出本利和 y 随存期 x 变化的函数关系式； （2）如果存入本金 1 000 元，每期利率为 2.25%，试计算 5 期后的本利和. 师 前面实例中关于“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的问题是用函数的知识和方法 解决问题的. 生 比较两种方法，思考它们的异同. ［教师精讲］ 通过用不同的数学知识解决类似的数学问题，从中发现等比数列和指数函数可以联系起来
(1)在同一平面直角坐标系中,画出通项公式为an=2m1的数列的图象和函数y=2x的图象, 你发现了什么? (2)在同一平面直角坐标系中,画出通项公式为an=()”的数列的图象和函数y=()-的 图象,你又发现了什么? 生借助信息技术或用描点作图画出上述两组图象,然后交流、讨论、归纳出二者之间的关 系 师出示多媒体课件四:借助信息技术作出的上述两组图象 观察它们之间的关系,得出结论:等比数列是特殊的指数函数,等比数列的图象是一些 孤立的点 师请同学们从定义、通项公式、与函数的联系3个角度类比等差数列与等比数列,并填充 下列表格 等差数列 等比数列 定义 从第二项起,每一项与它前一项的从第二项起,每一项与它前 差都是同一个常数 项的比都是同一个常数 首项、公差(公比取值有没有任何限制 首项、公比都不能为0 无限制 通项公式 匚相应图象的特点直线y=a+x1上孤立的点函数y=ag图象上孤立的点 例题剖析] 【例1】某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年,剩留的这种物质是原来的84%, 这种物质的半衰期为多长(精确到1年)? 师从中能抽象出一个数列的模型,并且该数列具有等比关系 A=1 /输出A N=N+!A=A(12 【例2】根据右图中的框图,写出所打印数列的前5项,并建立数列的递推公式,这个数 列是等比数列吗? 师将打印出来的数依次记为a1(即A),a2,a3
(1)在同一平面直角坐标系中，画出通项公式为 an=2 n-1 的数列的图象和函数 y=2x-1 的图象， 你发现了什么？ (2)在同一平面直角坐标系中，画出通项公式为 1 ) 2 1 ( − = n an 的数列的图象和函数 y=( 2 1 ) x-1 的 图象，你又发现了什么？ 生 借助信息技术或用描点作图画出上述两组图象，然后交流、讨论、归纳出二者之间的关 系. 师 出示多媒体课件四：借助信息技术作出的上述两组图象. 观察它们之间的关系，得出结论：等比数列是特殊的指数函数，等比数列的图象是一些 孤立的点. 师 请同学们从定义、通项公式、与函数的联系 3 个角度类比等差数列与等比数列，并填充 下列表格： 等差数列 等比数列 定 义 从第二项起，每一项与它前一项的 差都是同一个常数 从第二项起，每一项与它前一 项的比都是同一个常数 首项、公差(公比)取值有 无限制 没有任何限制 首项、公比都不能为 0 通项公式 an=a1+(n-1)d an=a1q n-1 相应图象的特点 直线 y=a1+(x-1)d 上孤立的点 函数y=a1q x-1图象上孤立的点 ［例题剖析］ 【例 1】某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留的这种物质是原来的 84％， 这种物质的半衰期为多长(精确到 1 年)？ 师 从中能抽象出一个数列的模型，并且该数列具有等比关系. 【例 2】 根据右图中的框图，写出所打印数列的前 5 项，并建立数列的递推公式，这个数 列是等比数列吗？ 师 将打印出来的数依次记为 a1(即 A)，a2，a3，…
可知a1=1;a2=a1×;a3=a2 于是,可得递推公式 1, 由于 因此,这个数列是等比数列 生算出这个数列的各项,求出这个数列的通项公式 练习: 1.一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18,求它的第1项和第2项 师启发、引导学生列方程求未知量 生探究、交流、列式、求解 2.课本第59页练习第1、2题 课堂小结 本节学习了如下内容: 1等比数列的定义 2.等比数列的通项公式 3等比数列与指数函数的联系 布置作业 课本第60页习题24A组第1、2题 板书设计 等比数列的概念及通项公式 1等比数列的定义 实例剖析 2.等比数列的通项公式 从三个角度类比等差数列表 例 练习:1、(学生板演 例 第二课时 教学过程 [合作探究] 师出示投影胶片 例题1(教材PB组第3题)就任一等差数列{an},计算a+a10,as+a和ao+a40,ao+a, 你发现了什么一般规律,能把你发现的规律用一般化的推广吗?从等差数列和函数之间的联 系的角度来分析这个问题在等比数列中会有怎样的类似结论? 师注意题目中“就任一等差数列{amn}”,你打算用一个什么样的等差数列来计算? 生用等差数列1,2,3, 师很好,这个数列最便于计算,那么发现了什么样的一般规律呢? 生在等差数列{an}中,若k+s=p+q(k,p.q∈N'),则a+a=aφp+aq 师题目要我们“从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题”,如何做? 生思考、讨论、交流
可知 a1=1;a2=a1× 2 1 ;a3=a2× 2 1 . 于是，可得递推公式 = = − ( 1) 2 1 1, 1 1 a a n＞ a n n . 由于 2 1 1 = n− n a a ，因此，这个数列是等比数列. 生 算出这个数列的各项，求出这个数列的通项公式. 练习： 1. 一个等比数列的第 3 项和第 4 项分别是 12 和 18，求它的第 1 项和第 2 项. 师 启发、引导学生列方程求未知量. 生 探究、交流、列式、求解. 2.课本第 59 页练习第 1、2 题. 课堂小结 本节学习了如下内容： 1.等比数列的定义. 2.等比数列的通项公式. 3.等比数列与指数函数的联系. 布置作业 课本第 60 页习题 2.4 A 组 第1、2 题. 板书设计 等比数列的概念及通项公式 1.等比数列的定义 实例剖析 2.等比数列的通项公式 从三个角度类比等差数列表 例 1 练习：1.(学生板演) 例 2 第二课时 教学过程 ［合作探究］ 师 出示 投影胶片 1 例题1 (教材P61B组第3题)就任一等差数列{an}，计算a7+a 10，a8+a9和a10+a 40，a20+a30， 你发现了什么一般规律，能把你发现的规律用一般化的推广吗？从等差数列和函数之间的联 系的角度来分析这个问题.在等比数列中会有怎样的类似结论？ 师 注意题目中“就任一等差数列{an}”，你打算用一个什么样的等差数列来计算？ 生 用等差数列 1，2，3，… 师 很好，这个数列最便于计算，那么发现了什么样的一般规律呢？ 生 在等差数列{an}中，若 k+s=p+q(k,s,p,q∈N * )，则 ak+as=ap+aq. 师 题目要我们“从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题”，如何做？ 生 思考、讨论、交流
师出示多媒体课件一:等差数列与函数之间的联系 [教师精讲] 师从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题:由等差数列{an}的图象,可以看 出=ka=S ap p ag q k+s 据等式的性质,有 a +a p+q 所以ak+as=ap+aq 师在等比数列中会有怎样的类似结论? 生猜想对于等比数列{an},类似的性质为:k+s=p+t(k,spt∈M),则 师让学生给出上述猜想的证明 证明:设等比数列{an}公比为q, 则有aas= abqaiq=an2q+2, ap'a=. -=aqp+l- 因为k+s=p+t 所以有akas=pa 师指出:经过上述猜想和证明的过程,已经得到了等比数列的一个新的性质 即等比数列{an}中,若k+s=p+t(k,spt∈M),则有aka=apa 师下面有两个结论: (1)与首末两项等距离的两项之积等于首末两项的积 (2)与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方 你能将这两个结论与上述性质联系起来吗? 生思考、列式、合作交流,得到: 结论(1)就是上述性质中1+m=(1+t)+(n-t)时的情形; 结论(2)就是上述性质中k+k=(k+t)+(k-t)时的情形 师引导学生思考,得出上述联系,并给予肯定的评价 师上述性质有着广泛的应用 师出示投影胶片2:例题2 例题2 (1)在等比数列{an}中,已知a1=5,a9a10=100,求a1s (2)在等比数列{bn}中,b=3,求该数列前七项之积 (3)在等比数列{an}中,a2=2,a5=54,求a8 例题2三个小题由师生合作交流完成,充分让学生思考,展示将问题与所学的性质联系到 一起的思维过程 解答:
师 出示多媒体课件一：等差数列与函数之间的联系. ［教师精讲］ 师 从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题：由等差数列{an}的图象，可以看 出 q s a a p k a a q s p k = , = , 根据等式的性质，有 =1 + + = + + p q k s a a a a p q k s . 所以 ak+as=ap+aq. 师 在等比数列中会有怎样的类似结论？ 生 猜想对于等比数列{an}，类似的性质为：k+s=p+t(k,s,p,t∈N * )，则 ak·as=ap·at. 师 让学生给出上述猜想的证明. 证明：设等比数列{an}公比为 q， 则有 ak·a s=a1q k-1·a1q s-1=a1 2·qk+s-2 , ap·at=a1q p-1·a1 q t-1=a1 2·qp+t-2 . 因为 k+s=p+t, [来源:www.sh ulih ua.net] 所以有 ak·as=ap·at. 师 指出：经过上述猜想和证明的过程，已经得到了等比数列的一个新的性质. 即等比数列{an}中，若 k+s=p+t(k,s,p,t∈N * )，则有 ak·as=ap·at. 师 下面有两个结论： (1)与首末两项等距离的两项之积等于首末两项的积； (2)与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方. 你能将这两个结论与上述性质联系起来吗？ 生 思考、列式、合作交流，得到： 结论(1)就是上述性质中 1+n=(1+t)+(n-t)时的情形； 结论(2)就是上述性质中 k+k=(k+t)+(k-t)时的情形. 师 引导学生思考，得出上述联系，并给予肯定的评价. 师 上述性质有着广泛的应用. [来源:www.sh ulihu a.n et] 师 出示投影胶片 2：例题 2 例题 2 （1）在等比数列{an}中，已知 a1=5,a9a 10=100,求 a 18; （2）在等比数列{bn}中，b4=3,求该数列前七项之积； （3）在等比数列{an}中，a2=-2,a5=54,求 a8. 例题 2 三个小题由师生合作交流完成，充分让学生思考，展示将问题与所学的性质联系到 一起的思维过程. 解答：
(1)在等比数列{an}中,已知a1=5,a910=100,求a18 解:∵a aga (2)在等比数列{bn}中,b4=3,求该数列前七项之积 A: b1b2b3b4b5b6b =(b1b,()(63b5)b4. ∵b42=b1b=b2b6=b3bs,∴前七项之积(32)3×3=3=2187 (3)在等比数列{an}中,a2=2,a5=54,求as 解:∵∴a是a2与a的等比中项,∴542=a8×(-2) 1458 另解:a8=as [合作探究] 师判断一个数列是否成等比数列的方法:1、定义法:2、中项法:;3、通项公式法 例题3:已知{an}{bn}是两个项数相同的等比数列,仿照下表中的例子填写表格从中你能得 出什么结论?证明你的结论 bn b判断{anbh是否是等比数列 例 3×(三)” 10×(÷) 是 自选1 自选2 师请同学们自己完成上面的表 师根据这个表格,我们可以得到什么样的结论?如何证明 生得到:如果{an}、{bn}是两个项数相同的等比数列,那么{anbn}也是等比数列 证明如下: 设数列{an}的公比是p,{bh}公比是q,那么数列{abn}的第n项与第n+1项分别为ap"bq"-1 与ap"bq”,因为 an·bna1p"bq p-b 它是一个与n无关的常数,所以{anbn}是一个以pq为公比的等比数列 [教师精讲] 除了上面的证法外,我们还可以考虑如下证明思路 证法二: 设数列{an}的公比是p,{bn}公比是q,那么数列{anb}的第n项、第n-1项与第n+1项(n >1,n∈N)分别为ap"bq"、ap"2bqn2与ap”bq",因为 (anbn)2=(a1p"b1q"-1)2=(a1b1)(pq)20-1), (a n-l(an+l bn+1=(aip-2b1q-xaipb1q(aibi(pq)2(D) 即有(anbn)2=(an1bn1)an+1bh+)n>1n∈N) 所以{anbn}是一个等比数列 师根据对等比数列的认识,我们还可以直接对数列的通项公式考察 证法三:设数列{an}的公比是p,{b}公比是q,那么数列{anbn}的通项公式为 anbn=aip" -=aib1 Xpq)"-
(1)在等比数列{an}中，已知 a1=5，a9a10=100，求 a 18. 解：∵a1a 18=a9a 10，∴a 18= 5 100 1 9 10 = a a a =20. (2)在等比数列{bn}中，b4=3，求该数列前七项之积. 解：b1b2b3b4b5b6b7=(b1b7)(b2b6)(b3b5)b4. ∵b4 2=b1b7=b2b6=b3b5，∴前七项之积(32 ) 3×3=37=2 187. (3)在等比数列{an}中，a2=-2，a5=54，求 a8. 解：.∵a5 是 a2 与 a8 的等比中项，∴542=a8×(-2). ∴a8=-1 458. 另解：a8=a5q 3=a5· 2 54 54 2 5 − = a a =-1 458. ［合作探究］ 师 判断一个数列是否成等比数列的方法：1、定义法；2、中项法；3、通项公式法. 例题 3：已知{an}{bn}是两个项数相同的等比数列，仿照下表中的例子填写表格.从中你能得 出什么结论？证明你的结论. an bn an·bn 判断{an·bn}是否是等比数列 例 n ) 3 2 3( -5×2n-1 1 ) 3 4 10 ( − − n 是 自选 1 自选 2 师 请同学们自己完成上面的表. 师 根据这个表格，我们可以得到什么样的结论？如何证明？ 生 得到：如果{an}、{bn}是两个项数相同的等比数列，那么{an·bn}也是等比数列. 证明如下： 设数列{an}的公比是p，{bn}公比是q，那么数列{an·bn}的第n项与第n＋1项分别为a1p n-1b1q n-1 与 a1p n b1q n，因为 pq a p b q a p b q a b a b n n n n n n n n = = • − − + + 1 1 1 1 1 1 1 1 , 它是一个与 n 无关的常数，所以{an·bn}是一个以 pq 为公比的等比数列. ［教师精讲］ 除了上面的证法外，我们还可以考虑如下证明思路： 证法二： 设数列{an}的公比是 p，{bn}公比是 q，那么数列{an·bn}的第 n 项、第 n-1 项与第 n＋1 项(n ＞1,n∈N * )分别为 a1p n-1b1q n-1、a1p n-2b1q n-2 与 a1p n b1q n，因为 (anbn) 2=(a1p n-1b1q n-1 ) 2=(a1b1) 2 (pq) 2(n-1) , (a n-1·bn-1)(a n+1·bn+1)=(a1p n-2b1q n-2 )(a1p n b1q n )=(a1b1) 2 (pq)2(n-1) , 即有(anbn) 2=(a n-1·bn-1)(a n+1·bn+1)(n＞1,n∈N * ), 所以{an·bn}是一个等比数列. 师 根据对等比数列的认识，我们还可以直接对数列的通项公式考察： 证法三：设数列{an}的公比是 p，{bn}公比是 q，那么数列{an·bn}的通项公式为 anbn=a1p n-1b1q n-1=(a1b1)(pq) n-1
设c=anbn,则cn=(a1b)(pq)2 所以{anbn}是一个等比数列 课堂小结 本节学习了如下内容 1.等比数列的性质的探究 2证明等比数列的常用方法 布置作业 课本第60页习题2.4A组第3题、B组第1题 板书设计 等比数列的基本性质及其应用 例2 例3
设 cn=anbn,则 cn=(a1b1)(pq) n-1 , 所以{an·bn}是一个等比数列. 课堂小结 本节学习了如下内容： 1.等比数列的性质的探究. 2.证明等比数列的常用方法. 布置作业 课本第 60 页习题 2.4 A 组第 3 题、B 组第 1 题. 板书设计 等比数列的基本性质及其应用 例 1 例 2 例 3 全 品中考网 最新精品资料