《等比数列的前n项和》教案 教材分析 从教材的编写顺序上来看,等比数列的前n项和是人教A版高中数学必修5第二章“数 列”第五节的内容,它是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续、与前面学 习的函数等知识也有着密切的联系. 就知识的应用价值上来看,它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型, 在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如分类讨论等在各种数列求和问题中有着广泛的应 用;另外它在如“分期付款”等实际问题的计算中也经常涉及到. 就内容的人文价值上来看,等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、分 析、归纳、猜想,有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力 的良好载体 教师教学用书安排“等比数列的前n项和”这部分内容授课时间2课时,本节课作为 第一课时,重在研究等比数列的前n项和公式的推导及简单应用,教学中注重公式的形成 推导过程并充分揭示公式的结构特征和内在联系 、教学目标 依据课程标准,结合学生的认知水平和年龄特点,确定本节课的教学目标如下: 知识与技能目标:理解等比数列的前n项和公式的推导方法;掌握等比数列的前n项 和公式并能运用公式解决一些简单问题 过程与方法目标:通过公式的推导过程,提髙学生的建模意识及探究问题、分析与解 决问题的能力,体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法,渗透方程思想、分类讨论 思想及转化思想,优化思维品质 情感与态度目标:通过经历对公式的探索,激发学生的求知欲,鼓励学生大胆尝试、 勇于探索、敢于创新,磨练思维品质,从中获得成功的体验,感受思维的奇异美、结构的 对称美、形式的简洁美、数学的严谨美 、教学重点和难点 重点:等比数列的前n项和公式的推导及其简单应用.从教材体系来看,它为后继学 习提供了知识基础,具有承上启下的作用;从知识特点而言,蕴涵丰富的思想方法;就能 力培养来看,通过公式推导教学可培养学生的运用数学语言交流表达的能力 突出重点方法:“抓三线、突重点”,即(一)知识技能线:问题情境→公式推导→公 式运用;(二)过程与方法线:特殊到一般、猜想归纳→错位相减法等→转化、方程思想 三)能力线:观察能力→数学思想解决问题能力→灵活运用能力及严谨态度. 难点:等比数列的前n项和公式的推导.从学生认知水平来看,学生的探究能力和用 数学语言交流的能力还有待提高.从知识本身特点来看,等比数列前n项和公式的推导方法 和等差数列的的前n项和公式的推导方法可比性低,无法用类比的方法进行,它需要对等比
1 《等比数列的前 n 项和》教案 一、教材分析 从教材的编写顺序上来看，等比数列的前 n 项和是人教 A 版高中数学必修 5 第二章“数 列”第五节的内容，它是“等差数列的前 n 项和”与“等比数列”内容的延续、与前面学 习的函数等知识也有着密切的联系. 就知识的应用价值上来看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型， 在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如分类讨论等在各种数列求和问题中有着广泛的应 用；另外它在如“分期付款”等实际问题的计算中也经常涉及到. 就内容的人文价值上来看，等比数列的前 n 项和公式的探究与推导需要学生观察、分 析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力 的良好载体． 教师教学用书安排“等比数列的前 n 项和”这部分内容授课时间 2 课时，本节课作为 第一课时，重在研究等比数列的前 n 项和公式的推导及简单应用，教学中注重公式的形成 推导过程并充分揭示公式的结构特征和内在联系. 二、教学目标 依据课程标准，结合学生的认知水平和年龄特点，确定本节课的教学目标如下： 知识与技能目标：理解等比数列的前 n 项和公式的推导方法；掌握等比数列的前 n 项 和公式并能运用公式解决一些简单问题． 过程与方法目标：通过公式的推导过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解 决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论 思想及转化思想，优化思维品质． 情感与态度目标：通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、 勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的 对称美、形式的简洁美、数学的严谨美． 三、教学重点和难点 重点：等比数列的前 n 项和公式的推导及其简单应用．从教材体系来看，它为后继学 习提供了知识基础，具有承上启下的作用；从知识特点而言，蕴涵丰富的思想方法；就能 力培养来看，通过公式推导教学可培养学生的运用数学语言交流表达的能力. 突出重点方法：“抓三线、突重点”，即(一)知识技能线：问题情境→公式推导→公 式运用；（二）过程与方法线:特殊到一般、猜想归纳→ 错位相减法等→转化、方程思想； （三）能力线：观察能力→数学思想解决问题能力→灵活运用能力及严谨态度. 难点：等比数列的前 n 项和公式的推导．从学生认知水平来看，学生的探究能力和用 数学语言交流的能力还有待提高.从知识本身特点来看，等比数列前n项和公式的推导方法 和等差数列的的前n项和公式的推导方法可比性低，无法用类比的方法进行，它需要对等比
数列的概念和性质能充分理解并融会贯通,而知识的整合对学生来说恰又是比较困难的, 而且错位相减法是第一次碰到,对学生来说是个新鲜事物. 突破难点手段:“抓两点,破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点,激发他们的兴 趣,鼓励学生大胆猜想、积极探索,及时地给以鼓励,使他们知难而进;二抓知识选择的 切入点,从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手,教师在学生主体下给予适当的提 示和指导 四、教学方法 利用计算机和实物投影等辅助教学,采用启发和探究-建构教学相结合的教学模式 五、教学过程 教学过程 设计意图 【漫画演示】 话说猪八戒自西天取经回到了高老庄,从高员外手里接 下了高老庄集团,摇身变成了CEO.可好景不长,便因资金 周转不灵而陷入了窘境,急需大量资金投入,于是就找孙悟 空帮忙.悟空一口答应:“行!我每天投资100万元,连续 个月(30天),但是有一个条件是:作为回报,从投资的第|依托市场经 创一天起你必须返还给我1元,第二天返还2元,第三天返还4济背景,运 元……即后一天返还数为前一天的2倍.”八戒听了,心里打用学生熟悉 设/小算盘:“第一天:支出1元,收入100万:第二天:支的人物编叔 出2元,收入100万,第三天:支出4元,收入100万元; 故事,以趣 哇,发财了……”心里越想越美……再看看悟空的表情,心引思,激发 情里又嘀咕了:“这猴子老是欺负我,会不会又在耍我?” 学生学习热 【教师提问】 情 (1)假如你是高老庄集团企划部的高参,请你帮八戒分析 境一下,按照悟空的投资方式,30天后,八戒能吸纳多少投资? 又该返还给悟空多少钱? (2)S20=1+2+22+2+…+22(观察数字特征,引出课 1学生自主探究:S0=1+2+22+23+…+22 领悟数学应 用价值 2.解决情境问题 3师生共同探讨 从特殊到 一般等比数列前n项和:Sn=a+a2+a3+…+an1+an=?般,从模仿 即Sn=a1+aq+aq2+…aq"2+aqn=?|到创新,有 方法1:错位相减法 利于学生的 Sm=a1+ang+ 知识迁移和 Sn=a19+a19- +a19+a19+a1q 能力提高 d-qs=a-a,q 通过学生个
2 数列的概念和性质能充分理解并融会贯通，而知识的整合对学生来说恰又是比较困难的， 而且错位相减法是第一次碰到，对学生来说是个新鲜事物. 突破难点手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴 趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，及时地给以鼓励，使他们知难而进；二抓知识选择的 切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提 示和指导. 四、教学方法 利用计算机和实物投影等辅助教学，采用启发和探究-建构教学相结合的教学模式. 五、教学过程 教 学 过 程 设计意图 创 设 情 境 【漫画演示】 话说猪八戒自西天取经回到了高老庄，从高员外手里接 下了高老庄集团，摇身变成了 CEO．可好景不长，便因资金 周转不灵而陷入了窘境，急需大量资金投入，于是就找孙悟 空帮忙．悟空一口答应：“行！我每天投资 100 万元，连续一 个月（30 天），但是有一个条件是：作为回报，从投资的第 一天起你必须返还给我 1 元，第二天返还 2 元，第三天返还 4 元……即后一天返还数为前一天的 2 倍．”八戒听了，心里打 起了小算盘：“第一天：支出 1 元，收入 100 万；第二天：支 出 2 元，收入 100 万，第三天：支出 4 元，收入 100 万元；…… 哇，发财了……” 心里越想越美……再看看悟空的表情，心 里又嘀咕了：“这猴子老是欺负我，会不会又在耍我？” 【教师提问】 (1)假如你是高老庄集团企划部的高参，请你帮八戒分析 一下，按照悟空的投资方式，30 天后，八戒能吸纳多少投资？ 又该返还给悟空多少钱？ (2) 2 3 29 S30 = 1+ 2 + 2 + 2 ++ 2 (观察数字特征，引出课 题) 依托市场经 济背景，运 用学生熟悉 的人物编拟 故事，以趣 引思,激发 学生学习热 情. 探 究 1.学生自主探究： 2 3 29 S30 = 1+ 2 + 2 + 2 ++ 2 2.解决情境问题 3.师生共同探讨 一般等比数列前 n 项和： ? Sn = a1 + a2 + a3 ++ an−1 + an = 即 ? 1 1 2 1 2 = 1 + 1 + 1 + + = n− n− Sn a a q a q a q a q 方法 1：错位相减法 = + + + + = + + + + − − − n n n n n n qS a q a q a q a q a q S a a q a q a q a q 1 1 1 3 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 n (1− q)Sn = a1 − a1q 领悟数学应 用价值 从特殊到一 般,从模仿 到创新，有 利于学生的 知识迁移和 能力提高． 通过学生个
别学习,互 ≠1 q 相讨论,揭 示知识的内 q 在联系.通 方法2:提取公比q 过生生、师 生间的探 讨、合作, q 培养学生的 a1q 洞察力.增 (1-qSn=a1-a19 方法3:利用等比定理 强学生思维 的严谨性 通过实物展 S,m-a 示学生解决 1-a)S 问题的方 a1+a2+…+an- 法,破除思 维定势 1.口答: 在公比为q的等比数列{an}中 (1)若 则Sn a= 则S 2.判断是非 剖析公式中 ①1-2+4-8+…+(-2)1×(1-2”) 的基本量及 ()结构特征, 识记公式 ③若c≠0且 3.对公式的再认识 (1)、对公比q的分类讨论 (2)、公式中n的理解 例1.已知{an}是等比数列,请完成下表: 题号a1 熟练公式 用,着重强 调公式的选 择 2 例2.求等比数列11 24816 的第5项到第10项的和 本例由书中 方法1:观察、发现:a3+a6+…+a1o=S1o-S4 的例题改编
3 问 题 = − − = 1 1 1 (1 ) 1 1 na q q q a q S n n 方法 2：提取公比 q 1 1 2 1 2 1 1 1 − − = + + + + n n Sn a a q a q a q a q = a1 + q（a1 + a1q +a1q n−2） = a1 + q（Sn − a1q n−1） n (1− q)Sn = a1 − a1q 方法 3：利用等比定理 = 1 2 a a = 2 3 a a = 3 4 a a q a a n n = −1 n n n n n S a S a q a a a a a a − − = = + + + + + + − 1 1 2 1 2 3 (1− q)Sn = a1 − anq …… 别学习，互 相讨论，揭 示知识的内 在联系. 通 过生生、师 生间的探 讨、合作， 培养学生的 洞察力．增 强学生思维 的 严谨性 . 通过实物展 示学生解决 问题的方 法，破除思 维定势. 辨 析 质 疑 1．口答： 在公比为 q 的等比数列 { }n a 中 (1)若 3 1 , 3 2 a1 = q = ，则 Sn =________ （2）若 1, 1 a1 = q = ，则 Sn =________ 2．判断是非： ① 1 2 1 (1 2 ) 1 2 4 8 ( 2) 1 − − − + − + + − = − n n （ ） ② 1 2 1 (1 2 ) 1 2 2 2 2 2 3 − − + + + + + = n n （ ） ③若 c 0 且 c 1 ，则 + + + + = n c c c c 2 4 6 2 2 2 2 1 [1 ( ) ] c c c n − − （ ） 3．对公式的再认识． (1)、对公比 q 的分类讨论 (2)、公式中 n 的理解 剖析公式中 的基本量及 结构特征， 识记公式. 巩 固 提 例 1．已知 { }n a 是等比数列，请完成下表： 题号 1 a q n n a n S (1) 2 1 2 1 8 (2) 27 3 2 8 (3) −2 −96 −63 例 2．求等比数列 , 16 1 , 8 1 , 4 1 , 2 1 的第 5 项到第 10 项的和． 方法 1： 观察、发现： a5 + a6 ++ a10 = S10 − S4 ． 熟练公式运 用，着重强 调公式的选 择. 本例由书中 的例题改编
方法2:此等比数列的连续项从第5项到第10项构成|而成,一题 个新的等比数列:首项为a1=16,公比为多解及变 q=2,项数为n 式,有利于 变式1:求1121314151….的前n项和 提高思维的 81632 灵活性和梯 变式2:求!23.4,5…的前n项和.(留作思考)度 (一)小结 从知识的归 纳进一步延 反 引导学生从知识、思想、方法三个方面进行总结 (二)思考 伸到思想方 思 神舟六号”发射成功,某移动公司立即发出短信:请你法提炼,把 数学的学习 把中国神六发射成功的消息转发给10位朋友,并且注明您是作为提离学 拓第x位接收此消息的…假定这家公司发出的10条短信中生数学素养 的x值均为1,以后每一位收到短信后将x值都增加1,再将和文化水平 短信发出.据统计,所发短信中x的最大值为10.试问通过的有效途 这家公司最多发了多少条短信? (1)书面作业:必做题:课本P129练习3(1)习题3 布置弹性作 选做题:画一个边长为2cm的正方形,再将这业以使各个 正方形各边的中点相连得到第2个正方形,层次的学生 依此类推这样一共画了10个正方形,求这10都有所发 个正方形的面积的和 展.提供参 (研究性作业:查阅芝诺悖论,并从数列求和的角度加考网站,便 (参考网站p:j//www.lyge.cn/lygdj/ztwz/shuxue21042hm,自主学 置|以解释 于学生开 六、教学设计说明 .情境设置生活化 本着新课程的教学理念,考虑到高一学生的心理特点以及初、高中教学的衔接,让学 生学生初步了解“数学来源于生活”,采用动漫故事的形式创设问题情景,意在营造和谐、 积极的学习气氛,激发学生的探究欲 2.问题探究活动化 教学中本着以学生发展为本的理念,充分给学生想的时间、说的机会以及展示思维过 程的舞台,通过他们自主学习、合作探究,展示学生解决问题的思想方法,共享学习成果, 体验数学学习成功的喜悦.通过师生之间不断合作和交流,发展学生的数学观察能力和语言 表达能力,培养学生思维的发散性和严谨性. .辨析质疑结构化 在理解公式的基础上,及时进行正反两方面的“短、平、快”填空和判断是非练习.通 过总结、辨析和反思,强化了公式的结构特征,促进学生主动建构,有助于学生形成知识 模块,优化知识体系. 4.巩固提高梯度化
4 高 方法 2： 此等比数列的连续项从第 5 项到第 10 项构成 一个新的等比数列：首项为 a5 = 16 ，公比为 q = 2 ，项数为 n = 6． 变式 1：求 32 1 ,5 16 1 ,4 8 1 ,3 4 1 ,2 2 1 1 的前 n 项和． 变式 2：求 32 5 , 16 4 , 8 3 , 4 2 , 2 1 的前 n 项和．（留作思考） 而成，一题 多解及变 式,有利于 提高思维的 灵活性和梯 度. 反 思 拓 广 （一）小结 引导学生从知识、思想、方法三个方面进行总结． （二）思考 “神舟六号”发射成功，某移动公司立即发出短信：“请你 把中国神六发射成功的消息转发给 10 位朋友，并且注明您是 第 x 位接收此消息的……”假定这家公司发出的 10 条短信中 的 x 值均为 1，以后每一位收到短信后将 x 值都增加 1，再将 短信发出．据统计，所发短信中 x 的最大值为 10．试问通过 这家公司最多发了多少条短信？ 从知识的归 纳进一步延 伸到思想方 法提炼，把 数学的学习 作为提高学 生数学素养 和文化水平 的有效途 径. 作 业 布 置 (1)书面作业： 必做题：课本 P129 练习 3(1) 习题 3.5 1 选做题：画一个边长为 2cm 的正方形, 再将这 个正方形各边的中点相连得到第 2 个正方形, 依此类推,这样一共画了 10 个正方形, 求这 10 个正方形的面积的和． (2)研究性作业：查阅“芝诺悖论”,并从数列求和的角度加 以解释． (参考网站:http://www.lyge.cn/lygdj/ztwz/shuxue /x2/042.htm) 布置弹性作 业以使各个 层次的学生 都有所发 展.提供参 考网站，便 于学生开展 自主学习. 六、教学设计说明 1．情境设置生活化. 本着新课程的教学理念，考虑到高一学生的心理特点以及初、高中教学的衔接，让学 生学生初步了解“数学来源于生活”， 采用动漫故事的形式创设问题情景，意在营造和谐、 积极的学习气氛，激发学生的探究欲. 2．问题探究活动化． 教学中本着以学生发展为本的理念，充分给学生想的时间、说的机会以及展示思维过 程的舞台，通过他们自主学习、合作探究,展示学生解决问题的思想方法，共享学习成果， 体验数学学习成功的喜悦.通过师生之间不断合作和交流，发展学生的数学观察能力和语言 表达能力，培养学生思维的发散性和严谨性. 3．辨析质疑结构化． 在理解公式的基础上,及时进行正反两方面的“短、平、快”填空和判断是非练习.通 过总结、辨析和反思，强化了公式的结构特征，促进学生主动建构，有助于学生形成知识 模块，优化知识体系. 4．巩固提高梯度化．
例1采用表格形式,突出表现五个基本量“知三求二”的关系,通过公式的正用和逆用 进一步提高学生运用知识的能力:例2由教科书中的例题改编而成,并进行适当的变式, 可以提高学生的模式识别的能力,培养学生思维的深刻性和灵活性. 5.思路拓广数学化 从整理知识提升到强化方法,由课内巩固延伸到课外思考,变“知识本位”为“学生 本位”,使数学学习成为提高学生素质的有效途径.以生活中的实例作为思考,让学生认识 到数学来源于生活并应用于生活,生活中处处有数学 6.作业布置弹性化 通过布置弹性作业,为学有余力的学生提供进一步发展的空间.介绍相关网站让学生 查阅有关资料,有利于丰富学生的知识,拓展学生的视野,提高学生的数学素养
5 例 1 采用表格形式,突出表现五个基本量“知三求二”的关系，通过公式的正用和逆用 进一步提高学生运用知识的能力；例 2 由教科书中的例题改编而成，并进行适当的变式, 可以提高学生的模式识别的能力，培养学生思维的深刻性和灵活性. 5．思路拓广数学化． 从整理知识提升到强化方法，由课内巩固延伸到课外思考，变“知识本位”为“学生 本位”，使数学学习成为提高学生素质的有效途径.以生活中的实例作为思考，让学生认识 到数学来源于生活并应用于生活，生活中处处有数学． 6．作业布置弹性化． 通过布置弹性作业，为学有余力的学生提供进一步发展的空间．介绍相关网站让学生 查阅有关资料，有利于丰富学生的知识，拓展学生的视野，提高学生的数学素养．