人教A版必修5 24·等比数列 242等比数列的性质
2.4.2 等比数列的性质 2.4· 等比数列 人教A版 必修5
复习归纳: 数列等差数列等比数列 定义式 atr-a=d =g 公差 (比) d叫公差@叫公比 通项公式an=a1+(n-1d miLio-l 般形式an(mnd=ann 等差(比) atb A= 中项
数 列 等 差 数 列 等 比 数 列 定义式 公差 （比） 通项公式 一般形式 等差（比） 中项 an+1-an =d q a a n n = +1 d 叫公差 q叫公比 an= a1+(n-1)d an =a1 q n-1 an =am +(n-m)d an =amq n-m 复习归纳：
探究 观察如下的两个数之间,插入一个什么数后,这 个数就会成为一个等比数列: (1)1,±3,9(2)-1,±2_,-4 (3)-12,±6,-3(4)1,±1,1 定义:等比中项的定义 如果在a与b中间插入一个数G,使a、G、b成 等比数列,那么G就叫做a与b的等比中项 在这个定义下,由等比数列的 定义可得G =即G2=ab:G=√a a G
探究一 3 2 6 1 观察如下的两个数之间，插入一个什么数后,这三 个数就会成为一个等比数列： （1） 1， ， 9 （2）-1， ，-4 （3）-12， ，-3 （4）1， ，1 定义：等比中项的定义 等比数列，那么 就叫做 与 的等比中项 如果在 与 中间插入一个数 ，使 、 、 成 G a b a b G a G b 在这个定义下，由等比数列的 定义可得 G ab G ab G b a G = = = 即 2
性质1:若数列{a为等比数列 则存在第m、n项的关系n=anqm 性质2等比中项性质:若数列{an}为等比数列 则存在an=an·anm 注意:该性质满足等比数列中任意两项与 中间项 练习:已知数列乙等比数列 且 n=4a3=9那么a=?变式a=4-)a=4+ √3 则, a4=场6 ae =土13
性质1：若数列{an }为等比数列 则存在第m、n项的关系an =am q n-m 性质2等比中项性质：若数列{an}为等比数列 则存在 an an 1 an 1 2 − + = • 注意：该性质满足等比数列中任意两项与 中间项 且 那么 ？ 练习：已知数列 为等比数列， a = a = a = an 3 5 4 4, 9, 则 ？ 变式： = = − = + a a a 6 4 8 4 3, 4 3 6 4 a = a 13 6 =
性质3(角码和性质):若数列an}为等比数列 ①若2p=m+n,则存在an=a·a ②若m+n=p+q,则存在an=aa 练习1:在数列{a}中,a2-2,a538, -32 练习2在数列a中,且an>0, 24+22+235那么a+3-6 注意:着q=m+n但是an=an°an
性质3(角码和性质)：若数列{an }为等比数列 ①若2p=m+n,则存在 a p am an = • 2 am an ap aq ②若m+n=p+q，则存在 • = • 练习1：在等比数列{an }中，a2=-2,a5=8， a8= . 练习⒉在等比数列{an }中，且an＞0， a2 a4+2a3 a5 +a4 a6 =36,那么a3 +a5 =_ . -32 6 aq am an 注意：若q = m + n,但是 •
探究二 解:新数列为aaa,an a3 a: a7 =q∴新数列为102aa为等比数列 ai a3 a 同理新数列仍为等比数列 思考:你能得到更一般的结论吗? 性质4:在等比数列中,序号成等差数列的项 依原序构成的新数列是等比数列
探究二 新数列为 为等比数列 解：新数列为 ...... , , , ..... , , , ...... 1 3 5 7 2 5 7 3 5 1 3 1 3 5 7 q a a a a a a a a a a a a a a = = = 思考：你能得到更一般的结论吗？ 性质4：在等比数列中，序号成等差数列的项 依原序构成的新数列是等比数列。 同理新数列仍为等比数列
探究 例4已知an}{b}是项数相同的等比数列,仿照下表 中的例子填写表格.从中你能得出什么结论?证明你的 结论 判断数列{an·bn a b b 是否等比数列 例3(3)-5×21-10( 是 n n n 自选1 n 自选2 定是
n 2 n 3 n 6 是 n ） 2 1 (− n ) 3 1 (− n ) 6 1 ( 是 探究三
结论:如果}b}是项数相同的等 比数列,那么ab,也是等比数列 证明:设数列的公比为p)的公比为 q,那么数列b)的第1项与第n+1项分 别为apbq与ap·bq",即ab(pgy 与ab(pq) 因为2n=ab(四 a, b. a,b, (pgo-1. Dg, 它是一个与n无关的常数,所以是一个以pq 为公比的等比数列
结论：如果 是项数相同的等 比数列，那么 也是等比数列． a n b n a n b n 证明：设数列 的公比为p， 的公比为 q，那么数列 的第n项与第n+1项分 别为 与 ，即 与 ． 因为 它是一个与n无关的常数，所以是一个以pq 为公比的等比数列． a n b n a n b n n 1 1 n 1 a1 p b q − − n 1 n a1 p b q n 1 1 1 a b (pq) − n 1 1 a b (pq) pq, a b (pq) a b (pq) a b a b n 1 1 1 n 1 1 n n n 1 n 1 = = − + +
性质5:如果a}也是项数相同的等 比数列,那么3。b}也是等比数列 变式1:如果}吗是项数相同的等比 数列,那么也是等比数列 变式2:如果是n}等比数列,c是不等 于0的常数,那么数列c·an}也是等 比数列 变式3:如果是{}等比数列,那么数 列an也是等比数列.(课本53页第3题)
变式2：如果是 等比数列，c是不等 于０的常数，那么数列 也是等 比数列． an ca n 性质5：如果 是项数相同的等 比数列，那么 也是等比数列． a n b n a n b n 变式1：如果 是项数相同的等比 数列，那么 也是等比数列． a n b n b a n n 变式3：如果是 等比数列，那么数 列 也是等比数列．（课本53页第3题） an an
性质6、等比数列与公比之间的关系 若数列{a为等比数列,其公比为q ①当a10>1时,数列为单调递增数列。 ②当a4q>0时,数列为单调递减数列。 ③当a00q<1时,数列为单调递减数列。 ④当Q=1时,数列为非零常数列。 ⑤当q<0时,无论a正负,数列为正负 相间摆动数列
性质6、等比数列与公比之间的关系 若数列{an }为等比数列，其公比为q ①当a1>0,q>1时，数列为单调递增数列。 ②当a10时，数列为单调递减数列。 ⑤当q0,0<q<1时，数列为单调递减数列。 ④当q=1时，数列为非零常数列