32一元二次不等式及其解法 第1课时 教学过程 推进新课 师因此这个问题实际就是解不等式:x2-5x0或ax2+bx+c0,3x2-6x0? 它的对应值表与图象如下: O735 x2 2.5 3.5 4.5 0 由对应值表与图象(如上图)可知: 当x=3.5时,y=0,即2x-7=0; 当x3.5时,y>0,即2x-7>0 师一般地,设直线y=a+b与x轴的交点是(x0,0),则有如下结果: (1)一元一次方程aX+b=0的解是x0 (2)①当a>0时,一元一次不等式ax+b>0的解集是{xx>x}:一元一次不等式ax+b0的解集是{xkxxo} 师在解决上述问题的基础上分析,一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系 能通过观察一次函数的图象求得一元一次不等式的解集吗? 生函数图象与x轴的交点横坐标为方程的根,不等式的解集为函数图象落在x轴上方(下方) 部分对应的横坐标 >0
最新精品资料 3.2 一元二次不等式及其解法 第 1 课时 教学过程 推进新课 师 因此这个问题实际就是解不等式：x 2 -5x＜0的问题.这样的不等式就叫做一元二次不等式， 它的解法是我们下面要学习讨论的重点. 什么叫做一元二次不等式？ 含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式 是 ax 2+bx+c＞0 或 ax 2+bx+c＜0（a≠0）.例如 2x2 -3x-2＞0，3x2 -6x＜-2，-2x2+3＜0 等都是一 元二次不等式. 那么如何求解呢？ 师 在初中，我们已经学习过一元一次方程和一元一次不等式的解法，以及一次函数的有关 知识，那么一元一次方程、一元一次不等式以及一次函数三者之间有什么关系呢？ 思考：对一次函数 y=2x-7，当 x 为何值时， y=0？当 x 为何值时，y＜0？当 x 为何值时，y＞0？ 它的对应值表与图象如下： x 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 y -3 -2 -1 0 1 2 3 由对应值表与图象（如上图）可知： 当 x=3.5 时，y=0，即 2x-7=0； 当 x＜3.5 时，y＜0，即 2x-7＜0； 当 x＞3.5 时，y＞0，即 2x-7＞0. 师 一般地，设直线 y=ax+b 与 x 轴的交点是(x0，0),则有如下结果： （1）一元一次方程 ax+b=0 的解是 x0； （2）①当 a＞0 时，一元一次不等式 ax+b＞0 的解集是{x|x＞x0}；一元一次不等式 ax+b＜0 的解集是{x|x＜x0}. ②当 a＜0 时，一元一次不等式 ax+b＞0 的解集是{x|x＜x0}；一元一次不等式 ax+b＜0 的解 集是{x|x＞x0}. 师 在解决上述问题的基础上分析，一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系. 能通过观察一次函数的图象求得一元一次不等式的解集吗？ 生 函数图象与 x 轴的交点横坐标为方程的根，不等式的解集为函数图象落在 x 轴上方(下方) 部分对应的横坐标. a＞0 a＜0
一次函数 =ax+b(a40) 的图象 一元一次方程ax+b=0的解集 {xx=--} ix]x=- 元一次不等式ax+b>0的解集 {xx>、b b 元一次不等式ax+b、6 师在这里我们发现一元一次方程、一元一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系 利用这种联系(集中反映在相应一次函数的图象上)我们可以快速准确地求出一元一次不等 式的解集,类似地,我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来讨论找 到其求解方法呢? 在初中学习二次函数时,我们曾解决过这样的问题:对二次函数y=x2-5x,当x为何值时 0?当x为何值时,y0?当时我们又是怎样解决的呢? 生当时我们是通过作出函数的图象,找出图象与ⅹ轴的交点,通过观察来解决的 二次函数y=x2-5x的对应值表与图象如下: 0 6 0 0 由对应值表与图象(如上图)可知: 当x=0或x=5时,y=0,即x2-5x=0 当05时,y>0,即x2-5x>0 这就是说,若抛物线y=x2-5x与x轴的交点是(0,0)与(5,0 则一元二次方程x2-5x=0的解就是x1=0,x2=5 一元二次不等式x2-5x0的解集是{xx5} [教师精讲] 由一元二次不等式的一般形式知,任何一个一元二次不等式,最后都可以化为ax2+bx+c>0 或aNx2+bx+c0)的形式,而且我们已经知道,一元二次不等式的解与其相应的一元 二次方程的根及二次函数图象有关,即由抛物线与ⅹ轴的交点可以确定对应的一元二次方程 的解和对应的一元二次不等式的解集 如何讨论一元二次不等式的解集呢? 我们知道,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0),设其判别式为△=b2-4ac,它的解按照△> 0,△=0,△0)与x轴的相关位置也分为三 种情况(如下图),因此,对相应的一元二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+b+c0)的 解集我们也分这三种情况进行讨论
一次函数 y=ax+b(a≠0) 的图象 一元一次方程 ax+b=0 的解集 {x|x= a b − } {x|x= a b − } 一元一次不等式 ax+b＞0 的解集 {x|x＞ a b − } {x|x＜ a b − } 一元一次不等式 ax+b＜0 的解集 {x|x＜ a b − } {x|x＞ a b − } 师 在这里我们发现一元一次方程、一元一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系. 利用这种联系（集中反映在相应一次函数的图象上）我们可以快速准确地求出一元一次不等 式的解集，类似地，我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来讨论找 到其求解方法呢？ 在初中学习二次函数时，我们曾解决过这样的问题：对二次函数 y=x2 -5x，当 x 为何值时， y=0？当 x 为何值时，y＜0？当 x 为何值时，y＞0？当时我们又是怎样解决的呢？ 生 当时我们是通过作出函数的图象，找出图象与 x 轴的交点，通过观察来解决的. 二次函数 y=x2 -5x 的对应值表与图象如下： x -1 0 1 2 3 4 5 6 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 由对应值表与图象（如上图）可知： 当 x=0 或 x=5 时，y=0，即 x 2 -5x=0； 当 0＜x＜5 时，y＜0，即 x 2 -5x＜0； 当 x＜0 或 x＞5 时，y＞0，即 x 2 -5x＞0. 这就是说，若抛物线 y=x 2 -5x 与 x 轴的交点是(0，0)与(5，0), 则一元二次方程 x 2 -5x=0 的解就是 x1=0，x2=5. 一元二次不等式 x 2 -5x＜0 的解集是{x|0＜x＜5};一元二次不等式 x 2 -5x＞0 的解集是{x|x＜0 或 x＞5}. ［教师精讲］ 由一元二次不等式的一般形式知，任何一个一元二次不等式，最后都可以化为 ax 2+bx+c＞0 或 ax 2+bx+c＜0（a＞0）的形式，而且我们已经知道，一元二次不等式的解与其相应的一元 二次方程的根及二次函数图象有关，即由抛物线与 x 轴的交点可以确定对应的一元二次方程 的解和对应的一元二次不等式的解集. 如何讨论一元二次不等式的解集呢？ 我们知道，对于一元二次方程 ax 2+bx+c=0(a＞0)，设其判别式为 Δ=b 2 -4ac，它的解按照 Δ＞ 0,Δ=0，Δ＜0 分为三种情况，相应地，抛物线 y=ax 2+bx+c(a＞0)与 x 轴的相关位置也分为三 种情况（如下图），因此，对相应的一元二次不等式 ax 2+bx+c＞0 或 ax 2+bx+c＜0（a＞0）的 解集我们也分这三种情况进行讨论
xnO (1)若△>0,此时抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴有两个交点(图(1),即方程ax 2+bx+c=0(a>0)有两个不相等的实根x,x2(x10(a>0)的解 集是{xxx2};不等式ax2+bx+c0)的解集是{xx10)与x轴只有一个交点〔图(2),即方程 ax2+b+-0(a>0有两个相等的实根x=x=b,则不等式ax+b+c>0(a>0)的解集是 xx≠-};不等式ax2+bx+c0)的解集是 (3)若△0)与x轴没有交点(图(3),即方程ax2+bx+c=0a 0)无实根,则不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集是R:不等式ax2+bx+c0)的解 集是 △=b24ac △=0 △0)的 图象 XNo ax2+bx+c=0的根 b±√=△ XI-X 的解集{xxx2} b xx≠ ax2+bx+c0 生解:因为△>0.25x3=0的解是X=2X2=3所以不等式的解集是对-2,或x> 【例2】解不等式-3x2+15x>12 生解:整理化简得3x2-15x+120,方程3x2-15x+12=0的解是x1=1,x=4,所以 不等式的解集是{x10 生解:因为△=0,方程4x2+4x+1=0的解是x1=x2=-所以不等式的解集是{xx≠ 【例4】解不等式-x2+2x-3>0 生解:整理化简,得x2-2x+3<0.因为△<0,方程x22x+3=0无实数解,所以不等式的解 集是必
（1）若 Δ＞0，此时抛物线 y=ax 2+bx+c(a＞0)与 x 轴有两个交点〔图（1）〕，即方程 ax 2+bx+c=0(a＞0)有两个不相等的实根 x1，x2（x1＜x2）,则不等式 ax 2+bx+c＞0（a＞0）的解 集是{x|x＜x1，或 x＞x2}；不等式 ax 2+bx+c＜0（a＞0）的解集是{x|x1＜x＜x2}. （2）若 Δ=0，此时抛物线 y=ax 2+bx+c(a＞0)与 x 轴只有一个交点〔图（2）〕，即方程 ax 2+bx+c=0(a＞0)有两个相等的实根 x1=x2= a b 2 − ,则不等式 ax 2+bx+c＞0（a＞0）的解集是 {x|x≠ a b 2 − }；不等式 ax 2+bx+c＜0（a＞0）的解集是. (3)若 Δ＜0，此时抛物线 y=ax 2+bx+c(a＞0)与 x 轴没有交点〔图(3)〕，即方程 ax 2+bx+c=0(a ＞0)无实根，则不等式 ax 2+bx+c＞0（a＞0）的解集是 R；不等式 ax 2+bx+c＜0（a＞0）的解 集是. Δ=b 2 -4ac[来源:www.sh ulihua .n et] Δ＞0 Δ=0 Δ＜0 二次函数 y=ax 2+bx+c(a＞0)的 图象 ax 2+bx+c=0 的根 a b x 2 1.2 − = x1=x2= a b 2 − ax 2+bx+c＞0 的解集 {x|x＜x1 或 x＞x2} {x|x≠ a b 2 − } R ax 2+bx+c＜0 的解集 {x|x1＜x＜x2} 对于二次项系数是负数（即 a＜0）的不等式，可以先把二次项系数化成正数，再求解. ［知识拓展］ 【例 1】 解不等式 2x 2 -5x-3＞0. 生 解：因为 Δ＞0，2x2 -5x-3=0 的解是 x1=- 2 1 ,x 2=3.所以不等式的解集是{x|x＜ 2 1 − ，或 x＞ 3}. 【例 2】 解不等式-3x 2+15x＞12. 生 解：整理化简得 3x 2 -15x+12＜0.因为 Δ＞0，方程 3x2 -15x+12=0 的解是 x 1=1,x2=4，所以 不等式的解集是{x|1＜x＜4}. 【例 3】 解不等式 4x 2+4x+1＞0. 生 解：因为 Δ=0，方程 4x 2+4x+1=0 的解是 x1=x 2= 2 1 − .所以不等式的解集是{x|x≠ 2 1 − }. 【例 4】 解不等式-x 2 +2x-3＞0. 生 解：整理化简，得 x 2 -2x+3＜0.因为 Δ＜0，方程 x 2 -2x+3=0 无实数解，所以不等式的解 集是
师由上述讨论及例题,可归纳出解一元二次不等式的程序吗? 生归纳如下: (1)将二次项系数化为“+”:y=ax2+bx+c>0(或0 (2)计算判别式Δ,分析不等式的解的情况: 或x> ①△>0时,求根x10,则x≠x的一切实数; ②△=0时,求根x1=x2=x0,{若y0则∈尺 若y≤0,则x∈ (3)写出解集 师说的很好.下面我们用一个程序框图把求解一元二次不等式的过程表示出来,请同学们将 判断框和处理框中的空格填充完整 [学生活动过程] 将原不等式化成一般形式 求方程ax+bxc=0程a 的两个根x1、x 没有实数 4=x9>[原不等式解集为R 原不等式的解集为原不等式的解集为 xxx2 [方法引导] 上述过程以学生自主探究为主,教师起引导作用,充分体现学生的主体作用与新课程的理念 该过程中的思考、观察、探究起到层层铺设的作用,激起学生学习的兴趣与勇于探索的精 课堂小结 1.一元二次不等式:含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不 等式,它的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a≠0) 2求解一元二次不等式的步骤和解一元二次不等式的程序 布置作业
师 由上述讨论及例题，可归纳出解一元二次不等式的程序吗？ 生 归纳如下： （1）将二次项系数化为“+”：y=ax 2+bx+c＞0(或＜0)(a＞0). （2）计算判别式 Δ，分析不等式的解的情况： ①Δ＞0 时，求根 x1＜x2， 0, . 0, ; 1 2 1 2 y x x x y x x x x 若 ＜ 则 ＜ ＜ 若 ＞ 则 或 ＞ ②Δ=0 时，求根 x 1=x 2=x 0， = = 0, . 0, ; 0, ; 0 0 y x x y x y x x 若 则 若 ＜ 则 若 ＞ 则 的一切实数 ③Δ＜0 时，方程无解， 0, . 0, ; y x y x R 若 则 若 ＞ 则 （3）写出解集. 师 说的很好.下面我们用一个程序框图把求解一元二次不等式的过程表示出来，请同学们将 判断框和处理框中的空格填充完整. ［学生活动过程］ ［方法引导］ 上述过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用与新课程的理念. 该过程中的思考、观察、探究起到层层铺设的作用，激起学生学习的兴趣与勇于探索的精 神. 课堂小结 1.一元二次不等式：含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不 等式，它的一般形式是 ax 2+bx+c＞0 或 ax 2+bx+c＜0（a≠0）. 2.求解一元二次不等式的步骤和解一元二次不等式的程序. 布置作业
1.完成第90页的练习 2.完成第90页习题3.2第1题 板书设计 元二次不等式的概念和一元二次不等式解法 多媒体演示区 元二次不等式概念 元二次不等式解题步骤 例题 32一元二次不等式的解法 第2课时 教学过程 推进新课 师因此这个问题实际就是解不等式x2+9x-7110>0的问题因为△>0,方程x2+9x-7110=0 有两个实数根,即x1≈-8894x≈799然后,画出二次函数y=x2+9x-7110,由图象得不等式 的解集为{x79.94} 在这个实际问题中x>0,所以这辆汽车刹车前的车速至少为7994km/h 师【例2】一个车辆制造厂引进一条摩托车整车装配流水线,这条流水线生产的摩托车数 量ⅹ(辆)与创造的价值y(元)之间有如下的关系:y=2x2+220x若这家工厂希望在一个 星期内利用这条流水线创收6000元以上,那么他在一星期内大约应该生产多少辆摩托车? 生设在一星期内大约应该生产ⅹ辆摩托车根据题意,能得到2x2+220x>6000移项、整理 得x2-110x+30000,所以方程x2-10x+30000有两个实数根x1=50x2=60,然后,画出二次函数 y=x2-10x+3000由图象得不等式的解集为{x500,[x-10 x-1>0 x-10 x-1>0 解:∵(x-1)(x+4)0 原不等式的解集是{x-4<x<1} 思路三:由于不等式的解与相应方程的根有关系,因此可求其根并由相应的函数值的符号表 示出来即可求出不等式的解集 解:①求根:令(x-1)x+4)=0,解得x(从小到大排列)分别为4,1,这两根将x轴分为三
1.完成第 90 页的练习. 2.完成第 90 页习题 3.2 第 1 题. 板书设计 一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法 多媒体演示区 一元二次不等式概念 一元二次不等式解题步骤 例题 3.2 一元二次不等式的解法 第 2 课时 教学过程 推进新课 师 因此这个问题实际就是解不等式 x 2+9x-7 110＞0 的问题.因为 Δ＞0,方程 x 2+9x-7 110=0 有两个实数根，即 x1≈-88.94,x2≈79.94.然后，画出二次函数 y=x 2+9x-7 110,由图象得不等式 的解集为{x|x＜-88.94 或 x＞79.94}. 在这个实际问题中 x＞0,所以这辆汽车刹车前的车速至少为 79.94 km/h. 师 【例 2】 一个车辆制造厂引进一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数 量 x（辆）与创造的价值 y（元）之间有如下的关系：y=-2x 2+220x.若这家工厂希望在一个 星期内利用这条流水线创收 6 000 元以上，那么他在一星期内大约应该生产多少辆摩托车？ 生 设在一星期内大约应该生产 x 辆摩托车.根据题意，能得到-2x2+220x＞6 000.移项、整理 得 x 2 -110x+3 000＜0. ［教师精讲］ 因为 Δ=100＞0，所以方程 x 2 -110x+3 000=0 有两个实数根 x1=50,x2=60,然后，画出二次函数 y=x 2 -110x+3 000,由图象得不等式的解集为{x|50＜x＜60}.因为只能取整数值，所以，当这条 摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在 51 到 59 辆之间时，这家工厂能够获得 6 000 元以上的收益. ［知识拓展］ 【例 3】 解不等式(x-1)(x +4)＜0. 思路一：利用前节的方法求解. 思路二：由乘法运算的符号法则可知，若原不等式成立，则左边两个因式必须异号， ∴原不等式的解 集是下面 两个不等式 组 + − 4 0 1 0, ＜ ＞ x x 与 + − 4 0 1 0 ＞ ＜ x x 的解集的并集，即 + − 4 0 1 0 ＜ ＞ x x x = + − 4 0 1 0 ＞ ＜ x x U x ∪{x|-4＜x＜1}={x|-4＜x＜1}.书写时可按下列格式： 解：∵(x-1)(x+4)＜0 + − 4 0 1 0 ＜ ＞ x x 或 + − 4 0 1 0 ＞ ＜ x x x∈ 或-4＜x＜1 -4＜x＜1， ∴原不等式的解集是{x|-4＜x＜1}. 思路三：由于不等式的解与相应方程的根有关系，因此可求其根并由相应的函数值的符号表 示出来即可求出不等式的解集. 解：①求根：令(x-1)(x+4)=0，解得 x（从小到大排列）分别为-4，1，这两根将 x 轴分为三
部分:(-∞,-4),(-4,1),(1,+∞) ②分析这三部分中原不等式左边各因式的符号: (-4,1) (1,+∞) 4 ③由上表可知,原不等式的解集是{x-40(0:(2)(x-1)(x+2)x-3)>0;(3(x-3)2xx+1)>0. 答案:(1){x3};(2){x23};(3){x-10 解:①检查各因式中x的符号均正 ②求得相应方程的根为-2,1,3 ③列表如下 (-∞,-2) (2,1) (1,3) (3,+∞) 各因式积 ④由上表可知,原不等式的解集为{x23} 思路四:上面的区间法实际上是把看相应函数图象上使y0的x的部分数值化列成 表了,我们试想若能画出图象(此时我们只注意y值的正负不注意其他方面),那么它相对 于x轴的位置应是什么呢?可把表上各部分函数值的正负情况用下图表示,由图即可写出不 等式的解集 由此看出,如果不像上面那样列表,就用这种方法也可以求这个不等式的解你能总结一下 用这种方法解不等式的规律吗? ①将不等式化为(x-x)x-x2)(x-xm)>0(0”,则找"线”在x轴上方的区间;若不等式是“0
部分：（-∞，-4），（-4，1），（1，+∞）. ②分析这三部分中原不等式左边各因式的符号： （-∞，-4） （-4，1） （1，+∞） x+4 - + + x-1 - - + (x-1)(x+4) + - + ③由上表可知，原不等式的解集是{x|-4＜x＜1}. 点评：此法叫区间法，解题步骤是： ①将不等式化为(x-x1)(x-x 2)…(x-xn) ＞0( ＜0) 的形式（各项 x 的符号化“+”），令(x-x 1)(x-x2)…(x-x n)=0，求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把（实数）数轴分成两部分， 两个分界点把数轴分成三部分…… ②按各根把实数分成的几部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的 因式开始依次自上而下排列）； ③计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号； ④看下面积的符号写出不等式的解集（你会发现符号的规律吗）. 练习 1：解不等式：(1)x 2 -5x-6＞0；(2)(x-1)(x+2)(x-3)＞0；(3)x(x-3)(2-x)(x+1)＞0. 答案：(1){x|x＜2 或 x＞3}；(2){x|-2＜x＜1 或 x＞3}；(3){x|-1＜x＜0 或 2＜x＜3}. 教师书写示范：如第(2)题：解不等式(x-1)(x+2)(x-3)＞0. 解：①检查各因式中 x 的符号均正； ②求得相应方程的根为-2，1，3； ③列表如下： （-∞，-2） （-2，1） （1，3） （3，+∞） x+2 - + + + x-1 - - + + x-3 - - - + 各因式积 - + - + ④由上表可知，原不等式的解集为{x|-2＜x＜1 或 x＞3}. 思路四：上面的区间法实际上是把看相应函数图象上使 y＜0 或 y＞0 的 x 的部分数值化列成 表了，我们试想若能画出图象（此时我们只注意 y 值的正负不注意其他方面），那么它相对 于 x 轴的位置应是什么呢？可把表上各部分函数值的正负情况用下图表示，由图即可写出不 等式的解集. 由此看出，如果不像上面那样列表，就用这种方法也可以求这个不等式的解.你能总结一下 用这种方法解不等式的规律吗？ ①将不等式化为(x-x1)(x -x2)…(x-x n)＞0(＜0)的形式，并将各因式 x 的系数化“+”； ②求根，并在数轴上表示出来； ③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么）； ④若不等式（x 的系数化“+”后）是“＞0”,则找“线”在 x 轴上方的区间；若不等式是“＜0”,则 找“线”在 x 轴下方的区间. 这种方法叫数轴标根法. [来源:www.sh u lihu a.net] 练习 2：用数轴标根法解上述练习 1 中不等式（1）～（3）. 教师书写示范：如第（2）题：解不等式 x(x-3)(2-x)(x+1)＞0
解:①将原不等式化为x(x-3)x-2)(x+1)<0; ②求得相应方程的根为-1,0,2,3 ③在数轴上表示各根并穿线(自右上方开始),如右图 ④原不等式的解集为{x-1<x<0或2<x<3} [合作探究] 师【例4】解不等式:(x-2)2(x-3)3(x+1)<0 解:①检查各因式中x的符号均正 ②求得相应方程的根为-1,2,3(注意:2是二重根,3是三重根) ③在数轴上表示各根并穿线,每个根穿一次(自右上方开始),如下图: ④原不等式的解集为{x-1<x<2或2<x<3} 说明:∵3是三重根,∴在C处穿三次,2是二重根 ∴在B处穿两次,结果相当于没穿由此看出,当左侧fx)有相同因式(xx),n为奇数时, 曲线在x1点处穿过数轴;n为偶数时,曲线在xt点处不穿过数轴,不妨归纳为“奇穿偶 不穿 【练习3】解不等式:(x-3)x+1)(x2+4x+4)≤0 解:①将原不等式化为(x-3)(x+1)(x+2)2≤0 ②求得相应方程的根为-2(二重),-1,3 ③在数轴上表示各根并穿线,如右图: ④原不等式的解集是{x-1≤x3或x=2} 点评:注意不等式若带“”,点画为实心,解集边界处应有等号:另外,线虽不穿-2点,但 x=2满足“=”的条件,不能漏掉 [教师精讲] 师由分式方程的定义不难联想到:分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式例如 3x+2 ≤0等都是分式不等式 x+7 x2-2x-3 师分式不等式的解法 由不等式的性质易知:不等式两边同乘以正数,不等号方向不变;不等式两边同乘以负数, 不等号方向要变;分母中有未知数x,不等式两边同乘以一个含x的式子,它的正负不知 不等号方向无法确定,无从解起,若讨论分母的正负,再解也可以,但太复杂因此,解分 式不等式,切忌去分母 解法是:移项、通分,右边化为0,左边化为f(xg(x)的形式 【例5】解不等式 x+7 解法一:化为两个不等式组来解 x-3<0 0或 x+7<0 x+-0x∈必或7<x<3-7<x<3,…∴原不等式的解集
解：①将原不等式化为 x(x-3)(x-2)(x+1)＜0； ②求得相应方程的根为-1，0，2，3； ③在数轴上表示各根并穿线（自右上方开始），如右图： ④原不等式的解集为{x|-1＜x＜0 或 2＜x＜3}. [来源:www.shulihu a.n et] ［合作探究］ 师【例 4】 解不等式：（x-2）2 (x-3)3 (x+1)＜0. 解：①检查各因式中 x 的符号均正； ②求得相应方程的根为-1，2，3（注意：2 是二重根，3 是三重根）； ③在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始），如下图： ④原不等式的解集为{x|-1＜x＜2 或 2＜x＜3}. 说明：∵3 是三重根，∴在 C 处穿三次，2 是二重根. ∴在 B 处穿两次，结果相当于没穿.由此看出，当左侧 f(x)有相同因式(x-x 1) n，n 为奇数时， 曲线在 x 1 点处穿过数轴；n 为偶数时，曲线在 x 1 点处不穿过数轴，不妨归纳为“奇穿偶 不穿”. 【练习 3】 解不等式：(x-3)(x+1)(x 2+4x+4)≤0. 解：①将原不等式化为(x-3)(x+1)(x+2)2≤0； ②求得相应方程的根为-2（二重），-1，3； ③在数轴上表示各根并穿线，如右图： ④原不等式的解集是{x|-1≤x≤3 或 x=-2}. 点评：注意不等式若带“=”，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿-2 点，但 x=-2 满足“=”的条件，不能漏掉. ［教师精讲］ 师 由分式方程的定义不难联想到：分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.例如 0 7 3＜ + − x x ， 0 2 3 3 2 2 2 − − − + x x x x 等都是分式不等式. 师 分式不等式的解法. 由不等式的性质易知：不等式两边同乘以正数，不等号方向不变；不等式两边同乘以负数， 不等号方向要变；分母中有未知数 x，不等式两边同乘以一个含 x 的式子，它的正负不知， 不等号方向无法确定，无从解起，若讨论分母的正负，再解也可以，但太复杂.因此，解分 式不等式，切忌去分母. 解法是：移项、通分，右边化为 0，左边化为 f(x)[]g(x)的形式. 【例 5】 解不等式： 0 7 3＜ + − x x . 解法一：化为两个不等式组来解. ∵ 0 7 3＜ + − x x + − 7 0 3 0 ＜ ＞ x x 0 或 + − 7 0 3 0 ＞ ＜ x x x∈ 或-7＜x＜3-7＜x＜3，∴原不等式的解集
是{x-70(或“0 ,即转化为一次、二次或特殊高次不等式形式 g(x)≠0 (线J(x)g(x)0 g(x)≠0 布置作业 完成第90页习题3.2A组第5、6题, 习题3.2B组第4题
是{x|-7＜x＜3}. 解法二：化为二次不等式来解. ∵ 0 7 3＜ + − x x + − + 7 0 ( 3)( 7) 0 x x x ＜ -7＜x＜3，∴原不等式的解集是{x|-7＜x＜3}. 点评：若本题带“=”，即(x-3)(x+7)≤0，则不等式解集中应注意 x≠-7 的条件，解集应是{x|-7 ＜x≤3}. 【例 6】 解不等式： 0 2 3 3 2 2 2 − − − + x x x x . [来源:www.shulihua.n et] 解法一：化为不等式组来解(较繁). 解法二：∵ 0 2 3 3 2 2 2 − − − + x x x x − − − + − − 2 3 0 ( 3 2)( 2 3) 0 2 2 2 x x x x x x − + − − − + ( 3)( 1) 0, ( 1)( 2)( 3)( 1) 0, x x x x x x ∴原不等式的解集为{x|-1＜x≤1 或 2≤x＜3}. 练习：解不等式 2 5 3＞ + − x x . 答案：{x|-13＜x＜-5}. ［方法引导］ 讲练结合法 通过讲解强化训练题目,加深对分式不等式及简单高次不等式解法的理解,提高分析问题 和解决问题的能力.针对不同类型的不等式,使学生能灵活有效地进行等价变形. 上述过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用，新课程的 理念.该过程中的思考、观察、探究起到层层铺设的作用，激起学生学习的兴趣，勇于探索 的精神. 课堂小结 1.关于一元二次不等式的实际应用题，要注意其实际意义. 2.求解一般的高次不等式的解法. 特殊的高次不等式即右边化为 0，左边可分解为一次或二次式的因式的形式不等式，一般用 区间法解，注意：①左边各因式中 x 的系数化为“+”，若有因式为二次的（不能再分解了） 二次项系数也化为“+”，再按我们总结的规律做；②注意边界点（数轴上表示时是“。”还是 “ .”）. 3.分式不等式，切忌去分母，一律移项通分化为 0 ( ) ( )＞ g x f x (或 0 ( ) ( )＜ g x f x 的形式，转化为 ( ) 0 ( ) ( ) 0, g x f x g x ＞ ，（或 ( ) 0 ( ) ( ) 0, g x f x g x ＜ ，即转化为一次、二次或特殊高次不等式形式. 布置作业 完成第 90 页习题 3.2 A 组第 5、6 题， 习题 3.2 B 组第 4 题
板书设计 元二次不等式的解法的应用(一) 例题 例题 练习 元高次不等式解题步骤 32一元二次不等式的解法的应用(二) 第3课时 推进新课 师思考一下如何解下面这个不等式:解关于x的不等式a(x-ab)>b(x+ab) 生将原不等式展开,整理得(a-b)x>ab(a+b) 讨论:当a>b时,x>ab(a+b) ab(a+b) a-b 当a=b时,若a=b>0时x∈必:若ab0 生原不等式可以化为(x+a-1)(x-a)>0, 若a>4(1.即a>2,则x>2a或a1axe(x1u+ 若a=(a-1)即al ,则(x-1022>0.∴x∈{xx≠=x∈R} 若a1-a∴x∈(-a)u(1a+) 2 师引申:解关于x的不等式(x-x2+12)(x+a)0 ②相应方程的根为-3,4,-a,现a的位置不定,应如何解? ③讨论 (i)当-a>4,即aa} (i)当-34} (ii)当-a3时,各根在数轴上的分布及穿线如下: ∴原不等式的解集为{x-a4} (ⅳv)当-a=4,即a=4时,各根在数轴上的分布及穿线如下 4,-a 原不等式的解集为{xx>-3
板书设计 一元二次不等式的解法的应用（一） 例题 例题 练习 一元高次不等式解题步骤 3.2 一元二次不等式的解法的应用(二) 第 3 课时 推进新课 师 思考一下如何解下面这个不等式：解关于 x 的不等式 a(x-ab)＞b(x+ab). 生 将原不等式展开，整理得(a-b)x＞ab(a+b). 讨论：当 a＞b 时， a b ab a b x − ( + ) ＞ ,∴x∈( a b ab a b − ( + ) ,+∞). 当 a=b 时，若 a=b≥0 时 x∈ ；若 a=b＜0 时 x∈R. 当 a＜b 时， a b ab a b x − ( + ) ＜ ,∴x∈(-∞, a b ab a b − ( + ) ). 师 【例 1】 解关于 x 的不等式 x 2 -x-a(a-1)＞0. 生 原不等式可以化为(x+a-1)(x-a)＞0， 若 a＞-(a-1),即 a＞ 2 1 ,则 x＞a 或 a＜1-a.∴x∈(-∞,1-a)∪(a,+∞). 若 a=-(a-1),即 a= 2 1 ,则(x-1[]2)2＞0.∴x∈{x|x≠ 2 1 ,x∈R}. 若 a＜-(a-1),即 a＜ 2 1 ,则 x＜a 或 x＞1-a.∴x∈(-∞,a)∪(1-a,+∞). 师 引申：解关于 x 的不等式(x-x 2+12)(x+a)＜0. 生 ①将二次项系数化“+”为(x2 -x-12)(x+a)＞0. ②相应方程的根为-3，4，-a，现 a 的位置不定，应如何解？ ③讨论： （ⅰ）当-a＞4，即 a＜-4 时，各根在数轴上的分布及穿线如下： ∴原不等式的解集为{x|-3＜x＜4 或 x＞-a}. （ⅱ）当-3＜-a＜4，即-4＜a＜3 时，各根在数轴上的分布及穿线如下： ∴原不等式的解集为{x|-3＜x＜-a 或 x＞4}. （ⅲ）当-a＜-3，即 a＞3 时，各根在数轴上的分布及穿线如下： ∴原不等式的解集为{x|-a＜x＜-3 或 x＞4}. （ⅳ）当-a=4，即 a=-4 时，各根在数轴上的分布及穿线如下： ∴原不等式的解集为{x|x＞-3}
(v)当-a=-3,即a=3时,各根在数轴上的分布及穿线如下: ∴原不等式的解集为{xx>4} 师变题:解关于x的不等式2x2+kx-k0,即k0时,方程2x2+kx-k=0有两个不相等的实根 所以不等式2x2+kx-k0. 师本题对解集的影响因素较多,若处理不当,不仅要分级讨论,而且极易漏解或重复较好 的解决方法是整体考虑,分区间讨论,方为上策显然本题首先要讨论m与0的大小,又由 △=4-4m=4(1-m),故又要讨论m与1的大小我们将0与1分别标在数轴上,将区间进行划分, 这样就可以保证不重不漏 解:∵△=4-4m=4(1-m), 当m0,此时x1 1+√1-m 解集为{x 1+√1-m -√1-m 当m=0时,方程为-2x+1>0.,解集为{xx0,此时x1= 1+√1-m ∴解集为{x> 1+√1-n }当m=1时,不等式为(x-1)2>0 ∴其解集为{xx≠1} 当m>1时,此时△<0,故其解集为R 师小结:在以上的讨论中,请不要漏掉在端点的解集的情况 [教师精讲] 应的一元二次方程有实数根1-a和a,不等式中二次项的系数为正,所以要写出它的解集需 要对两根的大小进行讨论
(ⅴ)当-a=-3，即 a=3 时，各根在数轴上的分布及穿线如下： ∴原不等式的解集为{x|x＞4}. 师 变题：解关于 x 的不等式 2x2+kx-k≤0. 师 此不等式为含参数 k 的不等式，当 k 值不同时相应的二次方程的判别式的值也不同，故 应先从讨论判别式入手. 生 Δ=k2+8k=k(k+8). (1)当 Δ＞0,即 k＜-8 或 k＞0 时，方程 2x2+kx-k=0 有两个不相等的实根. 所以不等式 2x2+kx-k≤0的解集是 {x| 4 ( 8) 4 ( 8) − + + − − + k k k x k k k }; (2)当 Δ=0，即 k=-8 或 k=0 时，方程 2x2+kx-k=0 有两个相等的实根， 所以不等式 2x2+kx-k≤0 的解集是{ 4 k − }，即{0,2}； (3)当 Δ＜0,即-8＜k＜0 时，方程 2x2+kx-k=0 无实根， 所以不等式 2x2+kx-k≤0 的解集为 . 练习 解不等式：mx 2 -2x+1＞0. 师 本题对解集的影响因素较多，若处理不当，不仅要分级讨论，而且极易漏解或重复.较好 的解决方法是整体考虑，分区间讨论，方为上策.显然本题首先要讨论 m 与 0 的大小，又由 Δ=4-4m=4(1-m),故又要讨论 m 与 1 的大小.我们将 0 与 1 分别标在数轴上，将区间进行划分， 这样就可以保证不重不漏. 解：∵Δ=4-4m=4(1-m), ∴当 m＜0 时,Δ＞0,此时 m m x m m x − − = + − = 1 1 1 1 1 ＜ 2 . ∴解集为{ m m x m m x + − − − = 1 1 1 1 ＜ ＜ }. 当 m＝0 时，方程为-2x+1＞0,解集为{x|x＜ 2 1 }, 当 0＜m＜1 时,Δ＞0，此时 m m x m m x − − = + − = 1 1 1 1 1 ＞ 2 , ∴解集为{ m m x m m x x + − − − = 1 1 1 1 ＞ 或 ＜ }.当 m＝1 时,不等式为(x-1)2＞0, ∴其解集为{x|x≠1}; 当 m＞1 时,此时 Δ＜0,故其解集为 R. 师 小结：在以上的讨论中，请不要漏掉在端点的解集的情况. ［教师精讲］ 对应的一元二次方程有实数根 1-a 和 a,不等式中二次项的系数为正，所以要写出它的解集需 要对两根的大小进行讨论