32一元二次不等式及其解法(1) 【教学过程】 讲授新课 (1)一元二次不等式的定义 象x2-5x5时,函数图象位于x轴上方,此时,y>0,即x2-5x>0; 当00,或 ax2+bx+c0) 一般地,怎样确定一元二次不等式ax2+bx+c>0与ax2+bx+c<0的解集呢? 组织学生讨论:
最新资料最新资料最新资料最新资料最新资料 3.2 一元二次不等式及其解法（1） 【教学过程】 讲授新课 （1）一元二次不等式的定义 象 2 x x − 5 0 这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一 元二次不等式． （2）探究一元二次不等式的解集 怎样求不等式 2 x x − 5 0 的解集呢？ 探究： ①二次方程的根与二次函数的零点的关系 容易知道：二次方程的有两个实数根： 1 2 x x = = 0, 5 二次函数有两个零点： 1 2 x x = = 0, 5 于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点． ②观察图象，获得解集 画出二次函数 2 y x x = −5 的图象，如图，观察函数图象，可知： 当 x 0 ，或 x 5 时，函数图象位于 x 轴上方，此时， y 0 ，即 2 x x − 5 0 ； 当 0 5 x 时，函数图象位于 x 轴下方，此时， y 0 ，即 2 x x − 5 0 ； 所以，不等式 2 x x − 5 0 的解集是 x x | 0 5 ，从而解决了本节开始时提出的问题． （3）探究一般的一元二次不等式的解法 任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式： 2 ax bx c + + 0 ，或 2 ax bx c + + 0 ( 0) a ． 一般地，怎样确定一元二次不等式 2 ax bx c + + 0 与 2 ax bx c + + 0 的解集呢？ 组织学生讨论：
从上面的例子出发,综合学生的意见,可以归纳出确定一元二次不等式的解集,关键要 考虑以下两点: ①抛物线与x轴的相关位置的情况,也就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况; ②抛物线y=ax2+bx+c的开口方向,也就是a的符号 总结讨论结果 ①抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴的相关位置,分为三种情况,这可以由一元二 次方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac三种取值情况(△>0,A=0,△0 分Δ>0,Δ=0,Δ0与 ax2+bx+c0)的解集 设相应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x、x2且x≤x2,△=b2-4ac, 则不等式的解的各种情况如下表:(让学生独立完成课本第77页的表格 次函数 bx (a>0)的图象 元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 ax+bx +c=0 x,x2(x10 或x (a>0)的解集 R ax+bx+c0)的解集 (lx 0的解集 解:因为△=0,方程4x2-4x+1=0的解是x=x2 所以,原不等式的解集是
从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要 考虑以下两点： ①抛物线与 x 轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程 2 ax bx c + + = 0 的根的情况； ②抛物线 2 y ax bx c = + + 的开口方向，也就是 a 的符号． 总结讨论结果： ①抛物线 2 y ax bx c = + + ( 0) a 与 x 轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二 次方程 2 ax bx c + + = 0 的判别式 2 = − b ac 4 三种取值情况( 0 ，= 0 ， 0 ）来确定．因 此，要分二种情况讨论． ② a 0 可以转化为 a 0 分 0， = 0， 0 三种情况，得到一元二次不等式 2 ax bx c + + 0 与 2 ax bx c + + 0 ( 0) a 的解集． 设相应的一元二次方程 2 ax bx c + + = 0 ( 0) a 的两根为 1 2 1 2 x x x x 、 且 ， 2 = − b ac 4 ， 则不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第 77 页的表格) 0 = 0 0 二次函数 2 y ax bx c = + + ( 0) a 的图象 一元二次方程 2 ax bx c + + = 0 有两相异实根 1 2 1 2 x x x x , ( ) 有两相等实根 1 2 2 b x x a = = − 无实根 2 ax bx c + + 0 ( 0) a 的解集 x x x x x 1 2 或 2 b x x a − R 2 ax bx c + + 0 ( 0) a 的解集 x x x x 1 2 范例讲解 例 1 求不等式 2 4 4 1 0 x x − + 的解集. 解：因为 = 0 ，方程 2 4 4 1 0 x x − + = 的解是 1 2 1 2 x x = = ． 所以，原不等式的解集是 1 2 x x ．
评述:本题主要熟悉最简单一元二次不等式的解法,一定要保证步骤正确,计算准确. 例2解不等式-x2+2x-3>0. 解:整理,得x2-2x+30转化为x2-2x+3-2x2;(2)x2-2x+1>0;(3)x2-2x+20 因为△>0,方程2x2-3x-2=0的解是x1=-,x2=2 所以函数y=32-32的图像是开口向上的抛物线,与x轴有两个交点(-020 由图像可得,原不等式的解集是{xx2 (2)方程x2-2x+1=0有两个相同的解x=x2=1 函数y=x2-2x+1的图像是开口向上的抛物线,与x轴仅有一个交点(0), 由图像可得,不等式x2-2x+1>0的解集为{xxl} (3)因为△0 (2)-x2-2x+320 (3)x2-2x+1<0 (4)x2-2x+2<0 解:(1)方程x2-7x+12=0的解为x=3,x2=4.根据y=x2-7x+12的图象,可得原不
评述：本题主要熟悉最简单一元二次不等式的解法，一定要保证步骤正确，计算准确． 例 2 解不等式 2 − + − x x2 3 0． 解：整理，得 2 x x − + 2 3 0 .[来源:数理化网] 因为 0 ，方程 2 x x − + = 2 3 0 无实数解， 所以不等式 2 x x − + 2 3 0 的解集是 . 从而，原不等式的解集是 . 评述：将 2 − + − x x2 3 0 转化为 2 x x − + 2 3 0 的过程注意符号的变化，这是解题关键之 处，讲课要放慢速度． 变式训练：.解下列不等式： （1） 2 − 3x − 2 −2x ；（2） 2 x x − + 2 1 0 ；（3） 2 x x − + 2 2 0 ． 解：（1）原不等式可化为 2 3 2 0 2 x − x − ， 因为 , 2 2 1 0 , 2 3 2 0 1 2 2 方程 x − x − = 的解是 x = − x = . 所以函数 2 y x x = − − 3 3 2 的图像是开口向上的抛物线，与 x 轴有两个交点 ( ) 1 ,0 , 2,0 2 − ， [来源:www.sh u lih ua.net] 由图像可得，原不等式的解集是 − , 2 2 1 x x 或 x . （2）方程 2 x x − + = 2 1 0 有两个相同的解 x x 1 2 = =1． 函数 2 y x x = − + 2 1 的图像是开口向上的抛物线，与 x 轴仅有一个交点 (1,0) ， 由图像可得，不等式 2 x x − + 2 1 0 的解集为 x x 1． （3）因为 0 ，所以方程 2 x x − + = 2 2 0 无实数解， 函数 2 y x x = − + 2 2 的图像是开口向上的抛物线，与 x 轴无交点， 由图像可得，不等式的解集 ． (七).课堂练习 解下列不等式： (1) 2 x x − + 7 12 0 ； (2) 2 − − + x x2 3 0 ； (3) 2 x x − + 2 1 0 ； (4) 2 x x − + 2 2 0． 解：(1)方程 2 x x − + = 7 12 0 的解为 x x 1 2 = = 3, 4 ．根据 2 y x x = − + 7 12 的图象，可得原不
等式x2-7x+12>0的解集是{x|x4 (2)不等式两边同乘以-1,原不等式可化为x2+2x-3≤0 方程x2+2x-3=0的解为x1=-3,x2=1 根据y=x2+2x-3的图象,可得原不等式-x2-2x+3≥0的解集是{x|-3≤x≤l} (3)方程x2-2x+1=0有两个相同的解x1=x2=1 根据y=x2-2x+1的图象,可得原不等式x2-2x+10(或0) ②计算判别式△,分析不等式的解的情况: ∫若A>0,则xx 1.△>0时,求根x0,则x≠x的一切实数 △=0时,求根,{若A0,则x∈R: 若A≤0,则x∈ ③写出解集 【作业布置】 课本第80页习题3.2[A]组第1题 【板书设计】
等式 2 x x − + 7 12 0 的解集是 { | 3 4} x x x 或 ． (2)不等式两边同乘以 −1 ，原不等式可化为 2 x x + − 2 3 0． 方程 2 x x + − = 2 3 0 的解为 x x 1 2 = − = 3, 1． 根据 2 y x x = + − 2 3 的图象，可得原不等式 2 − − + x x2 3 0 的解集是 { | 3 1} x x − ． (3)方程 2 x x − + = 2 1 0 有两个相同的解 x x 1 2 = =1． 根据 2 y x x = − + 2 1 的图象，可得原不等式 2 x x − + 2 1 0 的解集为 ． (4)因为 0 ，所以方程 2 x x − + = 2 2 0 无实数解，根据 2 y x x = − + 2 2 的图象，可得原不 等式 2 x x − + 2 2 0 的解集为 ． 4．课时小结 解一元二次不等式的步骤： ①将二次项系数化为“ + ”： 2 A ax bx c = + + 0 (或 0 ) ( 0) a ． ②计算判别式 ，分析不等式的解的情况： ⅰ． 0 时，求根 1 2 x x ， 1 2 1 2 0 ; 0 . A x x x A x x x 若 ，则 或 若 ，则 ⅱ． = 0 时，求根， 0 0 0 0 0 . A x x A x A x x = 若 ，则 的一切实数； 若 ，则 ； 若 ，则 ⅲ． 0 时，方程无解， 0 0 . A x A x 若 ，则 R； 若 ，则 ③写出解集． 【作业布置】 课本第 80 页习题 3 .2[A]组第 1 题 【板书设计】
元二次不等式的定义 元二次不等式的解的各种范例讲解 情况列表 探究一元二次不等式 x2-5x39.5 移项整理得:x2+9x-7110>0 显然△>0,方程x2+9x-7110=0有两个实数根 即x1≈-88.94,x,≈79.94 所以不等式的解集为{x|x7994} 在这个实际问题中,x>0,所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94km/h 评述:注意体会三个“二次”之间的关系 变式训练 例4一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条流水线生产的摩托车数 量ⅹ(辆)与创造的价值y(元)之间有如下的关系
一元二次不等式的定义 探 究 一 元 二 次 不 等 式 2 x x − 5 0 的解集 一元二次不等式的解的各种 情况列表 范例讲解 例 1 练习 例 2 课堂练习 【教学后记】 3.2 一元二次不等式及其解法（2） 【教学过程】 2．范例讲解 例 3 某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离 s m 和汽车的速度 x km/h 有如下的关 系： 1 1 2 20 180 s x x = + ．在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于 39.5m，那么这辆汽 车刹车前的速度是多少？（精确到 0.01km/h） 解：设这辆汽车刹车前的速度至少为 x km/h，根据题意，我们得到 1 1 2 39.5 20 180 x x + 移项整理得： 2 x x + − 9 7110 0 显然 △ 0 ，方程 2 x x + − = 9 7110 0 有两个实数根， 即 1 2 x x − 88.94, 79.94． 所以不等式的解集为 x x x | 88.94, 79.94 − 或 ． 在这个实际问题中， x 0 ，所以这辆汽车刹车前的车速至少为 79.94km/h. 评述：注意体会三个“二次”之间的关系． 变式训练 例 4 一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数 量 x（辆）与创造的价值 y（元）之间有如下的关系：
y=-2x2+220x 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上,那么它在一个星期内 约应该生产多少辆摩托车? 解:设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车,根据题意,我们得到 2x2+220x>6000 移项整理,得 x2-110x+30000,所以方程x2-110x+3000=0有两个实0 y=x2-110x+300 数根x1=50,x2=60 由二次函数的图象,得不等式的解为:500(a∈R) 思路分析:首先考虑是否可以因式分解,分解之后可知作为方程的根是a,a2需要对两根进行 比较大小所以要进行讨论 解:将不等式x2-(a+a2)x+a3>0变形为(x-a)(x-a2)>0 当aa2} 当0a2,解集为{x|xa} 当a>1时,有aa2}; 当a=0时,解集为{x|x≠0} 当a=1时,解集为{x|x≠1} 变式训练若0asx<a B. xla<x<aj
2 y x x = − + 2 220 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收 6000 元以上，那么它在一个星期内 大约应该生产多少辆摩托车？ 解：设在一个星期内大约应该生产 x 辆摩托车，根据题意，我们得到 2 − + 2 220 6000 x x 移项整理，得 2 x x − + 110 3000 0 [来源: w w w.s hul ihu a.n et] 因为 △ = 100 0 ，所以方程 2 x x − + = 110 3000 0 有两个实 数根 1 2 x x = = 50, 60．[来源: w w w.s hul ihu a.n et] 由二次函数的图象，得不等式的解为： 50 60 x ． 因为 x 只能取正整数，所以，当这条摩托车整车装配流水 线在一周内生产的摩托车数量在 51-59 辆之间时，这家工厂能 够获得 6000 元以上的收益．[ 来源:数理化网] 评述：教师板书图象的绘制过程，以起到示范作用． 例 4：解关于 x 的不等式：x 2 -（a+a2）x+a3＞0（a∈R）. 思路分析：首先考虑是否可以因式分解,分解之后可知作为方程的根是 a,a2 ,需要对两根进行 比较大小,所以要进行讨论. 解：将不等式 x 2 -（a+a2）x+a3＞0 变形为（x-a）（x-a 2）＞0. 当 a＜0 时，有 a＜a 2，解集为｛x｜x＜a 或 x＞a 2｝； 当 0＜a＜1 时，有 a＞a 2，解集为｛x｜x＜a 2 或 x＞a｝； 当 a＞1 时，有 a＜a 2，解集为｛x｜x＜a 或 x＞a 2｝； 当 a=0 时，解集为｛x｜x≠0｝； 当 a=1 时，解集为｛x｜x≠1｝. 变式训练若 0 a 1 ，则不等式 ( ) 0 2 2 3 x − a + a x + a 的解集是 （ ） A．{x | x a 或 } 2 x a B．{ | } 2 x a x a
C.ixla'alEx0的解集为R,求m的取值范围 解:y=(m-2)x2+2(m-2)x+4为二次函数,∴m≠2 次函数的值恒大于零,即(m-2)x2+2(m-2)x+4>0的解集为R 2>0 △2 m>2 0的解集是{x-0的解集是{x0的解集为{x|20的解集 解:由题意{2×3=,即{c=6a,代入不等式ex2-bx+a>0得: a<0 a<0
C．{ | } 2 x a x a D． 2 {x | x a 或 x a} Ｃ 解析：令 2 2 3 x a a x a − + + = ( ) 0 ，即 2 ( )( ) 0 x a x a − − = ，得 x a = 或 2 a .因为 0 1 a ， 所以 2 a a ，故不等式 ( ) 0 2 2 3 x − a + a x + a 的解集是 { | } 2 x a x a . 已知一元二次不等式 2 ( 2) 2( 2) 4 0 m x m x − + − + 的解集为 R ，求 m 的取值范围． 解： 2 y m x m x = − + − + ( 2) 2( 2) 4 为二次函数， m 2 二次函数的值恒大于零，即 2 ( 2) 2( 2) 4 0 m x m x − + − + 的解集为 R ． 2 0 0 m − ， 即 2 2 4( 2) 16( 2) 0 m m m − − − ，解得： 2 2 6 m m m 的取值范围为 { | 2 6} m m 例 5．若函数 2 y x kx k = + + 2 中自变量 x 的取值范围是一切实数，求 k 的取值范围 解： 2 y x kx k = + + 2 中自变量 x 的取值范围是 R ， 2 x kx k + + 2 0 恒成立． 2 = − 4 4 0 k k 0 1 k 故 k 的取值范围是 { | 0 1} k k ． (七).课堂练习 不等式 ax2+bx+2＞0 的解集是{x|- 2 1 ＜x＜ 3 1 },则 a-b 等于（ ） A.-4 B.14 C.-10 D.10 思路解析：已知不等式的解集求系数，可转化为相应方程对应根的问题，运用根与系数的 关系求解. 由 ax2+bx+2＞0 的解集是{x|- 2 1 ＜x＜ 3 1 }知- 2 1 ， 3 1 是方程 ax2+bx+2=0 的两根，且 a＜0，由 韦达定理，得 = − − = − + , 3 1 2 2 1 , 3 1 2 1 a a b ∴ = − = − 2. 12, b a ∴a-b=-10. 答案：C 已知不等式 2 ax bx c + + 0 的解集为 { | 2 3} x x 求不等式 2 cx bx a − + 0 的解集． 解：由题意 2 3 2 3 0 b a c a a + = − = ， 即 5 6 0 b a c a a = − = ．代入不等式 2 cx bx a − + 0 得：
6ax2+5ax+a=0(a18时,花费440 ∴118 200x-20x2,1≤x≤18 160x x>18, y>0,1≤x10(x∈N) 故若买少于10台,去乙商场花费较少;若买10台,去甲、乙商场花费一样:若买超过 10台,去甲商场花费较少 4.课时小结 进一步熟练掌握一元二次不等式的解法 元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系 【板书设计】
2 6 5 0( 0) ax ax a a + + = ．即 2 6 5 1 0 x x + + ， 所求不等式的解集为 1 1 { | } 3 2 x x − − ． 变式训练 有一批影碟机（VCD）原销售价为每台 800 元，在甲、乙两家家电商场 均有销售.甲商场用如下的方法促销：买一台单价为 780 元，买两台每台单价都为 760 元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少 20 元，但每台最低不能低于 440 元；乙商场一律都按原价的 75%销售.某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购 买花费较少？ 思路分析：根据题意，首先要找出两个商场的花费与购买量的函数关系式，然后建立差价与 台数的函数，通过解不等式来确定大小. 解：设某单位需购买 x 台影碟机，甲、乙两商场的购货款的差价为 y， 则当 800-20x≥440，即 1≤x≤18 时，去甲商场共花费（800-2x）x,当 x＞18 时，花费 440x. ∴1≤x≤18. 去乙商场购买共花费 600x,x∈N* , ∴y= 18 1 18. 440 600 , (800 20 ) 160 , − − − x x x x x x x = 18, 1 18 160 , 200 20 , 2 − − x x x x x 得 10( ). 10, 1 10( ) 0, 0, 0, * * x x N x x x N y y y = = 故若买少于 10 台，去乙商场花费较少；若买10 台，去甲、乙商场花费一样；若买超过 10 台，去甲商场花费较少. 4．课时小结 进一步熟练掌握一元二次不等式的解法； 一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系． 【板书设计】
元二次不等式的解法步范例讲解 补充例题 例3 练习 东习 元二次方程、一元二次不 等式与二次函数的关系 例4 【作业布置】 课本习题3.2[A]组第4,6题 【教学后记】
一元二次不等式的解法步 骤 一元二次方程、一元二次不 等式与二次函数的关系 范例讲解 例 3 练习 例 4 练习 补充例题 例 5 练习 【作业布置】 课本习题 3.2[A]组第 4，6 题 【教学后记】 全 品中考网 最新精品资料