不等式与不等关系 【教学目标】 1.知识与技能:通过具体情景,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,理 解不等式(组)的实际背景,掌握不等式的基本性质; 2.过程与方法:通过解决具体问题,学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的 方法 3.情态与价值:通过解决具体问题,体会数学在生活中的重要作用,培养严谨的思维习惯 【教学重点】 用不等式(组)表示实际问题的不等关系,并用不等式(组)研究含有不等关系的问题。理 解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值。 【教学难点】 用不等式(组)正确表示出不等关系。 【教学过程】 L.课题导入 在现实世界和日常生活中,既有相等关系,又存在着大量的不等关系。如两点之间线段最短, 三角形两边之和大于第三边,等等。人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与 小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中,我们用不 等式来表示不等关系。 下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系 讲授新课 1)用不等式表示不等关系 引例1:限速40km/h的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度v不超过40km/h 写成不等式就是: v<40 引例2:某品牌酸奶的质量检査规定,酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%,蛋白质的含量p 应不少于2.3%,写成不等式组就是一一用不等式组来表示 ∫≤2.5% p≥2.3% 问题1:设点A与平面a的距离为d,B为平面a上的任意一点,则dAB|。 问题2:某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本。据市场调查,若单价每提 高0.1元,销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元,怎样用不等 式表示销售的总收入仍不低于20万元呢? 解:设杂志社的定价为x元,则销售的总收入为(8 x-2.5 01×0.2)x万元,那么不等关系 “销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式 x-2 (8 0.1 ×0.2)x≥20 问题3:某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500m和600mm两种。按照生产的要求, 600mn的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢?
不等式与不等关系 【教学目标】 1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理 解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质； 2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的 方法； 3．情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。 【教学重点】 用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。理 解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。 【教学难点】 用不等式（组）正确表示出不等关系。 【教学过程】 1.课题导入 在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。如两点之间线段最短， 三角形两边之和大于第三边，等等。人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与 小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中，我们用不 等式来表示不等关系。 下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。 2.讲授新课 1）用不等式表示不等关系 引例1：限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40km/h， 写成不等式就是： v 40 引例 2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于 2.5%，蛋白质的含量 p 应不少于 2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示 2.5% 2.3% f p 问题 1：设点 A 与平面 的距离为 d,B 为平面 上的任意一点，则 d AB | |。 问题 2：某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售，可以售出 8 万本。据市场调查，若单价每提 高 0.1 元，销售量就可能相应减少 2000 本。若把提价后杂志的定价设为 x 元，怎样用不等 式表示销售的总收入仍不低于 20 万元呢？ 解：设杂志社的定价为 x 元，则销售的总收入为 2.5 (8 0.2) 0.1 x x − − 万元，那么不等关系 “销售的总收入仍不低于 20 万元”可以表示为不等式 2.5 (8 0.2) 20 0.1 x x − − 问题 3：某钢铁厂要把长度为 4000mm 的钢管截成 500mm 和 600mm 两种。按照生产的要求， 600mm 的数量不能超过 500mm 钢管的 3 倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？
解:假设截得500m的钢管ⅹ根,截得600m的钢管y根。根据题意,应有如下的不等关 系 (1)截得两种钢管的总长度不超过4000m (2)截得600mm钢管的数量不能超过500m钢管数量的3倍; (3)截得两种钢管的数量都不能为负 要同时满足上述的三个不等关系,可以用下面的不等式组来表示: 500x+600y≤4000 x≥0. y≥0 3.随堂练习 1、试举几个现实生活中与不等式有关的例子 2、课本P74的练习1、2 4.课小结 用不等式(组)表示实际问题的不等关系,并用不等式(组)研究含有不等关系的问题。 5.作业 课本P75习题3.1[A组]第4、5题 (第2课时) 课题:§31不等式与不等关系 【教学目标】 1.知识与技能:掌握不等式的基本性质,会用不等式的性质证明简单的不等式; 2.过程与方法:通过解决具体问题,学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的 方法; 3.情态与价值:通过讲练结合,培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力 【教学重点】 掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式; 【教学难点】 利用不等式的性质证明简单的不等式 【教学过程】 1.课题寻入 在初中,我们已经学习过不等式的一些基本性质 请同学们回忆初中不等式的的基本性质 (1)不等式的两边同时加上或减去同一个数,不等号的方向不改变; 即若a>b→a±c>b±c (2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数,不等号的方向不改变 即若a>b,c>0→ac>bc (3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数,不等号的方向改变 即若a>b,c<0→ac<bc
解：假设截得 500 mm 的钢管 x 根，截得 600mm 的钢管 y 根。根据题意，应有如下的不等关 系： （1）截得两种钢管的总长度不超过 4000mm ; （2）截得 600mm 钢管的数量不能超过 500mm 钢管数量的 3 倍； （3）截得两种钢管的数量都不能为负。 要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示： 500 600 4000; 3 ; 0; 0. x y x y x y + 3.随堂练习 1、试举几个现实生活中与不等式有关的例子。 2、课本 P74 的练习 1、2 4.课时小结 用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。 5.作业 课本 P75 习题 3.1[A 组]第 4、5 题 (第 2 课时) 课题: §3.1 不等式与不等关系 【教学目标】 1．知识与技能：掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式； 2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的 方法； 3．情态与价值：通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力. 【教学重点】 掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式； 【教学难点】 利用不等式的性质证明简单的不等式。 【教学过程】 1.课题导入 在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。 请同学们回忆初中不等式的的基本性质。 （1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变； 即若 a b a c b c （2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变； 即若 a b c ac bc , 0 （3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。 即若 a b c ac bc , 0
2.讲授新课 1、不等式的基本性质 师:同学们能证明以上的不等式的基本性质吗? 证 1)∵(a+c)-(b+c) a-b>0, ∴a+c>b+c 2)∵(a+c)-(b+c)=a-b>0, ∴a+C>b+C 实际上,我们还有a>bb>C→a>c,(证明:∵a>b,b>c, ∴a-b>0,b-c>0. 根据两个正数的和仍是正数,得 (a-b)+(b-c)>0, 于是,我们就得到了不等式的基本性质 (1)a>b,b>c→a>c (2)a>b→a+c>b+c (3)a>b,c>0→aC>bc (4)a>b,cb,c>d→a+c>b+d; (2) a>b>0c>d>0=ac >bd: (3)a>b>0,n∈N,n>1→a">b";a>b。 1)∵a>b
2.讲授新课 1、不等式的基本性质： 师：同学们能证明以上的不等式的基本性质吗？ 证明： 1）∵(a＋c)－(b＋c) ＝a－b＞0， ∴a＋c＞b＋c 2） ( ) ( ) 0 a c b c a b + − + = − ， ∴ a c b c + + ． 实际上，我们还有 a b b c a c , ，（证明：∵a＞b，b＞c， ∴a－b＞0，b－c＞0． 根据两个正数的和仍是正数，得 (a－b)＋(b－c)＞0， 即 a－c＞0， ∴a＞c． 于是，我们就得到了不等式的基本性质： （1） a b b c a c , （2） a b a c b c + + （3） a b c ac bc , 0 （4） a b c ac bc , 0 2、探索研究 思考，利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质： （1） a b c d a c b d + + , ； （2） a b c d ac bd 0, 0 ； （3） 0, , 1 ; n n n n a b n N n a b a b 。 证明： 1）∵a＞b
+c>b+ b+c>b+ 由①、②得a+c>b+d. b,c>0 bc c>db>0→bc>bdf ac 3)反证法)假设√a≤vb, 则:若 b矛盾, b→a=b [范例讲解]: 例1、已知a>b>0.cb>0,所以ab>0,1>0 于是 ax >bx 由c 3.随堂习1 1、课本P74的练习3 2、在以下各题的横线处适当的不等号: (1)(√3+√2) √6 (2)( (√6-1)2; (3) 6-√5 (4)当a>b>0时,log1a log b 答案:(1)<(2)<(3)<(4)< 补充例题] 例2、比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小
∴a＋c＞b＋ c． ① ∵c＞d， ∴b＋c＞b＋ d． ② 由①、②得 a＋c＞b＋d． 2） ac bd c d b bc bd a b c ac bc , 0 , 0 3）反证法）假设 n n a b ， 则：若 n n n n a b a b a b a b = = 这都与 a b 矛盾， ∴ n n a b ． [范例讲解]： 例 1、已知 a b c 0, 0, 求证 c c a b 。 证明：以为 a b 0 ，所以 ab>0, 1 0 ab 。 于是 1 1 a b ab ab ，即 1 1 b a 由 c<0 ，得 c c a b 3.随堂练习 1 1、课本 P74 的练习 3 2、在以下各题的横线处适当的不等号： (1)（ 3 ＋ 2 ）2 ６＋2 6 ； （2）（ 3 － 2 ）2 （ 6 －1）2 ； （3） 5 2 1 − 6 5 1 − ； (4)当 a＞b＞0 时，log 2 1 a log 2 1 b 答案：(1)＜ （2）＜ （3）＜ （4）＜ [补充例题] 例 2、比较(a＋3)（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小
分析:此题属于两代数式比较大小,实际上是比较它们的值的大小,可以作差,然后展开, 合并同类项之后,判断差值正负(注意是指差的符号,至于差的值究竟是多少,在这里无关 紧要)。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个实数大小的问题转化 为实数运算符号问题。 解:由题意可知 (a+3)(a-5)-(a+2)(a-4) (a2-2a-15)-(a2-2a-8) ∴(a+3)(a-5)<(a+2)(a-4) 随堂习2 、比较大小: (1)(x+5)(x+7)与(x+6)2 (2)x2+5x+6与2x2+5x+9 4.课时小结 本节课学习了不等式的性质,并用不等式的性质证明了一些简单的不等式,还研究了如何比 较两个实数(代数式)的大小一一作差法,其具体解题步骤可归纳为: 第一步:作差并化简,其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式; 第二步:判断差值与零的大小关系,必要时须进行讨论 第三步:得出结论 5.作业 课本P75习题3.I[A组第2、3题:[B组]第1题
分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开， 合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关 紧要)。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个实数大小的问题转化 为实数运算符号问题。 解：由题意可知： （a＋3）（a－５）－（a＋2）（a－4） ＝（a 2－2a－1５）－（a 2－2a－８） ＝－７＜0 ∴（a＋3）（a－５）＜（a＋2）（a－4） 随堂练习 2 1、 比较大小： （1）（x＋５）（x＋７）与（x＋６）2 （2） 2 2 x x x x + + + + 5 6 2 5 9 与 4.课时小结 本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式，还研究了如何比 较两个实数（代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为： 第一步：作差并化简，其目标应是 n 个因式之积或完全平方式或常数的形式； 第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论； 第三步：得出结论 5. 作业 课本 P75 习题 3.1[A 组]第 2、3 题；[B 组]第 1 题