元二次不等式及其解法(复习课) 【常考题型】 题型一、简单的分式不等式 【例1】解下列不等式 x+2 +2 [解](1)由—0, 原不等式的解集为{xx<-2或x1} x+1 (2)法一:移项得 2 左边通分并化简有 0,即—≥0 (x-2)(x-5)≥0, 它的同解不等式为 x<2或x≥5 原不等式的解集为{xx<2或x≥5} 法二:原不等式可化为—≥0 5≥0 此不等式等价于 x-2<0, 解①得x≥5,解②得x<2, 原不等式的解集为{xx<2或x≥5} 【类题通法】
一元二次不等式及其解法(复习课) 【常考题型】 题型一、简单的分式不等式 【例 1】 解下列不等式 (1) x＋2 1－x 0， 此不等式等价于(x＋2)(x－1)>0， ∴原不等式的解集为{x|x1}． (2)法一：移项得 x＋1 x－2 －2≤0， 左边通分并化简有 －x＋5 x－2 ≤0，即 x－5 x－2 ≥0， 它的同解不等式为 (x－2)(x－5)≥0， x－2≠0， ∴x0 ① 或 x－5≤0， x－2<0， ② 解①得 x≥5，解②得 x<2， ∴原不等式的解集为{x|x<2 或 x≥5}． 【类题通法】
1.对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解 但要注意分母不为零 2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化 为不等号右边为零,然后再用上述方法求解 【对点训练】 1.解下列不等式: (1≥0:(23-431 (x+2)(3-x)≥0 解:(1)原不等式等价于 (x+2)(x-3)≤0 →-2≤x0,即 等价于(3x-2)(4x-3)0
1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解， 但要注意分母不为零． 2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化 为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 【对点训练】 1．解下列不等式： (1) x＋2 3－x ≥0； (2) 2x－1 3－4x >1. 解：(1)原不等式等价于 (x＋2)(3－x)≥0， 3－x≠0， 即 (x＋2)(x－3)≤0， x≠3 ⇒－2≤x0，即 3x－2 4x－3 <0. 等价于(3x－2)(4x－3)<0. ∴ 2 3 <x< 3 4 . ∴原不等式的解集为{x| 2 3 <x< 3 4 }. 题型二、不等式中的恒成立问题 【例 2】 关于 x 的不等式(1＋m)x 2＋mx＋m＜x 2＋1 对 x∈R 恒成立，求实数 m 的取值范 围． [解] 原不等式等价于 mx2＋mx＋m－1＜0，对 x∈R 恒成立， 当 m＝0 时，0·x 2＋0·x－1＜0 对 x∈R 恒成立． 当 m≠0 时，由题意，得 m＜0， Δ＝m2－4m(m－1)＜0 ⇔ m＜0， 3m2－4m＞0
m 综上,m的取值范围为m≤0 【类题通法】 不等式对任意实数x恒成立就是不等式的解集为R对于一元二次不等式ax2+bx+c>0, 它的解集为R的条件为 =b2-4ac0的解集为的条件为 ≤0. 【对点训练】 2.若关于x的不等式ax2+2x+2>0在R上恒成立,求实数a的取值范围. 解:当a=0时,原不等式可化为2x+2>0,其解集不为R,故a=0不满足题意,舍去 当a≠0时,要使原不等式的解集为R,只需 0 4=22-4×2a2 综上,所求实数a的取值范围为(,+∝ 题型三、一元二次不等式的实际应用 【例3】某农贸公司按每担200元收购某农产品,并按每100元纳税10元(又称征税率 为10个百分点),计划可收购a万担,政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品,决定将征税 率降低x(x≠0)个百分点,预测收购量可增加2x个百分点 (1)写出税收y(万元)与x的函数关系式; (2)要使此项税收在税率调节后,不少于原计划税收的83.2%,试确定x的取值范围 [解](1)降低税率后的税率为(10-x)%,农产品的收购量为a(1+2x%万担,收购总金额为
⇔ m＜0， m＜0，或m＞ 4 3 ⇔m＜0. 综上，m 的取值范围为 m≤0. 【类题通法】 不等式对任意实数 x 恒成立，就是不等式的解集为 R，对于一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0， 它的解集为 R 的条件为 a＞0， Δ＝b 2－4ac＜0； 一元二次不等式 ax2＋bx＋c≥0，它的解集为 R 的条件为 a＞0， Δ＝b 2－4ac≤0； 一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解集为∅的条件为 a＜0， Δ≤0. 【对点训练】 2．若关于 x 的不等式 ax2＋2x＋2＞0 在 R 上恒成立，求实数 a 的取值范围． 解：当 a＝0 时，原不等式可化为 2x＋2＞0，其解集不为 R，故 a＝0 不满足题意，舍去； 当 a≠0 时，要使原不等式的解集为 R，只需 a＞0， Δ＝2 2－4×2a＜0， 解得 a＞ 1 2 . 综上，所求实数 a 的取值范围为 1 2 ，＋∞ . 题型三、一元二次不等式的实际应用 【例 3】 某农贸公司按每担 200 元收购某农产品，并按每 100 元纳税 10 元(又称征税率 为 10 个百分点)，计划可收购 a 万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税 率降低 x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加 2x 个百分点． (1)写出税收 y(万元)与 x 的函数关系式； (2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的 83.2%，试确定 x 的取值范围． [解] (1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为 a(1＋2x%)万担，收购总金额为
200a(1+2x% 依题意得,y=200a(1+2x%(10-x)% =(100+2x)(10-x)0<x<10) (2)原计划税收为200a10%=20a(万元) 依题意得,5041001020a0×832%, 化简得x2+40x-84≤0, -42≤x≤2 又∵0<x<10, 0<x≤2 x的取值范围是{x0<x≤2} 【类题通法】 用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤是: (1)理解题意,搞清量与量之间的关系; (2)建立相应的不等关系,把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题 (3)解这个一元二次不等式,得到实际问题的解 【对点训练】 3.某校园内有一块长为800m,宽为600m的长方形地面,现要对该地面进行绿化,规划 四周种花卉(花卉带的宽度相同),中间种草坪,若要求草坪的面积不小于总面积的一半,求花 卉带宽度的范围 解:设花卉带的宽度为xm,则中间草坪的长为(800-2x)m,宽为(600-2x)m.根据题意 可得(800-2x)(600-2x)≥×800×600,整理得x2-700+600×10≥0,即(x-600(x- 100)≥0,所以0<x≤100或x≥600,x≥600不符合题意,舍去 故所求花卉带宽度的范围为(0,100]m 【练习反馈】
200a(1＋2x%)． 依题意得，y＝200a(1＋2x%)(10－x)% ＝ 1 50a(100＋2x)(10－x)(0＜x＜10)． (2)原计划税收为 200a·10%＝20a(万元)． 依题意得， 1 50a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%， 化简得 x 2＋40x－84≤0， ∴－42≤x≤2. 又∵0＜x＜10， ∴0＜x≤2. ∴x 的取值范围是{x|0＜x≤2}． 【类题通法】 用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤是： (1)理解题意，搞清量与量之间的关系； (2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题； (3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解． 【对点训练】 3．某校园内有一块长为 800 m，宽为 600 m 的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划 四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花 卉带宽度的范围． 解：设花卉带的宽度为 x m，则中间草坪的长为(800－2x) m，宽为(600－2x) m．根据题意 可得(800－2x)(600－2x)≥ 1 2 ×800×600，整理得 x 2－700x＋600×100≥0，即(x－600)(x－ 100)≥0，所以 0＜x≤100 或 x≥600，x≥600 不符合题意，舍去． 故所求花卉带宽度的范围为(0,100] m. 【练习反馈】
1.若集合A={x-1≤2x+1≤3},B={x2≤0),则A∩B=() A.{x-1≤x4 解析:选A依题意应有』=a2-16≤0, 解得-4≤a≤4,故选A. 3.不等式≤3的解集为 x 解析 ≤3 3≤04≥0分x(2x-1)≥0且x≠0+x0 对任意x∈R恒成立 =(-2a)2+4a600, 即x2-50x+600<0,解得20<x<30 所以,当矩形一边的长在(0,30)的范围内取值时,能围成一个面积大于600m2的矩形
1．若集合 A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝{x| x－2 x ≤0}，则 A∩B＝( ) A．{x|－1≤x＜0} B．{x|0＜x≤1} C．{x|0≤x≤2} D．{x|0≤x≤1} 解析：选 B ∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤2}， ∴A∩B＝{x|0＜x≤1}． 2．已知不等式 x 2＋ax＋4＜0 的解集为空集，则 a 的取值范围是( ) A．－4≤a≤4 B．－4＜a＜4 C．a≤－4 或 a≥4 D．a＜－4 或 a＞4 解析：选 A 依题意应有 Δ＝a 2－16≤0， 解得－4≤a≤4，故选 A. 3．不等式x＋1 x ≤3 的解集为________． 解析： x＋1 x ≤3⇔ x＋1 x －3≤0⇔ 2x－1 x ≥0⇔x(2x－1)≥0 且 x≠0⇔x<0 或 x≥ 1 2 . 答案： x|x＜0或x≥ 1 2 4．若函数 f(x)＝log2(x 2－2ax－a)的定义域为 R，则 a 的取值范围为________． 解析：已知函数定义域为 R，即 x 2－2ax－a＞0 对任意 x∈R 恒成立． ∴Δ＝(－2a) 2＋4a＜0. 解得－1＜a＜0. 答案：(－1,0) 5．你能用一根长为 100 m 的绳子围成一个面积大于 600 m2 的矩形吗？ 解：设围成的矩形一边的长为 x m，则另一边的长为(50－x) m，且 0＜x＜50. 由题意，得围成矩形的面积 S＝x(50－x)＞600， 即 x 2－50x＋600＜0，解得 20＜x＜30. 所以，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能围成一个面积大于 600 m2 的矩形．