元二次不等式及其解法 第一课时一元二次不等式及其解法 卫本为本抓基 课前自主学习,基稳才能楼高 预习课本P76~78,思考并完成以下问题 (1)怎样判断一个不等式是否为一元二次不等式? (2)如何求解一元二次不等式? (3)三个“二次”指的是哪三个“二次”?它们之间有何关系? 1.一元二次不等式 我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等 式,即形如ax2+bx+c>0≥0)或ax2+bx+c0)的图象 元二次方程ax2+有两相异实根 有两相等实根 没有实数根 bx+c=0(a>0)的根 x2) XI-x2- a2+bx+c>0(a>0) xx<x或xx 的解集
一元二次不等式及其解法 第一课时 一元二次不等式及其解法 (1)怎样判断一个不等式是否为一元二次不等式？ (2)如何求解一元二次不等式？ (3)三个“二次”指的是哪三个“二次”？它们之间有何关系？ [新知初探] 1．一元二次不等式 我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次不等 式，即形如 ax2＋bx＋c＞0(≥0)或 ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中 a≠0)的不等式叫做一元二次不 等式． 2．一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的 x 的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为 这个一元二次不等式的解集． 3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系表 判别式 Δ＝b 2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ0)的图象 一元二次方程 ax2＋ bx＋c＝0(a>0)的根 有两相异实根 x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ b 2a 没有实数根 ax2 ＋ bx ＋ c>0(a>0) 的解集 {x|xx2} x|x≠－ b 2a R 预习课本 P76～78，思考并完成以下问题
十bx xk0,则一元二次不等式ax2+1>0无解 (3若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x,x2(x0的解集为R() 解析:(1)错误。当m=0时,是一元一次不等式;当m≠0时,它是一元二次不等式 (2)错误.因为m>0,所以不等式ax32+1>0恒成立,即原不等式的解集为R (3)错误,当>0时,ax2+bx+c0的解集为R 答案:(1)×(2)×(3)×(4)√ 2.不等式x(2-x)>0的解集为() x>0} B.{xx2或x2x的解集是( A.{xx≥5或x≤-1} B.{xx>5或x2x,得x2-4x-5>0, 因为x2-4x-5=0的两根为-1,5 故x2-4x-5>0的解集为{xx5} 4.不等式-3x2+5x-4>0的解集为 解析:原不等式变形为3x2-5x+4<0 因为』=(-5)2-4×3×4=-23<0, 所以由函数y=3x2-5x+4的图象可知,3x2-5x+4<0的解集为a 答案:a 学用结合·通技法 果堂讲练设计,举一能通类题 匚型」元次不等式解法
Δ＝b 2－4ac ax2＋bx ＋c0) 的解集 {x|x10，则一元二次不等式 ax2＋1>0 无解( ) (3)若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根为 x1，x2(x10 的解集为 R( ) 解析：(1)错误．当 m＝0 时，是一元一次不等式；当 m≠0 时，它是一元二次不等式． (2)错误．因为 a>0，所以不等式 ax2＋1>0 恒成立，即原不等式的解集为 R. (3)错误．当 a>0 时，ax2＋bx＋c0 的解集为 R. 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ 2．不等式 x(2－x)＞0 的解集为( ) A．{x|x＞0} B．{x|x＜2} C．{x|x＞2 或 x＜0} D．{x|0＜x＜2} 解析：选 D 原不等式化为 x(x－2)＜0，故 0＜x＜2. 3．不等式 x 2－2x－5>2x 的解集是( ) A．{x|x≥5 或 x≤－1} B．{x|x>5 或 x2x，得 x 2－4x－5>0， 因为 x 2－4x－5＝0 的两根为－1,5， 故 x 2－4x－5>0 的解集为{x|x5}． 4．不等式－3x 2＋5x－4>0 的解集为________． 解析：原不等式变形为 3x 2－5x＋4<0. 因为 Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0， 所以由函数 y＝3x 2－5x＋4 的图象可知，3x 2－5x＋4<0 的解集为∅. 答案：∅ 一元二次不等式解法
典例]解下列不等式 (1)2x2+5x-30; (4)-x2+6x-10>0 解|(1)=490,方程2+5-3=0的两根为x=-3,x=, 作出函数y=2x2+5x-3的图象,如图①所示, 由图可得原不等式的解集为-3xs (2)原不等式等价于32-6+2≥0=12>0,解方程3x2-6x+2=0,得x 作出画数y=3x2-6x+2的图象,如图②所示,由图可得原不等式的解集为 (3)∵=0,∴方程4x2+4+1=0有两个相等的实根x1=x2=一作出函 数y=4x2+4x+1的图象如图所示 由图可得原不等式的解集为 x∈R (4)原不等式可化为x2-6x+10<0,∵4=-4<0, 方程x2-6x+10=0无实根,∴原不等式的解集为a 通店 解一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式变形,使二次项系数大于零; (2)计算对应方程的判别式; (3)求出相应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程没有实根; (4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集
[典例] 解下列不等式： (1)2x 2＋5x－30； (4)－x 2＋6x－10>0. [解] (1)Δ＝49>0，方程 2x 2＋5x－3＝0 的两根为 x1＝－3，x2＝ 1 2 ， 作出函数 y＝2x 2＋5x－3 的图象，如图①所示． 由图可得原不等式的解集为 x －30，解方程 3x 2－6x＋2＝0，得 x1＝ 3－ 3 3 ， x2＝ 3＋ 3 3 ， 作出函数 y＝3x 2－ 6x＋2 的图象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为 x x≤ 3－ 3 3 或x≥ 3＋ 3 3 . (3)∵Δ＝0，∴方程 4x 2＋4x＋1＝0 有两个相等的实根 x1＝x2＝－ 1 2 .作出函 数 y＝4x 2＋4x＋1 的图象如图所示． 由图可得原不等式的解集为 x x≠－ 1 2 ，x∈R . (4)原不等式可化为 x 2－6x＋10<0，∵Δ＝－4<0， ∴方程 x 2－6x＋10＝0 无实根，∴原不等式的解集为∅. 解一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零； (2)计算对应方程的判别式； (3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； (4)根据函数图象与 x 轴的相关位置写出不等式的解集．
活学活用 已知集合M={x2-3x-28≤0},N={cx2-x-6>0},则M∩N为() A.{x-4≤x3} D.{xk0={x3} ∴MnN={x-4≤x0的解集 解析](1)由巳知得, +kx+2=0的解为-1,1 解得 a+b=-14. 谷案]D 解:因为以+p+0的解集为-20即为6+6+1>0,整理得-x-6<0,解得-2<
[活学活用] 已知集合 M＝{x|x 2－3x－28≤0}，N＝{x|x 2－x－6＞0}，则 M∩N 为( ) A．{x|－4≤x＜－2 或 3＜x≤7} B．{x|－4＜x≤－2 或 3≤x＜7} C．{x|x≤－2 或 x＞3} D．{x|x＜－2 或 x≥3} 解析：选 A ∵M＝{x|x 2－3x－28≤0} ＝{x|－4≤x≤7}， N＝{x|x 2－x－6＞0}＝{x|x＜－2 或 x＞3}， ∴M∩N＝{x|－4≤x＜－2 或 3＜x≤7}. 三个“二次”关系的应用 [典例] (1)若不等式 ax2＋bx＋2>0 的解集是 x － 1 2 <x< 1 3 ，则 a＋b 的值为( ) A．14 B．－10 C．10 D．－14 (2)已知一元二次不等式 x 2＋px＋q＜0 的解集为 x － 1 2 ＜x＜ 1 3 ，求不等式 qx2＋px＋1 ＞0 的解集． [解析] (1)由已知得， ax2＋bx＋2＝0 的解为－1 2 ， 1 3 ，且 a<0. ∴ － b a ＝－ 1 2 ＋ 1 3 ， 2 a ＝ － 1 2 × 1 3 ， 解得 a＝－12， b＝－2， ∴a＋b＝－14. [答案] D (2)解：因为 x 2＋px＋q＜0 的解集为 x － 1 2 ＜x＜ 1 3 ，所以 x1＝－ 1 2 与 x2＝ 1 3 是方程 x 2 ＋px＋q＝0 的两个实数根， 由根与系数的关系得 1 3 － 1 2 ＝－p， 1 3 × － 1 2 ＝q， 解得 p＝ 1 6 ， q＝－ 1 6 . 所以不等式 qx2＋px＋1＞0 即为－1 6 x 2＋ 1 6 x＋1＞0，整理得 x 2－x－6＜0，解得－2＜x ＜3
即不等式qx2+px+1>0的解集为{x-20(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程aR+bx+c =0的根,也是函数y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标. (2)二次函数y=ax2+bx+c的图象在X轴上方的部分,是由不等式ax2+bx+c>0 的x的值构成的;图象在x轴下方的部分,是由不等式ax2+bx+c0的解集为(-2,1),则函数y=fx)的图象为() B 21O2 解析:选B因为不等式的解集为(一21),所以a0的解集为{x120的解集. 2+3= 解:由题意知 2×3= 即c=6a, 代入不等式cx2-bx+a>0, 得6ax2+5ax+a0(a<0 即6x2+5x+1<0,解得-x 所以所求不等式的解集为-x 题型三 解含参数的一元二次不等式
即不等式 qx2＋px＋1＞0 的解集为{x|－2＜x＜3}． (1)一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程 ax2＋bx＋c ＝0 的根，也是函数 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交点的横坐标． (2)二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象在 x 轴上方的部分，是由不等式 ax2＋bx＋c＞0 的 x 的值构成的；图象在 x 轴下方的部分，是由不等式 ax2＋bx＋c＜0 的 x 的值构成的， 三者之间相互依存、相互转化． [活学活用] 1．若不等式 f(x)＝ax2－x－c>0 的解集为(－2,1)，则函数 y＝f(x)的图象为( ) 解析：选 B 因为不等式的解集为(－2,1)，所以 a0 的解集为{x|20 的解集． 解：由题意知 2＋3＝－ b a ， 2×3＝ c a ， a0， 得 6ax2＋5ax＋a>0(a<0)． 即 6x 2＋5x＋1<0，解得－1 2 <x<－ 1 3 ， 所以所求不等式的解集为 x － 1 2 <x<－ 1 3 . 解含参数的一元二次不等式
典例]解关于x的不等式x2+(1-a)x-a-1时,原不等式解集为{-10 解:(1)当a=0时,不等式可化为x-2>0,解得x2,即原不等式的解集为{xx>2} (2)当a≠0时,方程ax2+(1-2x-2=0的两根分别为2和、! ①当∝0时,解不等式得x2,即原不等式的解集 或x>2 多练提能,熟巧1 课后层级训练,步步提升能力 层级一学业水平达标 1.不等式6x2+x-2≤0的解集为() ≤x≤ Bxx≤一或≥ Dxx≤ 解析:选A因为6x2+x-2≤0分(2x-1)(3x+2)≤0,所以原不等式的解集为 设-1,则关于x的不等式小-0的解集为()
[典例] 解关于 x 的不等式 x 2＋(1－a)x－a＜0. [解] 方程 x 2＋(1－a)x－a＝0 的解为 x1＝－1，x2＝a，函数 y＝x 2＋(1－a)x－a 的图象 开口向上，则当 a＜－1 时，原不等式解集为{x|a＜x＜－1}； 当 a＝－1 时，原不等式解集为∅； 当 a＞－1 时，原不等式解集为{x|－1＜x＜a}． 解含参数的一元二次不等式时的注意点 (1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于 0 与小于 0 进行讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式 Δ 进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． [活学活用] 设 a∈R，解关于 x 的不等式 ax2＋(1－2a)x－2>0. 解：(1)当 a＝0 时， 不等式可化为 x－2>0，解得 x>2，即原不等式的解集为{x|x>2}． (2)当 a≠0 时，方程 ax2＋(1－2a)x－2＝0 的两根分别为 2 和－1 a . ①当 a0 时，解不等式得 x2，即原不等式的解集为 x x2 . 层级一 学业水平达标 1．不等式 6x 2＋x－2≤0 的解集为( ) A. x － 2 3 ≤x≤ 1 2 B. x x≤－ 2 3 或x≥ 1 2 C. x x≥ 1 2 D. x x≤－ 2 3 解析：选 A 因为 6x 2＋x－2≤0⇔(2x－1)·(3x＋2)≤0，所以原不等式的解集为 x － 2 3 ≤x≤ 1 2 . 2．设 a<－1，则关于 x 的不等式 a(x－a) x－ 1 a <0 的解集为( )
或 B. xlr>a =或 解析折:选A:-1,:a--)0x-(-D0又 l,>a,∴x 或x-lg 2 D. rkr2 所以)>0的解集为1|00,得x2+6x-70的解集为 .(用区间表示) 解析:先把原不等式可化为x2+3x-4<0,再把左式分解因式得(x-1)(x+4)<0,所以 不等式的解集为(-4,1) 答案:(-4,1) 7.若二次函数y=ax2+bx+c(a<0的图象与x轴的两个交点为(-1,0)和(30),则不等 式ax2+bx+c<0的解集是
A. x x 1 a B．{x|x>a} C. x x>a或x0.又 aa，∴x> 1 a 或 x 1 2 ，则 f(10x )>0 的解集为( ) A．{x|xlg 2} B．{x|－1－lg 2} D．{x|x 1 2 ， 所以 f(x)>0 的解集为 x 00，得 x 2＋6x－70 的解集为________．(用区间表示) 解析：先把原不等式可化为 x 2＋3x－4<0，再把左式分解因式得(x－1)(x＋4)<0，所以 不等式的解集为(－4,1)． 答案：(－4,1) 7．若二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象与 x 轴的两个交点为(－1,0)和(3,0)，则不等 式 ax2＋bx＋c<0 的解集是________．
解析:根据二次函数的图象知所求不等式的解集为(-∞,-1)U(3,+∞) 答案:(-∞,-1)U(3,+∞) x2+2x,x≥0, 8.已知函数(x) x2+2x,x0. 解:将x2-3ax-18n2>0变形得(x-6a)(x+3a)>0, 方程(x-6a)(x+3a)=0的两根为6a,-3a 所以当a>0时,6>-3a,原不等式的解集为{xx0恒成立 (1)当a=0时,不等式为2>0,显然恒成立; ()2当≠0时,有20 所以00,解得a>4或a0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式(a+bx-3)>0 的解集是() A.(-∞,-1)U(3,+∞) B.(-1,3) C.(1,3) )UG3,+∞) 解析:选A由题意,如m>0,且1是ax-b=0的根,所以a=b>0,所以(ax+b)x 3)=ax+1)(x-3)>0,所以x3,因此原不等式的解集为(-∞,-1)U(3,+。 3.已知fx)=(x-a(x-b)+2(a<b),且a,Ba<是方程∫(x)=0的两根,则a,B,a b的大小关系是()
解析：根据二次函数的图象知所求不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞) 8．已知函数 f(x)＝ x 2＋2x，x≥0， －x 2＋2x，x0. 解：将 x 2－3ax－18a 2>0 变形得(x－6a)(x＋3a)>0， 方程(x－6a)(x＋3a)＝0 的两根为 6a，－3a. 所以当 a>0 时，6a>－3a，原不等式的解集为{x|x6a}； 当 a＝0 时，6a＝－3a＝0，原不等式的解集为{x|x≠0}； 当 a－3a}． 10．若函数 f(x)＝ 2 016 ax2＋2ax＋2 的定义域是 R，求实数 a 的取值范围． 解：因为 f(x)的定义域为 R，所以不等式 ax2＋2ax＋2>0 恒成立． (1)当 a＝0 时，不等式为 2>0，显然恒成立； (2)当 a≠0 时，有 a>0， Δ＝4a 2－8a0， 00，解得 a>4 或 a0 的解集是(1，＋∞)，则关于 x 的不等式(ax＋b)(x－3)>0 的解集是( ) A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(－1,3) C．(1,3) D．(－∞，1)∪(3，＋∞) 解析：选 A 由题意，知 a>0，且 1 是 ax－b＝0 的根，所以 a＝b>0，所以(ax＋b)(x－ 3)＝a(x＋1)(x－3)>0，所以 x3，因此原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 3．已知 f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(a<b)，且 α，β(α<β)是方程 f(x)＝0 的两根，则 α，β，a， b 的大小关系是( )
A.aa阝x的解集为 x2-4x>x .x2-4x>y 解析:由x)>x得 解得x>5或-50的解集; (2)若不等式八)+1>0的解集为;,3)求m的值 解:(1)当m=1时,不等式f(x)>0为2x2-x>0, 因此所求解集为(-∞,0)U,+∞ (2)不等式∫x)+1>0,即(m+1px2-mx+m>0, 由题意知,3是方程m+1x2-m+m=0的两根
A．a0， 0，x＝0， －x 2－4x，xx 的解集为________． 解析：由 f(x)>x，得 x 2－4x>x， x>0 或 －x 2－4x>x， x5 或－50 的解集； (2)若不等式 f(x)＋1>0 的解集为 3 2 ，3 ，求 m 的值． 解：(1)当 m＝1 时，不等式 f(x)>0 为 2x 2－x>0， 因此所求解集为(－∞，0)∪ 1 2 ，＋∞ . (2)不等式 f(x)＋1>0，即(m＋1)x 2－mx＋m>0， 由题意知3 2 ，3 是方程(m＋1)x 2－mx＋m＝0 的两根
m+1 因此 n 3= m+1 重点选做题 8.已知M是关于x的不等式22+(3a-7)x+3+a-2a20, 所以∝<-1或 若a<-1,则-2a+3 a中1=3(-a+1)5, 22 a+1 所以3-2a 此时不等式的解集是{/+ 3-2 若 由一2a+3 a+15 (-a+1-元, a+1 所以3-2a 此时不等式的解集是|3-2m 2 综上,当∝<-1时,原不等式的解集为 十 3-2a:当a时,原不等式的解集为 2 第二课时一元二次不等式及其解法(习题课) 经台通技 课堂讲练设计,举一能通类题 解简单的分式不等式 典例]解下列不等式 2x-1 1 (+2)(3-x)≥0, 解](1)原不等式等价
因此 3 2 ＋3＝ m m＋1 ， 3 2 ×3＝ m m＋1 ⇒m＝－ 9 7 . 8．已知 M 是关于 x 的不等式 2x 2＋(3a－7)x＋3＋a－2a 20， 所以 a 3 2 . 若 a5， 所以 3－2a> a＋1 2 ， 此时不等式的解集是 x a＋1 2 3 2 ，由－2a＋3－ a＋1 2 ＝ 5 2 (－a＋1) 3 2 时，原不等式的解集为 3－2a， a＋1 2 . 第二课时 一元二次不等式及其解法(习题课) 解简单的分式不等式 [典例] 解下列不等式： (1) x＋2 3－x ≥0；(2) 2x－1 3－4x >1. [解] (1)原不等式等价于 (x＋2)(3－x)≥0， 3－x≠0