免费下载网址htt: jiaoxue5uysl68com/ 《28二次函数与一元二次方程(1)》教学设计 学生知识状况分析 学生在上学期已经学习过一元二次方程的知识,之前学习了二次函数的图象和代数表达 式的三种表示方法通过从本节课学习二次函数与一元二次方程之间的关系开始,学生将会 对二次函数的“数”和“形”真正开始进行全面、深刻的接触。 、教学任务分析 本课的具体学习任务:体会二次函数与一元二次方程之间的联系:理解二次函数图象与 x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,及何时方程有两个不等的实根,两 个相等的实根和没有实根;通过观察二次函数图象与x轴的交点个数,讨论一元二次方程的 根的情况,进一步培养学生运用数形结合思想解决问题的能力;本节课的教学目标是 知识与技能 1.理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的 关系,及满炉什么条件时方桿有两个不等的实根,有两个相等的实根和没有实根 过程与方法 1.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数,讨论一元二次方程的根的情况,进一步 培养学生的数形结合思想 2.理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c与直线y=h(h是实 数)图象交点的横坐标。 情感态度与价值观 1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会二次函数与方程之间的联系; 2.通过探索二次函数与一元二次方程的关系,使学生体会数学的严谨性以及数学结论 的确定性 教学重点: 理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,及满足什 么条件时方程有两个不等的实根,有两个相等的实根和没有实根 教学难点: 理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c与直线y=h(h是实数) 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 《28 二次函数与一元二次方程（1）》教学设计 一、学生知识状况分析 学生在上学期已经学习过一元二次方程的知识，之前学习了二次函数的图象和代数表达 式的三种表示方法.通过从本节课学习二次函数与一元二次方程之间的关系开始，学生将会 对二次函数的“数”和“形”真正开始进行全面、深刻的接触。 二、教学任务分析 本课的具体学习任务：体会二次函数与一元二次方程之间的联系；理解二次函数图象与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及何时方程有两个不等的实根，两 个相等的实根和没有实根；通过观察二次函数图象与 x 轴的交点个数，讨论一元二次方程的 根的情况，进一步培养学生运用数形结合思想解决问题的能力;本节课的教学目标是： 知识与技能： 过程与方法： 1．通过观察二次函数图象与 x 轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步 培养学生的数形结合思想． 2．理解一元二次方程 ax2+bx+c=h 的根就是二次函数 y=ax2+bx+c 与直线 y=h（h 是实 数）图象交点的横坐标。 情感态度与价值观： 1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会二次函数与方程之间的联系； 2．通过探索二次函数与一元二次方程的关系，使学生体会数学的严谨性以及数学结论 的确定性。 教学重点： 理解二次函数图象与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及满足什 么条件时方程有两个不等的实根，有两个相等的实根和没有实根 教学难点： 理解一元二次方程 ax2+bx+c=h 的根就是二次函数 y=ax2+bx+c 与直线 y=h（h 是实数）
免费下载网址htt: jiaoxue5uysl68com/ 图象交点的横坐标 三、教学过程分析 本节课设计了八个教学环节:课前热身、耐心填一填:用心想一想、马到成功:合作议 议、取长补短:教材题变形、拓展提高:开拓创新、试一试:大胆尝试、练一练;课堂小 结;课内外提高、布置作业。 第一环节课前热身、耐心填一填 活动内容: 1.y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0),y叫做x的 。它的图象是一条抛物线 它的对称轴是直线x 顶点坐标是( 2.二次函数的解析式中的一般式是:y=ax2+bx+c(a≠0)顶点式:y=a(x-h)2+k 交点式:y=a(x-x)(x-x2) 3.抛物线y=x2+2x-4的对称轴是 开口方向是 顶点坐标是 4.抛物线y=2(x-2)(x-3)与x轴的交点为 与y轴的交点为 5.已知抛物线与轴交于A(-1,0)和(1,0),并经过点M(0,1),则此抛物线的解析式为 活动目的 问题的设置从最简单的概念二次函数入手,紧接着从“形”的方面对抛物线图象的最基 本性质:开口方向、对称轴的表达式、顶点坐标公式回顾,再从“数”的方面对二次函数解 析式的三种表达形式回顾 第二环节用心想一想,马到功成 活动内容:1.我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式 h=5t2+vt+hn表示,其中h(m)是抛出时的高度,v(m/s)是抛出时的速度.一个小球从 地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示 那么 (1)图象上每个点的横、纵坐标含义是什么? 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 图象交点的横坐标 三、教学过程分析 本节课设计了八个教学环节：课前热身、耐心填一填；用心想一想、马到成功；合作议 一议、取长补短；教材题变形、拓展提高；开拓创新、试一试；大胆尝试、练一练；课堂小 结；课内外提高、布置作业。 第一环节 课前热身、耐心填一填 活动内容： 1. y=ax2+bx+c (a,b,c 是常数，a≠0)，y 叫做 x 的__________。它的图象是一条抛物线。 它的对称轴是直线 x=_____, 顶点坐标是（ ， ）。 2. 二次函数的解析式中的一般式是: y = ax2 + bx +c (a≠0)顶点式：y = a(x-h)2 + k 交点式：y = a(x -x1)(x-x2) 3. 抛物线 y = x2+2x- 4 的对称轴是_______, 开口方向 是______, 顶点坐标是 ___________. 4. 抛物线 y=2(x-2)(x-3) 与 x 轴的交点为_______________,与 y 轴的交点为 ___________. 5. 已知抛物线与轴交于 A(-1, 0) 和(1, 0) ，并经过点 M(0,1), 则此抛物线的解析式为 _______________ 。 活动目的： 问题的设置从最简单的概念二次函数入手，紧接着从“形”的方面对抛物线图象的最基 本性质：开口方向、对称轴的表达式、顶点坐标公式回顾，再从“数”的方面对二次函数解 析式的三种表达形式回顾。 第二环节 用心想一想，马到功成 活动内容：1．我们已经知道,竖直上抛物体的高度 h(m)与运动时间 t(s)的关系可用公式 h=-5t2+v0 t+h0 表示, 其中 h0(m) 是抛出时的高度, v0(m/s)是抛出时的速度. 一个小球从 地面以 40m/s 的速度竖直向上抛出起,小球的高度 h(m)与运动时间 t (s)的关系如图所示, 那么 (1) 图象上每个点的横、纵坐标含义是什么？
免费下载网址htt: jiaoxue5uysl68com/ (2)h和t的关系式是什么? (3)小球经过多少秒后落地? 你有几种求解方法?与同伴进行交流 2.分别求出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图 象与x轴的交点的坐标,并快速作出草图 思路点拨:与x轴交点就是求当y=0时这个方程的解然:}2:68 后写成点的坐标 (1)观察下列二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象,每个图象与x轴有几个交 (2)一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根 吗? (3)说说二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有 什么关系? 3.归纳整理 a.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况 1、有两个交点 2、有一个交点 3、没有交点b.当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当 =0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com (2) h 和 t 的关系式是什么？ （3）小球经过多少秒后落地? 你有几种求解方法?与同伴进行交流. 2．分别求出二次函数 y=x 2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2 的图 象与 x 轴的交点的坐标,并快速作出草图. 思路点拨: 与 x 轴交点就是求当 y=0 时这个方程的解, 然 后写成点的坐标. （1）观察下列二次函数 y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2 的图象，每个图象与 x 轴有几个交 点？ (2) 一元二次方程 x2+2x=0, x2-2x+1=0 有几个根?验证一下一元二次方程 x2-2x+2=0 有根 吗? (3)说说二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和 x 轴交点的坐标与一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根有 什么关系? 3．归纳整理: a.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和 x 轴交点有三种情况: 1、 有两个交点, 2、 有一个交点, 3、 没有交点.b.当二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和 x 轴有交点时,交点的横坐标就是当 y= 0 时自变量 x 的值, 即一元二次方程 ax2+bx+ c=0 的根. y=x +2x y=x-2x +1 y=x-2x +2
免费下载网址htt: jiaoxueSu. ysl68com/ c.完成下列表格,观察二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程 ax2+bx+c=0的根及一元二次方程的根的判别式有什么关系? 次函数y=ax2+bx+e的图象一元二次方程ax2+bx+c=0的一元二次方程ax2bx+c=0根 和x轴交点 根 的判别式△=b2-4ac 有两个相异的实数根 有两个相等的实数根 b2-dac b2-4ac<0 活动目的: 学生在此认识的基础上,教师再出示第3问,启发学生认识到物体落地表示高度h=0 对应图象上的点纵坐标为零,研究图象与x轴的两个交点,第二个交点的横坐标就是落地时 的时间。 随后的三个问题给出从观察图象开始,再用代数方法求三个方程的根,逐步引导学生体 会二次函数与一元二次方程的对应关系,这个关系虽然是从最简单的情形入手,即图象与x 轴的交点就是一元二次方程根的问题,但只要突破了这一学习难点,学生就会对二次函数 与一元二次方程的对应关系恍然大悟,随后的学习他们就会更加有信心和兴趣了 第三环节教材题变形,拓展延伸 活动内容: 【例】一个足球被从地面向上踢出,它距地面的高度h(m)可以用公式h=-4.9t2+19.6t 来表示.其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间 (1)当t=1时,足球的高度是多少? (2)t为何值时,h最大? (3)经过多长时间球落地? (4)方程-4.9t2+19.6t=0的根的实际意义是什么?你能在图上表示吗? (5)方程14.7=-4.9t2+19.6t的根的实际意义是什么?你能在图上表示吗? 解:(1)t=1时,h=14.7 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com c.完成下列表格，观察二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和 x 轴交点的坐标与一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根及一元二次方程的根的判别式有什么关系? 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象 和 x 轴交点 一元二次方程 ax2+bx+c=0 的 根 一元二次方程 ax2+bx+c=0 根 的判别式Δ=b2-4ac 有两个相异的实数根 b2-4ac > 0 有两个相等的实数根 b2-4ac = 0 b2-4ac ＜0 活动目的： 学生在此认识的基础上，教师再出示第 3 问，启发学生认识到物体落地表示高度 h=0， 对应图象上的点纵坐标为零，研究图象与 x 轴的两个交点，第二个交点的横坐标就是落地时 的时间。 随后的三个问题给出从观察图象开始，再用代数方法求三个方程的根，逐步引导学生体 会二次函数与一元二次方程的对应关系，这个关系虽然是从最简单的情形入手，即图象与 x 轴的交点就是一元二次方程根的问题，但只要突破了这一 学习难点，学生就会对二次函数 与一元二次方程的对应关系恍然大悟，随后的学习他们就会更加有信心和兴趣了。 第三环节 教材题变形，拓展延伸 活动内容： 【例】 一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度 h（m）可以用公式 h=－4.9t2＋19.6t 来表示．其中 t（s）表示足球被踢出后经过的时间． （1）当 t=1 时，足球的高度是多少？ （2）t 为何值时，h 最大？ （3）经过多长时间球落地？ （4）方程－4.9t2＋19.6t =0 的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗? （5）方程 14.7=－4.9t2＋19.6t 的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗? 解：（1）t=1 时，h=14.7
免费下载网址htt: jiaoxueSu. ysl68com/ (2)∵h=-4.9(t-2)2+19.6∴当t=2时,h最大(3)对于h=-4.9t2+19.6t球 落地表示h=0 即 解得t1=0(舍去),t2=4 即足球被踢出后经过4s后球落地 (4)方法一:解方程0=-4.9t2+19.6t得t=0,t=4 根t=0,t=4分别表示足球离开地面和落地的时刻 方法二:直接观察抛物线与直线x轴的交点(0,0),(4,0)即可 图形表示方程的根就是抛物线与x轴的两个交点 (5)方法一:解方程14.7=-4.9t2+19.6t得t=1,t=3 方法二:图象法,过点(0,14.7)作一条与y轴垂直的直线,找到它与抛物线的交点, 再分别过交点作x轴的垂线,找出两个垂足的横坐标即可。 表明球被踢出1秒和3秒时,离地面的高度都是14.7秒 活动目的:再次设计一个与教材例题相似的问题情景,给出一个以问题串的形式引导学 生逐步深入的思考二次函数与一元二次方程的对应关系。前三问用提问的形式给出,经学 生独立思考后答出 第四环节开拓创新,试试 活动内容: 在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的高度是60cm?你是如何知道的? 活动目的:此环节作为一个练习给出,此处留给学生充分的时间,让他们整理自己的 认识,首先在学习小组内互相表达,然后在全班发言,虽然问题和前面的比较一样,但由 学生自己独立思考,教师要作出及时的肯定评价,这一环节目的是巩固学生对前面知识讲解 的理解、消化,并能够清晰、完整的回答出 第五环节放开手脚,做一做 活动内容 例:已知二次函数y=kx2-7x-7的图象与x轴有两个交点,则k的取值范围为什么? 错解:由△=(-7)2-4×k×(-7)=49+28k>0 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com (2)∵h=－4.9(t-2) 2+19.6 ∴当 t=2 时，h 最大（3）对于 h=－4．9t2＋19．6t 球 落地表示 h=0 即－4．9t2＋19．6t=0， 解得 t1=0（舍去），t2=4 ． 即足球被踢出后经过 4s 后球落地. (4)方法一：解方程 0=－4.9t2＋19.6t 得 t=0, t=4 根 t=0，t=4 分别表示足球离开地面和落地的时刻 方法二：直接观察抛物线与直线 x 轴的交点（0，0），（4，0）即可 图形表示方程的根就是抛物线与 x 轴的两个交点 (5)方法一：解方程 14.7=－4.9t2＋19.6t 得 t=1, t=3 方法二：图象法，过点（0，14.7）作一条与 y 轴垂直的直线，找到它与抛物线的交点， 再分别过交点作 x 轴的垂线，找出两个垂足的横坐标即可。 表明球被踢出 1 秒和 3 秒时，离地面的高度都是 14.7 秒 活动目的：再次设计一个与教材例题相似的问题情景，给出一个以问题串的形式引导学 生逐步深入的思考二次函数与一元二次方程的对应关系。前三问 用提问的形式给出，经学 生独立思考后答出。 第四环节 开拓创新，试一试 活动内容： 在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的高度是 60cm?你是如何知道的? 活动目的：此环节作为一个练习给出，此处留给学生充分的时间 ，让他们整理自己的 认识，首 先在学习小组内互相表达，然后在全班发言，虽然问题和前面的比较一样，但由 学生自己独立思考，教师要作出及时的肯定评价，这一环节目的是巩固学生对前面知识讲解 的理解、消化，并能够清晰、完整的回答出。 第五环节 放开手脚，做一做 活动内容： 例: 已知二次函数 y=kx2－7x－7 的图象与 x 轴有两个交点，则 k 的取值范围为什么? 错解：由△=（－7）2－4×k×（－7）=49＋28k＞0
免费下载网址htt: jiaoxue5uysl68com/ 得k> 正确解法:此函数为二次函数,∴k≠0,又与x轴有交点, ∴△=(-7)2-4Xk×(-7)=49+28k≥0, 得1 故k≥-4且k≠0 点拨:①因为是二次函数,因而k≠0 ②有两个交点,但未点明为两个不同点,所以应为△≥0. 活动目的:对本节知识进行巩固练习,教师带领学生分析题目是描述几何关系的语言 即“形”作为条件,那么我们应该通过什么途径来研究呢?学生自然会想到应转化为代“数” 的一面来考虑。使学生更加加深数形结合的思想的运用,熟练对数与形进行转化。在学生高 高兴兴作出解答后,教师应关注他们是否考虑学生对两个交点的理解,以及k的取值范围 没有? 第六环节大胆尝试、练一练 活动内容: 1.抛物线y=-3(x-2)(x+5)与x轴的交点坐标为 2.抛物线y=x2-2x+3与两 坐标轴交点的个数为 个.3.抛物线y=2x2+8x+m与x轴只有一个交点,则m= 4.二次函数y=kx2+3x-4的图象与x轴有两个交点,则k的取值范围 5.若a>0,b>0,c>0,△>0,那么抛物线y 2+bx+c 经过 活动目的:用课堂形成性评价方式检查学生本节课的学习效果,学生基本上都能够顺利 完成前4个小题的解答,第5小题的综合性非常强。由于是限时训练,学生大多可以得到 80分,让他们明白数学的学习是一环紧扣一环的,新旧知识的联系需要及时的复习总结。 进一步巩固用“数”研究“形”,用“形”研究“数”是函数学习的两条主线和主要研究方 第七环节归纳小节 活动目的:鼓励学生结合本节课的学习谈一谈他们对二次函数与一元二次方程的关系的 认识,是否理解了理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 得 k＞－ 4 7 ． 正确解法：此函数为二次函数，∴k≠0，又与 x 轴有交点， ∴△=（－7）2－4× k×（－7）= 49＋28k≥0， 得 k≥－ 4 7 ， 故 k≥－ 4 7 且 k≠0 点拨：①因为是二次函数，因而 k≠0； ②有两个交点，但未点明为两个不同点，所以应为△≥0． 活动目的：对本节知识进行巩固练习，教师带领学生分析题目是描述几何关系的语言， 即“形”作为条件，那么我们应该通过什么途径来研究呢？学生自然会想到应转化为代“数” 的一面来考虑。使学生更加加深数形结合的思想的运用，熟练对数与形进行转化。在学生高 高兴兴作出解答后，教师应关注他们是否考虑学生对两个交点的理解，以及 k 的取值范围了 没有？ 第六环节 大胆尝试、练一练 活动内容： 1．抛物线 y=-3（x－2）（x＋5）与 x 轴的交点坐标为 _______2．抛物线 y=x 2－2x＋3 与两 坐标轴交点的个数为 个．3．抛物线 y=2x2＋8x＋m 与 x 轴只有一个交点，则 m= ____________4．二次函数 y=kx2＋3x－4 的图象与 x 轴有两个交点，则 k 的取值范围 ．5．若 a＞0，b＞0，c＞0，△＞0，那么抛物线 y=ax2＋bx＋c 经过 象限． 活动目的：用课堂形成性评价方式检查学生本节课的学习效果，学生基本上都能够顺利 完成前 4 个小题的解答，第 5 小题的综合性非常强。由于是限时训练，学生大多可以得到 80 分，让他们明白数学的学习是一环紧扣一环的，新旧知识的联系需要及时的复习总结。 进一步巩固用“数”研究“形”，用“形”研究“数”是函数学习的两条主线和主要研究方 法。 第七环节 归纳小节 活动目的：鼓励学生结合本节课的学习谈一谈他们对二次函数与一元二次方程的关系的 认识，是否理解了理解二次函数图象与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关
免费下载网址htt: jiaoxue5uysl68com/ 系,即何时方程有两个不等的实根,两个相等的实根和没有实根;是否掌握了通过观察二次 函数图象与ⅹ轴的交点个数,来讨论一元二次方程的根的情况:是否理解了一元二次方程 ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c与直线y=h(h是实数)图象交点的横坐标 四、教学反思 教师在学生讨论时应该参与到学生中去,对小组讨论给予适当的指导,包括知识的启发 引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的关注等,使每一位同学都能有收获,使小 组合作学习更具实效性。 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 系，即何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根；是否掌握了通过观察二次 函数图象与 x 轴的交点个数，来讨论一元二次方程的根的情况；是否理解了一元二次方程 ax2+bx+c=h 的根就是二次函数 y=ax2+bx+c 与直线 y=h（h 是实数）图象交点的横坐标。 四、教学反思 教师在学生讨论时应该参与到学生中去，对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发 引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的关注等，使每一位同学都能有收获，使小 组合作学习更具实效性