免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 1.2直角三角形的性质和判定(Ⅱ) 、教学目标 1.知识与技能:使学生掌握勾股定理,培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能 力 2.过程与方法:了解勾股定理的发现过程,掌握勾股定理的内容,会用面积法证明勾股定 理 3.情感、态度与价值观:介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就,激发学生的爱 国热情,促其勤奋学习。 二、重点、难点 1.重点:勾股定理的内容及证明 2.难点:勾股定理的证明 3.难点的突破方法:几何学的产生,源于人们对土地面积的测量需要。在古埃及,尼罗河 每年要泛滥一次;洪水给两岸的田地带来了肥沃的淤积泥土,但也抹掉了田地之间的界限标 志。水退了,人们要重新画出田地的界线,就必须再次丈量、计算田地的面积。几何学从 开始就与面积结下了不解之缘,面积很早就成为人们认识几何图形性质与争鸣几何定理的工 具。本节课采用拼图的方法,使学生利用面积相等对勾股定理进行证明。其中的依据是图形 经过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变。 三、教学过程 (一)、新课引入 已知树高6米,在树梢上有一猫头鹰,猫头鹰从树梢斜飞落地抓老鼠,落点与树根相距 8米,那么猫头鹰至少飞过多少米? (二)、探究定理 1、画一画 让学生动手画一个直角边长为3cm和4cm的直角△ABC,用刻度尺量出AB的长 以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的,他说:“把一根直尺折成 角形较短直角边(勾)的长是3,长的直角边(股)的长是4,那么斜边(弦)的长是有小 直角,两段连结得一直角三角形,勾广三,股修四,弦隅五。”这句话意思是说一个直角 2、做一做 (1)、如图1、以这个直角三角形的三边为边作三个正方形,探究这三个正方形的面积之间 有什么关系 正方形 面积 思考 问题1:这三个正方形的面积分别 为多少?你是怎么求的? 问题2:这三个正方形的面积之间满足一个 什么等式? 问题3:正方形的面积等于边长的平方,那 么它们的面积用边长代入得到一个什么等式? 问题4:我们前面说过:在直角三角形中, 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ） 一、教学目标 1 . 知识与技能：使学生掌握勾股定理，培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能 力。 2．过程与方法：了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定 理。 3．情感、态度与价值观：介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱 国热情，促其勤奋学习。 二、重点、难点 1．重点：勾股定理的内容及证明。 2．难点：勾股定理的证明。 3．难点的突破方法：几何学的产生，源于人们对土地面积的测量需要。在古埃及，尼罗河 每年要泛滥一次；洪水给两岸的田地带来了肥沃的淤积泥土，但也抹掉了田地之间的界限标 志。水退了，人们要重新画出田地的界线，就必须再次丈量、计算田地的面积。几何学从一 开始就与面积结下了不解之缘，面积很早就成为人们认识几何图形性质与争鸣几何定理的工 具。本节课采用拼图的方法，使学生利用面积相等对勾股定理进行证明。其中的依据是图形 经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。 三、教学过程 （一）、新课引入 已知树高 6 米，在树梢上有一猫头鹰，猫头鹰从树梢斜飞落地抓老鼠，落点与树根相距 8 米，那么猫头鹰至少飞过多少米？ （二）、探究定理 1、画一画： 让学生动手画一个直角边长为 3cm 和 4cm 的直角△ABC,用刻度尺量出 AB 的长。 以上这个事实是我国古代 3000 多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成 直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三 角形较短直角边（勾）的长是 3，长的直角边（股）的长是 4，那么斜边（弦）的长是 5。 2、做一做 （1）、如图 1、以这个直角三角形的三边为边作三个正方形，探究这三个正方形的面积之间 有什么关系。 正方形 P Q R 面积 9 16 25 思考： 问题 1：这三个正方形的面积分别 为多少？你是怎么求的？ 问题 2：这三个正方形的面积之间满足一个 什么等式？ 图 1 问题 3：正方形的面积等于边长的平方，那 么它们的面积用边长代入得到一个什么等式？ 问题 4：我们前面说过：在直角三角形中， Q P R
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 我们把较短的直角边叫勾,较长的直角边叫股, 斜边叫弦,那么勾股弦之间满足一个什么等式? (2)、再画一个两直角边为5和12的直角△ABC,用刻度尺量AB的长。这个三角形的三边 也满足勾2+股2=弦2吗? 对于任意的直角三角形也有这个性质吗? 4、猜一猜 直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。即在△ABC中,∠C=90°,∠A B、∠C的对边为a、b、c,有 a2+b2=c2 【过渡语】 猜想的结论是否正确须经过严格论证。证明该结论很难,许多数学家经过艰辛的努力,已想 出很多种巧妙的证法,下面让大家体验一下其中的一种证法:我国三国时期的数学家赵爽创 造的一种证法。 5、探一探(小组活动) (1)、请同学们拿出准备好的4个全等的直角三角形模型,最好是有颜色的吹塑纸,三边分 别标好a,b,c,拼出一个边长为c的正方形,利用面积相等进行证明(赵爽弦图,如图2)。 图2 【小组合作探究】,思考 问题1:你拼的四边形是正方形吗?为什么? 问题2:图中分别有几个正方形?几个直角三角形? 问题3:大正方形由哪几个图形构成? 问题4:它们的面积之间满足什么样的关系? 问题5:分别怎么来表示它们的面积 (2)、证明:如图2左(赵爽弦图)所示,其等量关系为 4S△+S小正=S大正即 4×ab+(b-a)2=c2, 化简可证。右图证明请同学们课后自己思考,教材第96-97页有另一种证法,请同学们现 在用2分钟看完 6、归纳总结 勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。即在 △ABC中,∠C=90° ∠B、∠C的对边为a、b、c,有 2+b2=c2。 图3 我国称这个结论为“勾股定理”,西方称它为“毕达哥拉斯定理”, B 为什么呢? 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 我们把较短的直角边叫勾，较长的直角边叫股， 斜边叫弦，那么勾股弦之间满足一个什么等式？ （2）、再画一个两直角边为 5 和 12 的直角△ABC，用刻度尺量 AB 的长。这个三角形的三边 也满足勾 2+股 2=弦 2 吗？ 3、议一议 对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 4、猜一猜 直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。即在△ABC 中，∠C=90°，∠A、 ∠B、∠C 的对边为 a、b、c，有 a2＋b2=c2 【过渡语】 猜想的结论是否正确须经过严格论证。证明该结论很难，许多数学家经过艰辛的努力，已想 出很多种巧妙的证法，下面让大家体验一下其中的一种证法：我国三国时期的数学家赵爽创 造的一种证法。 5、探一探（小组活动） ⑴、请同学们拿出准备好的 4 个全等的直角三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，三边分 别标好 a,b,c，拼出一个边长为 c 的正方形，利用面积相等进行证明（赵爽弦图，如图 2）。 【小组合作探究】，思考： 问题 1：你拼的四边形是正方形吗？为什么？ 问题 2：图中分别有几个正方形？几个直角三角形？ 问题 3：大正方形由哪几个图形构成？ 问题 4：它们的面积之间满足什么样的关系？ 问题 5：分别怎么来表示它们的面积？ ⑵、证明：如图 2 左（赵爽弦图）所示，其等量关系为： 4S△+S 小正=S 大正 即 4× 2 1 ab＋（b－a）2=c2， 化简可证。右图证明请同学们课后自己思考，教材第 96－97 页有另一种证法，请同学们现 在用 2 分钟看完。 6、归纳总结 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。即在 △ABC 中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C 的对边为 a、b、c，有 a2＋b2=c2。 我国称这个结论为“勾股定理”，西方称它为“毕达哥拉斯定理”， 为什么呢？ c b a D C A B c b B a C A b b b b c c c c a a a a 图 3 图 2
/jiaoxue5u. ys168. com/ (1)介绍《周髀算经》中西周的商高(公元一千多年前)发现了勾三股四弦五这个规 律 (2)介绍西方毕达哥拉斯于公元前582~493时期发现了勾股定理 (3)对比以上事实对学生进行爱国主义教育,激励他们奋发向上 (4)反思:公式变形: a b a2=c2-b' b2 a+6 说明:直解的边长b正数,所以取算术平方根。 问题1:勾股定理对所有的三角形都适用吗?为什么? 问题2:勾股定理的条件是什么?结论是什么? 结论:勾股定理揭示了在直角三角形中已知任意二边可以求第三边。 (三)、勾股定理的应用 1、例题分析: 例1、如图4,在△ABC中,∠C=900,AB=17,AC=8,求BC的长 分析:在这个直角三角形中,已知斜边和 条直角边,求另一条直角边 根据勾股定 理可得 BC=√AB2-AC=172-82=15 方法小结:利用勾股定理建立方程。 2、练习:在一个直角三角形中有二边分别是3和4,那么另一边一定是5吗?(小组 合作探究) (四)解决问题: 已知树高6米,在树梢上有一猫头鹰,猫头鹰从树梢斜飞落地抓老鼠,落点与树根相 距8米,那么猫头鹰至少飞过多少米? 解:如图5,在直角△ABC中 AC =6. BC=8 所以AB2=AC2+BC2 =100 8 所以AB=10 答:猫头鹰至少要飞10米 (五)小结: 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com （1）介绍《周髀算经》中西周的商高（公元一千多年前）发现了勾三股四弦五 这个规 律 （2）介绍西方毕达哥拉斯于公元前 582～493 时期发现了勾股定理； （3）对比以上事实对学生进行爱国主义教育，激励他们奋发向上． （4）反思：公式变形： 说明：直角三角形的边长为正数，所以取算术平方根。 问题 1：勾股定理对所有的三角形都适用吗？为什么？ 问题 2：勾股定理的条件是什么？结论是什么？ 结论：勾股定理揭示了在直角三角形中已知任意二边可以求第三边。 （三）、勾股定理的应用 1、例题分析： 例 1、如图 4，在△ABC 中，∠C＝900，AB=17,AC=8，求 BC 的长。 分析：在这个直角三角形中，已知斜边和 条直角边，求另一条直角边。 根 据 勾 股 定 理 可 得 BC= 2 2 AB AC − = 2 2 17 8 − =15 方法小结：利用勾股定理建立方程。 2、练习：在一个直角三角形中有二边分别是 3 和 4，那么另一边一定是 5 吗？（小组 合作探究） （四）解决问题： 已知树高 6 米，在树梢上有一猫头鹰，猫头鹰从树梢斜飞落地抓老鼠，落点与树根相 距 8 米，那么猫头鹰至少飞过多少米？ （五）小结： c 2=a2 + b2 a 2=c 2－b 2 b 2 =c2 -a 2 a c b = − 2 2 c a b = +2 2 b= c 2 -a2 B C 6 8 A 解：如图5，在直角△ABC中 AC = 6 , BC =8 所以 AB2 = AC2 + BC2 = 62 + 82 = 100 所以 AB = 10 答：猫头鹰至少要飞10米. 图 5 图 4 C A B
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 1、本节课我们经历了怎样的过程? 2、本节课我们学到了什么? 3、学了本节课后我们有什么感想? (六)拓展练习: 如图6,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形 G的边长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积之和为 (七)作业: 四、教学反思 新课程改革要求我们:将数学教学置身于学生自主探究与合作交流的数学活动中:将知识的 获取与能力的培养置身于学生形式各异的探索经历中:关注学生探索过程中的情感体验, 并发展实践能力及创新意识。为学生的终身学习及可持续发展奠定坚实的基础。为此我在教 学设计中注重了以下几点: 一、让学生主动想学 上这节课前一个星期教师布置给学生任务:查有关勾股定理的资料(可上网查,也可查阅报 刊、书籍).提前两三天由几位学生汇总(教师可适当指导)。这样可使学生在上这节课前就 对勾股定理历史背景有全面的理解,从而使学生认识到勾股定理的重要性,学习勾股定理是 非常必要的,激发学生的学习兴趣,对学生也是一次爱国主义教育,培养民族自豪感,激励 他们奋发向上.同时培养学生的自学能力及归类总结能力。 二、在课堂教学中,始终注重学生的自主探究 首先,创设情境,由实例引入,激发学生的学习兴趣,然后通过动手操作、大胆猜想、勇于 验证等一系列自主探究、合作交流活动得出定理,并运用定理进一步巩固提高。体现了学生 是数学学习的主人,人人学有价值的数学,人人都能获得必需的数学,不同的人在数学上得 到不同的发展。对于拼图验证,学生还没有接触过,所以在教学中教师给予学生适当指导与 鼓励。充分体现了教师是学生数学学习的组织者、引导者、合作者。 教会学生思维,培养学生多种能力 课前査资料,培养学生的自学能力及归类总结能力;课上的探究培养学生的动手动脑的能 力、观察能力、猜想归纳总:结的能力、合作交流的能力…… 四、注重了数学应用意识的培养 数学来源于实践,而又应用于实践。因此从实例引入,最后通过定理解决引例中的问题,并 在定理的应用中,让学生举生活中的例子,充分体现了数学的应用价值。 整节课都是在生生互动、师生互动的和谐气氛中进行的,在教师的鼓励、引导下学生进行了 自主学习。学生上讲台表达自己的思路、解法,体验了数形结合的数学思想方法,培养了细 心观察、认真思考的态度。但本节课拼图验证的方法以前学生没接触过,稍嫌吃力。另在举 勾股定理在生活中的例子时,学生思路不够开阔。以后要多培养学生实验操作能力及应用拓 展能力,使学生思路更开阔 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 1、本节课我们经历了怎样的过程？ 2、本节课我们学到了什么？ 3、学了本节课后我们有什么感想？ （六）拓展练习： 如图 6，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形 G 的边长为 7cm,则正方形 A，B，C，D 的面积之和为_________cm2。 （七）作业： 四、教学反思 新课程改革要求我们：将数学教学置身于学生自主探究与合作交流的数学活动中；将知识的 获取与能力的培养置身于学生形式各异的探索 经历中；关注学生探索过程中的情感体验， 并发展实践能力及创新意识。为学生的终身学习及可持续发展奠定坚实的基础。为此我在教 学设计中注重了以下几点： 一、让学生主动想学 上这节课前一个星期教师布置给学生任务：查有关勾股定理的资料（可上网查，也可查阅报 刊、书籍）.提前两三天由几位学生汇总(教师可适当指导)。这样可使学生在上这节课前就 对勾股定理历史背景有全面的理解，从而使学生认识到勾股定理的重要性，学习勾股定理是 非常必要的，激发学生的学习兴趣，对学生也是一次爱国主义教育，培养民族自豪感，激励 他们奋发向上．同时培养学生的自学能力及归类总结能力。 二、在课堂教学中，始终注重学生的自主探究 首先，创设情境，由实例引入，激发学生的学习兴趣，然后通过动手操作、大胆猜想、勇于 验证等一系列自主探究、合作交流活动得出定理，并运用定理进一步巩固提高。体现了学生 是数学学习的主人，人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得 到不同的发展。对于拼图验证，学生还没有接触过，所以在教学中教师给予学生适当指导与 鼓励。充分体现了教师是学生数学学习的组织者、引导者、合作者。 三、教会学生思维，培养学生多种能力 课前查资料，培养学生的自学能力及归类总结能力；课上的探究培养学生的动手动脑的能 力、观察能力、猜想归纳总结的能力、合作交流的能力…… 四、注重了数学应用意识的培养 数学来源于实践，而又应用于实践。因此从实例引入，最后通过定理解决引例中的问题，并 在定理的应用中，让学生举生活中的例子，充分体现了数学的应用价值。 整节课都是在生生互动、师生互动的和谐气氛中进行的，在教师的鼓励、引导下学生进行了 自主学习。学生上讲台表达自己的思路、解法，体验了数形结合的数学思想方法，培养了细 心观察、认真思考的态度。但本节课拼图验证的方法以前学生没接触过，稍嫌吃力。另在举 勾股定理在生活中的例子时，学生思路不够开阔。以后要多培养学生实验操作能力及应用拓 展能力，使学生思路更开阔