免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 133.2等边三角形 教学目标 (一)数学知识点 经历探索等腰三角形成为等边三角形的条件及其推理证明过程. (二)能力训练要求 1.经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程,建立初步的符号感,发展 抽象思维 历观察、实验、猜想、证明的数学活动过程,发展合情推理能力和初步的演绎推 理能力,能有条理地、清晰地阐述自己的观点 (三)情感与价值观要求 1.积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲 2.在数学活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心 重点难点 重点:等边三角形判定定理的发现与证明 难点:1.等边三角形判定定理的发现与证明 2.引导学生全面、周到地思考问题 教学方法 探索发现法 教具准备 多媒体课件,投影仪 教学过程 Ⅰ.提出问题,创设情境 [师]我们在前两节课研究证明了等腰三角形的性质和判定定理,我们知道,在等腰三角 形中有一种特殊的等腰三角形一—三条边都相等的三角形,叫等边三角形.回答下面的三个 问题 (演示课件) 1.把等腰三角形的性质用到等边三角形,能得到什么结论? 2.一个三角形满足什么条件就是等边三角形? 3.你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗?你能证明你的结论吗? 把你的证明思路与同伴交流 (教师应给学生自主探索、思考的时间) [生甲]由等边对等角的性质可知,等边三角形的三个角相等,又由三角形三内角和定 理可知,等边三角形的三个角相等,并且都等于60° [生乙]等腰三角形已有两边分别相等,所以我认为只要腰和底边相等,等腰三角形就是 等边三角形了 [生丙]等边三角形的三个内角都相等,且分别都等于60°,我认为等腰三角形的三个 内角都等于60°,也就是说这个等腰三角形就是等边三角形了 (此时,部分同学同意此生看法,部分同学不同意此生看法,引起激烈的争论,教师 可让同学代表发表自己的看法) [生丁]我不同意这个同学的看法,因为任何一个三角形满足这个条件都是等边三角 形.根据等角对等边,三个内角都是60°,所以它们所对的边一定相等,但这一问题中“已 解压密码联系qq19139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 13.3.2 等边三角形 （二）能力训练要求 1．经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过 程，建立初步的符号感，发展 抽象思维． 2．经历观察、实验、猜想、证明的数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推 理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点． （三）情感与价值观要求 1．积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲． 2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心． 重点难点 重点：等边三角形判定定理的发现与证明． 难点：1．等边三角形判定定理的发现与证明． 2．引导学生全面、周到地思考问题． 教学方法 探索发现法． 教具准备 多媒体课件，投影仪． 教学过程 Ⅰ．提出问题，创设情境 [师]我们在前两节课研究证明了等腰三角形的性质和判定定理，我们知道，在等腰三角 形中有一种特殊的等腰三角形──三条边都相等的三角形，叫等边三角形．回答下面的三个 问题． （演示课件） 1．把等腰三角形的性质用到等边三角形，能得到什么结论？ 2．一个三角形满足什么条件就是等边三角形？ 3．你认为有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形吗？ 你能证明你的结论吗？ 把你的证明思路与同伴交流． （教师应给学生自主探索、思考的时间） [生甲]由等边对等角 的性质可知，等边三角形的三个角相等，又由三角形三内角和定 理可知，等边三角形的三个角相等，并且都等于 60°． [生乙]等腰三角形已有两边分别相等，所以我认为只要腰和底边相等，等腰三角形就是 等边三角形了． [生丙]等边三角形的三个内角都相等，且分别都等于 60°，我认为等腰三角形的三个 内角都等于 60°，也就是说这个等腰三角形就是等边三角形了． （此时，部分同学同意此生看法，部分同学不同意此生看法，引起激烈的争论， 教师 可让同学代表发表自己的看法） [生丁]我不同意这个同学的看法， 因为任何一个三角形满足这个条件都是等边三角 形．根据等角对等边，三个内角都是 60°，所以它们所对的边一定相等，但这一问题中“已
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 知是等腰三角形,满足什么条件时便是等边三角形”,我觉得他给的条件太多,浪费 [师]给三个角都是60°,这个条件确实有点浪费,那么给什么条件不浪费呢?下面同 学们可以在小组内交流自己的看法 Ⅱ.导入新课 探索等腰三角形成等边三角形的条件 [生]如果等腰三角形的顶角是60°,那么这个三角形是等边三角形 [师]你能给大家陈述一下理由吗? [生]根据三角形的内角和定理,顶角是60°,等腰三角形的两个底角的和就是180° 60°=120°,再根据等腰三角形两个底角是相等的,所以每个底角分别是120°÷2=60°, 则三个内角分别相等,根据等角对等边,则此时等腰三角形的三条边是相等的,即顶角为 60°的等腰三角形为等边三角形 [生]等腰三角形的底角是60°,那么这个三角形也是等边三角形,同样根据三角形内 角和定理和等角对等边、等边对等角的性质 [师]从同学们自主探索和讨论的结果可以发现:在等腰三角形中,不论底角是60° 还是顶角是60°,那么这个等腰三角形都是等边三角形.你能用更简洁的语言描述这个结 论吗? [生]有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 (这个结论的证明对学生来说可能有一定的难点,难点是意识到分别讨论60°的角是 底角和顶角两种情况.这是一种分类讨论的思想,教师要关注学生得出证明思路的过程,引 导学生全面、周到地思考问题,并有意识地向学生渗透分类的思想方法) [师]你在与同伴的交流过程中,发现了什么或受到了何种启示? 生]我发现我的证明过程没有意识到“有一个角是60°”,在等腰三角形中有两种情 (1)这个角是底角:(2)这个角是顶角.也就是说我们思考问题要全面、周到 [师]我们来看有多少同学意识到分别讨论60°的角是底角和顶角的情况,我们鼓掌表 示对他们的鼓励 今天,我们探索、发现并证明了等边三角形的判定定理;有一个角等于60°的等腰 角形是等边三角形,我们在证明这个定理的过程中,还得出了三角形为等边三角形的条件, 是什么呢? [生]三个角都相等的三角形是等边三角形 [师]下面就请同学们来证明这个结论 (投影仪演示学生证明过程) 已知:如图,在△ABC中,∠A=∠B=∠C 求证:△ABC是等边三角形 证明:∵∠A=∠B, ∴BC=AC(等角对等边) 又∵∠A=∠C BC=AC(等角对等边) ∴AB=BC=AC,即△ABC是等边三角形 师]这样,我们由等腰三角形的性质和判定方法就可以得到. (演示课件) 等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60° 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 知是等腰三角形，满足什么条件时便是等边三角形”， 我觉得他给的条件太多，浪费! [师]给三个角都是 60°，这个条件确实有点浪费，那么给什么条件不浪费呢？ 下面同 学们可以在小组内交流自己的看法． Ⅱ．导入新课 探索等腰三角形成等边三角形的条件． [生]如果等腰三角形的顶角是 60°，那么这个三角形是等边三角形． [师]你能给大家陈述一下理由吗？ [生]根据三角形的内角和定理，顶角是 60°，等腰三角形的两个底角的和就是 180°- 60°=120°，再根据等腰三角形两个底角是相等的， 所以每个底角分别是 120°÷2=60°， 则三个内角分别相等，根据等角对等边， 则此时等腰三角形的三条边是相等的，即顶角为 60°的等腰三角形为等边三角形． [生]等腰三角形的底角是 60°，那么这个三角形也是等边三角形，同样根据三角形内 角和定理和等角对等边、等边对等角的性质． [师]从同学们自主探索和讨论的结果可以发现： 在等腰三角形中， 不论底角是 60°， 还是顶角是 60°，那么这个等腰三角形都是等边三角形． 你能用更简洁的语言描述这个结 论吗？ [生]有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形． （这个结论的证明对学生来说可能有一定的难点，难点是意识到分别讨论 60°的角是 底角和顶角两种情况．这是一种分类讨论的思想，教师要关注学生得出证明思路的过程，引 导学生全面、周到地思考问题，并有意识地向学生渗透分类的思想方法） [师]你在与同伴的交流过程中，发现了什么或受到了何种启示？ [生]我发现我的证明过程没有意识到“有一个角是 60°”，在等腰三角形中有两种情 况： （1）这个角是底角；（2）这个角是顶角．也就是说我们思考问题要全面、周到． [师]我们来看有多少同学意识到分别讨论 60°的角是底角和顶角的情况， 我们鼓掌表 示对他们的鼓励． 今天，我们探索、发现并证明了等边三角形的判定定理；有一个角等于 60°的等腰三 角形是等边三角形，我们在证明这个定理的过程中，还得出了三角形为等边三角形的条件， 是什么呢？ [生]三个角都相等的三角形是等边三角形． [师]下面就请同学们来证明这个结论． （投影仪演示学生证明过程） 已知：如图，在△ABC 中，∠A=∠B=∠C． 求证：△ABC 是等边三角形． 证明：∵∠A=∠B， ∴BC=AC（等角对等边）． 又∵∠A=∠C， ∴BC= AC（等角对等边）． ∴AB=BC=AC，即△ABC 是等边三角形． [师]这样，我们由等腰三角形的性质和判定方法就可以得到． （演示课件） 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60°； 三个角都相等的三角形是等边三角形． 有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形． C A B
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ [师]有了上述结论,我们来学习下面的例题,体会上述定理 (演示课件) [例4如图,课外兴趣小组在一次测量活动中,测得∠APB= 60°,AP=BP=200m,他们便得出一个结论:A、B之间距离不少于 200m,他们的结论对吗? 分析:我们从该问题中抽象出△APB,由已知条件∠APB=60°且 AP=BP,由本节课探究结论知△APB为等边三角形 解:在△APB中,AP=BP,∠APB=60° 所以∠PAB=∠PBA=-(180°-∠APB)=(180°-60°)=60° 于是∠PAB=∠PBA=∠APB 从而△APB为等边三角形,AB的长是200m,由此可以得出兴趣小组的结论是正确的 Ⅲ.随堂练习 (一)课本练习1、2 1.等边三角形是轴对称图形吗?它有几条对称轴?它们分别是什么线段? 答案:等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴,它们分别是三个角的平分线(或是 三条边上的中线或三条边上的高线) 2.如图,等边三角形ABC中,AD是BC上的高,∠BDE=∠CDF=60°,图中有哪些与BD 相等的线段? 答案:BD=DC=BE=EA=CF=FA=DE=DF. (二)补充练习 如图,△ABC是等边三角形,∠B和∠C的平分线相交于D,BD、CD的垂直平分线分别 交BC于E、F,求证:BE=CF 证明:连接DE,DF,则BE=DE,DF=CF 由△ABC是等边三角形,BD平分∠ABC,得∠1=30°,故∠2=30°,从而∠DEF=60° 同理∠DFE=60° 故△DEF是等边三角形 所以DE=DF,因而BE=CF Ⅳ.课时小结 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com [师]有了上述结论，我们来学习下面的例题，体会上述定理． （演示课件） [例 4]如图，课外兴趣小组在一次测量活动中，测得∠APB= 60°，AP=BP=200m， 他们便得出一个结论：A、B 之间距离不少于 200m，他们的结论对吗？ 分析：我们从该问题中抽象出△APB，由已知条件∠APB=60°且 AP=BP， 由本节课探究结论知△APB 为等边三角形． 解：在△APB 中，AP=BP，∠APB=60°， 所以∠PAB=∠PBA= 1 2 （180°-∠APB）= 1 2 （180°-60°）=60°． 于是∠PAB=∠PBA=∠APB． 从而△APB 为等边三角形，AB 的长是 200m， 由此可以得出兴趣小组的结论是正确的． Ⅲ．随堂练习 （一）课本练习 1、2． 1．等边三角形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？它们分别是什么线段？ 答案：等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，它们分别是三个角的平分线（或是 三条边上的中线或三条边上的高线）． 2．如图，等边三角形 ABC 中，AD 是 BC 上的高，∠BDE=∠CDF=60°， 图中有哪些与 BD 相等的线段？ E D C A B F 答案：BD=DC=BE=EA=CF=FA=DE=DF． （二）补充练习 如图，△ABC 是等边三角形，∠B 和∠C 的平分线相交于 D，BD、CD•的垂直平分线分别 交 BC 于 E、F，求证：BE=CF． 2 1 E D C A B F 证明：连接 DE，DF，则 BE=DE，DF=CF． 由△ABC 是等边三角形，BD 平分∠ABC，得∠1=30°，故∠2=30°，从而∠DEF=60°． 同理∠DFE=60°， 故△DEF 是等边三角形． 所以 DE=DF，因而 BE=CF． Ⅳ．课时小结 60 A B P
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 这节课,我们自主探索、思考了等腰三角形成为等边三角形的条件,并对这个结论的 证明有意识地渗透分类讨论的思想方法.这节课我们学的定理非常重要,在我们今后的学习 中起着非常重要的作用 V.活动与探究 探究:如图,在等边三角形ABC的边AB,AC上分别截取 AD=AE.△ADE是等边三角形吗?试说明理由 过程:通过分析、讨论,让学生进一步了解等边三角形的性 质及判定 结果: 已知:三角形ABC为等边三角形.D,E为边AB,AC上两点 且AD=AE.判断△ADE是否是等边三角形,并说明理由 解:△ADE是等边三角形, ∵△ABC是等边三角形, ∴∠A=60° 又∵AD=AE, ∴△ADE是等腰三角形 ∴△ADE是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形) 板书设计 、探索等边三角形的性质及判定 问题:一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形 二、等边三角形的性质及判定 三、应用例题讲解 四、随堂练习 五、课时小结 六、课后作业 备课资料 等腰三角形(含等边三角形)的性质与判定 性质 判定的条件 等边对等角 等角对等边 等腰三角 三线合一”即等腰三角形顶角平分有一角是60°的等腰三角形是等 形(含等线,底边上的中线、高互相重合 边三角形 边三角形)「等边三角形的三个角都相等,且每个三个角都相等的三角形是等边三 角都是60° 角形 参考例题 1.已知,如图,房屋的顶角∠BAC=100°,过屋顶A的立 柱AD⊥BC.屋椽AB=AC,求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD 的度数 解:在△ABC中, ∴AB=AC(已知) ∴∠B=∠C(等边对等角) ∠B=∠ (180°-∠BAC)=40°(三角形内角和定理) 又∵AD⊥BC(已知) 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 这节课，我们自主探索、思考了等腰三角形成为等边三角形的条件， 并对这个结论的 证明有意识地渗透分类讨论的思想方法．这节课我们学的定理非常重要，在我们今后的学习 中起着非常重要的作用． Ⅴ．活动与探究 探究：如图，在等边三角形 ABC 的边 AB，AC 上分别截取 AD=AE．△ADE 是等边三角形吗？试说明理由． 过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解等边三角形的性 质及判定． 结果： 已知：三角形 ABC 为等边三角形．D，E 为边 AB，AC 上两点， 且 AD=AE．判断△ADE是否是等边三角形，并说明理由． 解：△ADE 是等边三角形， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A=60°． 又∵AD=AE， ∴△ADE 是等腰三角形． ∴△ADE 是等边三角形（有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形）． 板书设计 一、探索等边三角形的性质及判定 问题：一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形 二、等边三角形的性质及判定 三、应用例题讲解 四、随堂练习 五、课时小结 六、课后作业 备课资料 等腰三角形（含等边三角形）的性质与判定． 性质 判定的条件 等腰三角 形（含等 边三角形） 等边对等角 等角对等边 “三线合一”即等腰三角形顶角平分 线，底边上的中线、高互相重合 有一角是 60°的等腰三角形是等 边三角形 等边三角形的三个角都相等，且每个 角都是 60° 三个角都相等的三角形是等边三 角形 参考例题 1．已知，如图，房屋的顶角∠BAC=100°，过屋顶 A 的立 柱 AD⊥BC．屋椽 AB=AC，求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD 的度数． 解：在△ABC 中， ∵AB=AC（已知）， ∴∠B=∠C（等边对等角）． ∴∠B=∠C= 1 2 （180°-∠BAC）=40°（三角形内角和定理）． 又∵AD⊥BC（已知）， D C A B D E C A B
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ ∠BAD=∠CAD(等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合) 2.已知:如图,△ABC是等边三角形,BD是中线,延长BC到E,使CE=CD 求证:DB=DE. 证明:∵△ABC是等边三角形,且BD是中线 BD⊥AC,∠ACB=60°,∠DBC=30 又∵CD=CE, ∠CDE=∠E=-∠ACB=30° ∴∠DBC=∠E ∵DB=DE. 已知:如图,△ABC是等边三角形,DE∥BC,交AB、 AC于D、E. 求证:△ADE是等边三角形 证明:∵△ABC是等边三角形(已知), ∠A=∠B=∠C(等边三角形各角相等) DE∥BC, ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C(两直线平行,同位角相等) ∴∠A=∠ADE=∠AED ∴.△ADE是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形) 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com ∴∠BAD=∠CAD（等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合）． ∴∠BAD=∠CAD=50°． 2．已知：如图，△ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长 BC 到 E，使CE=CD． 求证：DB=DE． 证明：∵△ABC 是等边三角形，且 BD 是中线， ∴BD⊥AC，∠ACB=60°，∠DBC=30°． 又∵CD=CE， ∴∠CDE=∠E= 1 2 ∠ACB=30°． ∴∠DBC=∠E． ∴DB=DE． 3．已知：如图，△ABC 是等边三角形，DE∥BC，交 AB、 AC 于 D、E． 求证：△ADE 是等边三角形． 证明：∵△ABC 是等边三角形（已知）， ∴∠A=∠B=∠C（等边三角形各角相等）． ∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）． ∴∠A=∠ADE=∠AED． ∴△ADE 是等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形）． E D C A B D C A E B