己会?em 20.2.2数据的离散程度
20．2．2 数据的离散程度
己会?em 1.一组数据中的最大数据与最小数据的差称为极差,即 极差=最大数据一最小数据 2.极差反映一组教据的波动范圆,用极差描述这组数据 的离散程度简单明了、极差越大,数据的离散程度越大 3.由于极差忽视了一组数据中所有数据之间的差异,仅 仅由其中的最火值和最小值所确定,个别远离群体的极端 值在很火程度上会影响极差,因而极差往往不能充分反映 一组数据的实际离散程度
1．一组数据中的最大数据与最小数据的差称为极差，即 极差＝最大数据一最小数据． 2．极差反映一组数据的波动范围，用极差描述这组数据 的离散程度简单明了．极差越大，数据的离散程度越大． 3．由于极差忽视了一组数据中所有数据之间的差异，仅 仅由其中的最大值和最小值所确定，个别远离群体的极端 值在很大程度上会影响极差，因而极差往往不能充分反映 一组数据的实际离散程度．
交流与发现 下表是我国北方某城市1956年~1990年大气降水资料: 类别 年平均丰水年平水年偏枯年特枯年 降水量毫米 600 882 639 513 366 (1)上面这组数据的极差是多少?516毫米 (2)丰水年、平水年、偏枯年、特枯年的降水量与年平均降水 量的差分别是多少?282毫米、39毫米、-87毫米、-234毫米 刻画一组教据的离散程度,除了 用极差外,还有其他方式吗? 在一组数据中,每个数据与平均数的差叫 儆这个数据的偏差、偏差可以反映一个数 据偏离平均数的程度 加油站
交流与发现 下表是我国北方某城市1956年~1990年大气降水资料： 类别 年平均 丰水年 平水年 偏枯年 特枯年 降水量/毫米 600 882 639 513 366 （1）上面这组数据的极差是多少？ （2）丰水年、平水年、偏枯年、特枯年的降水量与年平均降水 量的差分别是多少？ 在一组数据中，每个数据与平均数的差叫 做这个数据的偏差．偏差可以反映一个数 据偏离平均数的程度． 刻画一组数据的离散程度，除了 用极差外，还有其他方式吗？ 516毫米 282毫米、 39毫米、 －87毫米、 －234毫米．
能用偏差的和表示一组数据 的离散程度吗? 丰水年、平水年、偏枯年、特枯年的降水量与年平均降水 量的差分别是282毫米、39毫米、一87毫米、-234毫米 282+39+(-87)+(-234)=0 这是不是偶然 设x是数据为x1、x2x3……、xn的平均数,象呢? n为数据的个数,那么 x=(x1+x2+x3+…+ x1-x、x2-X、x3X、“、剐褒示每个数据的偏差 (x1-x)+(x2-x)+(x3-x)+“+(xn-x) =(x1+x2+x3+…+xn)-nx =(x1+x2+x3+…+xn)-n( 々(1+xn+x3+…+xn 0
能用偏差的和表示一组数据 的离散程度吗？ 282 ＋39 ＋（－87 ）＋（－234）=0 丰水年、平水年、偏枯年、特枯年的降水量与年平均降水 量的差分别是282毫米、39毫米、 － 87毫米、 －234毫米． 设 是数据为x1、x2、x3、……、xn的平均数， n为数据的个数，那么 x 这是不是偶然 现象呢？ x1－x、 x2－x、 x3－x、……、分别表示每个数据的偏差． xn－x （x1－x)＋（x2－x)＋（x3－x)＋ …… ＋（xn－x) =(x1+x2+x3+……+xn ) －n x ( ) x x x xn n x = + + + L + 1 2 3 1 =(x1+x2+x3+……+xn ) －n· ( ) x x x xn n + + + L + 1 2 3 1 =0
由于偏差可能是正教、零、负数,在求偏差的和肘,正、负教 恰好相互抵消,结果为零,所以不能用偏差的和表示一组教据的离 散程度 为了刻画一组数据的离散程度,通常选用偏差的平方的平灼数 来描述 g2=(x1-3)2+(x2-)3+(x2-3)2+-+(xn-32 在一组数据中,各数据与它们的平均数的差的平方 的平均数,叫做这组数据的方差( Varlance),通常用s2 表示,即 [(x1-x)+(x2-x)2+(x3-x)2+-+(xn-3 2 方差越小,这组数据的离散程 度越小,数据就越集中,平均 数代表性就越大
为了刻画一组数据的离散程度，通常选用偏差的平方的平均数 来描述． 由于偏差可能是正数、零、负数，在求偏差的和时，正、负数 恰好相互抵消，结果为零，所以不能用偏差的和表示一组数据的离 散程度． （x1－x) （x2－x) （x3－x) …… （xn－ x) 2 2 2 2 [ ＋ ＋ ＋ ＋ ] n 1 S 2= 在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方 的平均数，叫做这组数据的方差（variance ) ，通常用S 2 表示，即 （x1－x) （x2－x) （x3－x) …… （xn－ x) 2 2 2 2 ＋ ＋ ＋ ＋ n S 2= 方差越小，这组数据的离散程 度越小，数据就越集中，平均 数代表性就越大．
己会?em 例题解 例1某足赇队对运动员进行射点球成绩测试,每人每天射点球5 次,在10天中,运动员大刚的进赇个数分别是: 5453352535 1)求大刚进赇个数的平均数; 2)求大刚进个数的方差 (3)求火刚进球个数的标准差 解:(1)大刚进球个数的平均数为 5+4+5+3+3+5+2+5+3+5 4(个); (2)火刚进球个数的方差为 2(5-4)2+(4-42+(5-4)2+…+(6-42 10 1.2 (3)火刚进球个数的标准差为 s=√2=12≈1.09(个
例1某足球队对运动员进行射点球成绩测试，每人每天射点球5 次，在10天中，运动员大刚的进球个数分别是： 5 4 5 3 3 5 2 5 3 5 （1）求大刚进球个数的平均数； （2）求大刚进球个数的方差． 解:（1）大刚进球个数的平均数为 （2）大刚进球个数的方差为 10 5 + 4 + 5 + 3+ 3+ 5 + 2 + 5 + 3+ 5 x = =4(个)； 10 (5 4) (4 4) (5 4) (5 4) 2 2 2 2 2 - + - + - + + - = L s =1．2 （3）求大刚进球个数的标准差． （3）大刚进球个数的标准差为 1．2 1．09( ) 2 s = s = 个
己会?m 也可以采用列表的方法求大刚进球个数的方差: 数据x 平均数x xi (x;-x)2 5453352535 4444444444 1011112111 1011114 111 21+0+1+…+1 =1.2(个2) 10
也可以采用列表的方法求大刚进球个数的方差: 数据xi 平均数 xi－ （xi－ ）2 5 4 4 4 5 4 3 4 3 4 5 4 2 4 5 4 3 4 5 4 x x x 1 0 1 -1 -1 1 -2 1 -1 1 1 0 1 1 4 1 1 1 1 1 1．2（个2） 10 2 1 0 1 1 = + + + + = L s
己会?m 由于方差S2的单位与原始数据单位不一致,因此在实际 应用中常常求出方差后,再求它的算术平方根,这个算术平 方根称为这组数据的标准差,用S表示 2 (x1=x)2+(x2-x)2+…(xn=x) 标准差也是表示一组数据离散程度的量
由于方差S 2的单位与原始数据单位不一致，因此在实际 应用中常常求出方差后，再求它的算术平方根，这个算术平 方根称为这组数据的标准差，用S表示． ． ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 n x x x x x x s n - + - + - = L 标准差也是表示一组数据离散程度的量．
Beartou.com 挑战自我 如一组数据x1,x2,“,xn,中的每一个数据都减去 a,得到一组新教据x1,x2y那案两组教据的方差 有什么关糸? x1+x2+…+xn (x1-x)2+(x2-x) +…+(xn=x) 2 x1+x2+…+x,(a)+(x2-a)+…+(xn-a) (x+x2+…+xn)-na - ra (x1-x)2+(x2-x)2+…+(x2n-x) I(x-a)-(x-a)2+(x2-a)-(x-a)2+…+[(xn-a)-(x-a)2 (x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2 s2所以s2=s2
x a n x x xn na = - + + + - = ( ) 1 2 L n x - a + x - a + + xn - a = ( ) ( ) ( ) 1 2 L n x x x x n + + + = ' ' ' ' 1 2 L x = n x1 + x2 +L+ xn n x a x a x a x a xn a x a 2 2 2 2 1 [( - ) - ( - )] +[( - ) - ( - )] + +[( - ) - ( - )] = L n x x x x x x s n 2 2 2 2 2 1 ( ' ') ( ' ') ( ' ') ' - + - + + - = L n x x x x x x s n 2 2 2 2 1 2 ( - ) + ( - ) + + ( - ) = L = n x x x x xn x 2 2 2 2 1 ( - ) + ( - ) +L+ ( - ) s 2 = 2 2 所以s' = s 如果一组数据x1，x2，…，x n，中的每一个数据都减去 a，得到一组新数据 那么这两组数据的方差 有什么关系？ x' 1，x' 2 ，L，x' n
Beartou.com 练可 1.八年级一班10名同学参加用电脑绘图测试,成绩如下(满分30分) 成绩/分 20 22 26 28 30 人数/名 1 2 2 2 这10名同学测试成绩的标准差是多少(精确到0.1分)? -20×1+22×2+26×2+28×3+30×2 解:平均分为:x= =26(分) 标准差为 J=/(20-26)2+(22-26)2+…+(30-26)2 ≈33(分) 10 2甲、乙两台编织机同肘编织同种品牌的毛衣,在5天中,两台编织机每天编 织的合格产品数量如下(单位:件) 甲:108778 乙:98779 在这5天中,哪台编织机每天编织的合格产品的教量较稳定? 10+8+7+7+8 8 (10-8)+(8-8)2+…+(8-8 9+8+7+7+9 9-8)2+(8-8)2+…+(9-8 固为S甲>S乙,所以乙编织机每天编织的合格产出的教量较稳定、5
1．八年级一班10 名同学参加用电脑绘图测试，成绩如下（满分30 分）: 2 ．甲、乙两台编织机同时编织同种品牌的毛衣，在5 天中，两台编织机每天编 织的合格产品数量如下（单位：件）: 甲：10 8 7 7 8 乙： 9 8 7 7 9 在这5 天中，哪台编织机每天编织的合格产品的数量较稳定？ 成绩/分 20 22 26 28 30 人数/名 1 2 2 3 2 这10 名同学测试成绩的标准差是多少（精确到0 ． 1 分）? 解：平均分为： 标准差为： 10 3．3（分） (20 26 ) (22 26 ) (30 26 ) 2 2 2 - + - + + - = L s 8 5 10 8 7 7 8 = + + + + = x甲 8 5 9 8 7 7 9 = + + + + = x乙 5 10 10 (9 8) (8 8) (9 8) 2 2 2 = - + - + + - = L s乙 5 15 10 (10 8) (8 8) (8 8) 2 2 2 = - + - + + - = L s甲 因为S甲＞S乙，所以乙编织机每天编织的合格产品的数量较稳定． 26（分） 10 20 1 22 2 26 2 28 3 30 2 = × + + + + x = × × × ×