第23讲矩形、菱形、正方形
第 23 讲 矩形、菱形、正方形
考点知识精讲
考点一矩形的定义、性质和判定 1.定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形 2.性质:(1)矩形的四个角都是直角:(2)矩形的对角线 (3)矩形既是轴 对称图形,又是中心对称图形,它有两个对称轴,它的对称中心是对角线的交点 3.判定:(1)有 的平行四边形是矩形;(2)有三个角是直角的四边形是矩形 (3)对角线相等的 是矩形 考点二菱形的定义、性质和判定 1.定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形 2.性质:(1)菱形的四条边 对角线互相 并且每条对角线平分一组对 角;(2)菱形既是轴对称图形又是中心对称图形 3.判定:(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形;(2)四条边都相等的四边形是菱形; (3)对角线 的平行四边形是菱形 考点三正方形的定义、性质和判定 1.定义:有一个角是直角的菱形是正方形或有一组邻边相等的矩形是正方形 2.性质:(1)正方形四个角都是 四条边都 (2)正方形两条对角线 并且互相 ,每条对角线平分一组对角 3.判定:(1)有一个角是直角的菱形是正方形;(2)有一组邻边相等的矩形是正方形
考点一 1．定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 2．性质：(1)矩形的四个角都是直角；(2)矩形的对角线互相平分且相等；(3)矩形既是轴 对称图形，又是中心对称图形，它有两个对称轴，它的对称中心是对角线的交点． 3．判定：(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形；(2)有三个角是直角的四边形是矩形； (3)对角线相等的平行四边形是矩形． 考点二 菱形的定义、性质和判定 1．定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 2．性质：(1)菱形的四条边都相等，对角线互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对 角；(2)菱形既是轴对称图形又是中心对称图形． 3．判定：(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形；(2)四条边都相等的四边形是菱形； (3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 考点三 1．定义：有一个角是直角的菱形是正方形或有一组邻边相等的矩形是正方形． 2．性质：(1)正方形四个角都是直角，四条边都相等； (2)正方形两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． 3．判定：(1)有一个角是直角的菱形是正方形；(2)有一组邻边相等的矩形是正方形． 矩形的定义、性质和判定 正方形的定义、性质和判定
考点四平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系 王方 菱形 1.矩形、菱形和正方形具有平行四边形的所有 性质 2.平行四边形及特殊平行四边形的有关知识点 !较多,要想做到准确而不混淆就要从“边、角、对角线、 1对称性”这四个方面来研究它们的性质和判定,多用 数形结合法,掌握它们的区别及联系,把握它们的特 征是关键
考点四 平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系
中考典例精斩
例1(12010芜湖)下列命题中是真命题的是( A.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C.两条对角线相等的平行四边形是矩形 D.两边相等的平行四边形是菱形 (2)(2009·凉山)如图,将矩形ABCD沿对角线BD折叠, D 使C落在C′处,BC′交AD于点E,则下列结论不一定成立的是( A.AD=BC′ B.∠EBD=∠EDB C.△ABE∽△CBD AE D.sin∠ABE ED
(1)(2010·芜 湖)下列命题中是真命题的是( ) A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C．两条对角线相等的平行四边形是矩形 D．两边相等的平行四边形是菱形 (2)(2009·凉 山)如图，将矩形 ABCD 沿对角线 B D 折叠， 使 C 落 在 C′处，B C′交 AD 于点 E，则下列结论不一定 ．．．成立的是( ) A．AD＝BC′ B．∠EBD＝∠EDB C．△ABE∽△CBD D．sin∠ABE＝ AE ED
B (3)(2010宜昌)如图,在菱形ABCD中,AB=15,∠ADC=120°,则B、D两点之间的 距离为() A.15 B 15 3 2 C.7.5 D.153 【点拨】本组题综合考查矩形、菱形、正方形的性质和判定. 【解答】(1)从“对角线”方面考查矩形的判定方法,故选C (2)△ABE和△CBD只满足∠A=∠C=90°,其余证相似的条件推不出,故选C (3)∵∠ADC=120°,∴∠A=60 ∵AD=AB,∴△ABD是等边三角形 ∴BD=AB=15,即B、D两点之间的距离为15,故选A
(3)(2010·宜 昌)如图，在菱形 ABCD 中，AB＝15，∠ADC＝120°，则 B、D 两点之间的 距离为( ) A．15 B. 15 3 2 C．7.5 D．1 5 3 【点拨】本组题综合考查矩形、菱形、正方形的性质和判定． 【解答】(1)从“对角线”方面考查矩形的判定方法，故选 C. (2)△ABE 和△CBD 只满足∠A＝∠C＝90°，其余证相似的条件推不出，故 选 C. (3)∵∠ADC＝120°，∴∠A＝60°. ∵AD＝AB，∴△ABD 是等边三角形． ∴BD＝AB＝1 5，即 B、D 两点之间的距离为 1 5，故 选 A
>例2(2010聊城)如图,在等边三角形ABC中,点D是BC边的中点,以AD为边 作等边三角形ADE (1)求∠CAE的度数 (2)取AB边的中点F,连结CF、CE,试证明四边形AFCE是矩形 【点拨】本题综合考查等边三角形的性质和矩形的判定 【解答】(1)在等边△ABC中,∵点D是BC边的中点,∴∠DAC=30°又∵△ADE是 等边三角形,∴∠DAE=60°∴∠CAE=∠DAE-∠DAC=60°—30°=30 2)由(1)知,∠EAF=90° 由F为AB的中点知,∠CFA=90°,∴CF∥EA 在等边三角形ABC中,CF=AD 在等边三角形ADE中,AD=EA,∴CF=EA ∴四边形AFCE为平行四边形 又∠CFA=90°,∴四边形AFCE为矩形
(2010·聊 城)如图，在等边三角形 ABC 中，点 D 是 B C 边的中点，以 AD 为 边 作等边三角形 ADE. (1)求∠CAE 的度数； (2)取 AB 边的中点 F，连结 CF、CE，试证明四边形 AFCE 是矩形． 【点拨】本题综合考查等边三角形的性质和矩形的判定． 【解答】(1)在等边△AB C 中，∵点 D 是 BC 边的中点，∴∠DAC＝30°.又∵△ADE 是 等边三角形，∴∠DAE＝60°.∴∠CAE＝∠DAE－∠DAC＝60°－30°＝30°. (2)由(1)知，∠EAF＝90°. 由 F 为 AB 的中点知，∠CFA＝90°，∴CF∥EA. 在等边三角形 ABC 中，C F＝AD. 在等边三角形 ADE 中，AD＝E A，∴CF＝EA. ∴四边形 AFCE 为平行四边形． 又∵∠CFA＝90°，∴四边形 AFCE 为矩形．
例3(2010·安徽)如图,AD∥FE,点B、C在AD上,∠1=∠2,BF=BC (1)求证:四边形BCEF是菱形; (2)若AB=BC=CD,求证:△ACF≌△BDE 【点拨】本题综合考查菱形的判定和全等三角形的判定 【解答】(1)证明:∵AD∥FE,∴∠FEB=∠2.∴∠1=∠2,∴∠FEB=∠1,∴BF=EF ∵BF=BC,∴BC=EF,∴四边形BCEF是平行四边形 又∵BF=BC,∴BCEF是菱形 2证明:∵EF=BC,AB=BC=CD,AD∥FE ∴四边形ABEF、四边形CDEF均为平行四边形 ∴AF=BE,FC=ED,又∵AC=2BC=BD, ∴△ACF≌△BDE(SSS)
(2010·安 徽)如图，AD∥FE，点 B、C 在 AD 上，∠1＝∠2，BF＝BC. (1)求证：四边形 BCEF 是菱形； (2)若 AB＝BC＝CD，求证：△ACF≌ △BDE. 【点拨】本题综合考查菱形的判定和全等三角形的判定． 【解答】(1)证明：∵AD∥FE，∴∠FEB＝∠2.∵ ∠1＝∠2，∴∠FEB＝∠1，∴BF＝EF. ∵BF＝B C，∴BC＝EF，∴四边形 BCEF 是平行四边形． 又∵BF＝BC，∴▱BCEF 是菱形． (2)证明：∵EF＝B C，AB＝BC＝CD，AD∥FE. ∴四边形 ABEF、四边形 CDEF 均为平行四边形． ∴AF＝BE，F C＝ED，又∵AC＝2BC＝BD， ∴△ACF≌△BDE(SSS)．
举一反