◇上精品站,下原创精品。 全国最大的教学资源网站WWw.zXXK.cOM 学科网原创精品官方网站 JPZXXK.coM 本网大部分资源来源于会员上传,除本网组织的资源外,版权归原作者所有 2011-2012学年高一数学必修1(人教版)同步练习第三章 第二节函数模型及其应用 教学内容 函数模型及其应用 重点、难点 利用函数解决实际问题 1.将实际问题抽象为具体函数 (1)确定x,通常为自由变化的量 (2)确定y,通常为所求的值 (3)建立函数关系y=∫(x),通常利用一些实际定义 例如:利润=销售额一成本销售额=单价×数量 面积公式:距离=速度×时间等 (4)确定函数的定义域 利用函数相关内容,解决数学问题 【典型例题】 [例1]某产品进货单价40元,按50元一个出售可卖出500个,若每涨价1元,其销售量就减少10个。 (1)定价 元时,日销售额最大为 (2)定价 元时,日利润最大为 解:设定价x元,日销售为y元 y=x[500-(x-50)10]=-10x2+1000x x=50时,y (2)设定价x元,日利润y元 y=(x-40[500-(x-50)·10]=-10x2+1400x-40000 70时,y 9000 [例2]A地产汽油,B地需汽油,只能用汽车运输。汽车满载的油量等于汽车往返A、B两地所需油耗,故 无法直接由A运到B,在A、B之间建立一个中转汽油库P,从A将油运至P,再由P运至B,为使运油 B地收到的油 率最大。(运油率A地运出的油)P的位置应满足AP= 解:设AB=1,AP=X∈(01),设A地有油M吨 由A→P,P地为(1-x)M由P→B,B地为x(1-x)M x(1-x)M x+x=-lX 运油率 M 5842525658425257 北学易科技有限公司 邮政编码:102413
第1页 2011-2012 学年高一数学必修 1（人教版）同步练习第三章 第二节函数模型及其应用 一. 教学内容： 函数模型及其应用 二. 重点、难点： 利用函数解决实际问题 1. 将实际问题抽象为具体函数 （1）确定 x ，通常为自由变化的量 （2）确定 y ，通常为所求的值 （3）建立函数关系 y = f (x) ，通常利用一些实际定义 例如：利润=销售额－成本 销售额=单价×数量 面积公式：距离=速度×时间等 （4）确定函数的定义域 2. 利用函数相关内容，解决数学问题 【典型例题】 [例 1] 某产品进货单价 40 元，按 50 元一个出售可卖出 500 个，若每涨价 1 元，其销售量就减少 10 个。 （1）定价 元时，日销售额最大为 。 （2）定价 元时，日利润最大为 。 解：设定价 x 元，日销售为 y 元 ∴ y = x [500 − (x − 50)10] 10x 1000x 2 = − + ∴ x = 50 时， ymax = 25000 元 （2）设定价 x 元，日利润 y 元 y = (x − 40)[500 − (x − 50)10] 10 1400 40000 2 = − x + x − ∴ x = 70 时， ymax = 9000 元 [例 2] A 地产汽油，B 地需汽油，只能用汽车运输。汽车满载的油量等于汽车往返 A、B 两地所需油耗，故 无法直接由 A 运到 B，在 A、B 之间建立一个中转汽油库 P，从 A 将油运至 P，再由 P 运至 B，为使运油 率最大。（运油率 地运出的油 地收到的油 A B = ）P 的位置应满足 AP= AB。 解：设 AB=1， AP = x (0,1) ，设 A 地有油 M 吨 由 A→P，P 地为 (1− x) M 由 P→B，B 地为 x (1− x)M ∴ 运油率 4 1 ) 2 1 ( (1 ) 2 2 = − + = − − + − = x x x M x x M y
◇上精品站,下原创精品。 全国最大的教学资源网站WWw.zXXK.cOM 学科网原创精品官方网站 JPZXXK.coM 本网大部分资源来源于会员上传,除本网组织的资源外,版权归原作者所有 y [例3]某厂今年1、2、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、13万件。为了估计以后每个月的产量, 以这三个月的产品数量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系,模拟函数可以选用二 次函数或函数y=a·b+C。已知4月份该产品的产量为1.37万件,请问用以上哪个函数作为模拟函数 较 解:(1)设y=f(x)=px2+qx+r(P≠0) f(1)=1 P=-005 f(2)=12→{q=0.35 由(3)=13(=07f(x)=-003x2+0.35x+07 设y=g(x)=ab2+c 0.8 g(2)=12→b=0.5 g(3)=13c=14 g(x)=-0.8·()2+14 f(4)=1.3万,8(4)=1.35 1.37-13k41.37-1.30∴:y=g(x)作为模拟函数误差较小 [例4]某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知从二月一日起的300天内,西红柿的市场售价与上市 时间的关系用图I所示的一条折线表示,西红柿的种值成本与上市时间用所示抛物线表示 (1)写出图1、图Ⅱ的函数关系式。P=f(1),Q=g() (2)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的收益最大 200 150 100 杯()=a1+b(01≤20 a121+b2(200<t≤300) f(0)=300,f(200=100.f(300)=300 5842525658425257 北学易科技有限公司 邮政编码:102413
第2页 ∴ 2 1 x = 时， 4 1 ymax = [例 3] 某厂今年 1、2、3 月生产某种产品分别为 1 万件、1.2 万件、1.3 万件。为了估计以后每个月的产量， 以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量 y 与月份 x 的关系，模拟函数可以选用二 次函数或函数 y a b c x = + 。已知 4 月份该产品的产量为 1.37 万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数 较好。 解：（1）设 y = f x = px + qx + r 2 ( ) ( p 0) 由 = = = (3) 1.3 (2) 1.2 (1) 1 f f f = = = − 0.7 0.35 0.05 r q p ( ) 0.05 0.35 0.7 2 f x = − x + x + 设 y g x a b c x = ( ) = + = = = (3) 1.3 (2) 1.2 (1) 1 g g g = = = − 1.4 0.5 0.8 c b a ) 1.4 2 1 ( ) = −0.8( + x g x f (4) = 1.3 万， g(4) = 1.35 万 ∵ |1.37 −1.35 ||1.37 −1.30 | ∴ y = g(x) 作为模拟函数误差较小 [例 4] 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知从二月一日起的 300 天内，西红柿的市场售价与上市 时间的关系用图 I 所示的一条折线表示，西红柿的种值成本与上市时间用 II 所示抛物线表示。 （1）写出图 I、图 II 的函数关系式。 P = f (t) ，Q = g(t) （2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的收益最大。 解： + + = (200 300) (0 200) ( ) 2 2 1 1 a t b t a t b t f t ∵ f (0) = 300 ， f (200) = 100， f (300) = 300
◇上精品站,下原创精品。 全国最大的教学资源网站WWw.zXXK.cOM 学科网原创精品官方网站 JPZXXK.coM 本网大部分资源来源于会员上传,除本网组织的资源外,版权归原作者所有 200a4+b b1=300 b2=100|a2=2 300a2+b2=300b2=-300 f(t)= 2t-3002000 x∈(-∞,-20)(0+∞)1) 解:由题意x2+20x=8x-6a-3即(x2+12x+(6+3)=0(2) ①△=0 (2)的解为x=-6不合题意 5842525658425257 北学易科技有限公司 邮政编码:102413
第3页 ∴ + = + = + = = 300 300 200 100 200 100 300 2 2 2 2 1 1 1 a b a b a b b = − = = = − 300 2 300 1 2 2 1 1 b a b a ∴ − − = 2 300(200 300) 300 (0 200) ( ) t t t t f t ( ) ( 150) 100 2 g t = a t − + g(50) = 150 200 1 a = ∴ ( 150) 100 200 1 ( ) 2 g t = t − + 设纯收益 h(t) = f (t) − g(t) − + − − + + = (200 300) 2 1025 2 7 200 1 (0 200) 2 175 2 1 200 1 ( ) 2 2 t t t t t t h t − − + − − + = ( 350) 100(200 300) 200 1 ( 50) 100(0 200) 200 1 2 2 t t t t ∴ t [0,200] 时 t = 50， h(t)max =100 t (200,300] 时 t = 300， h(t)max = 87.5 ∴ t = 50 时， h(t) 最大 ∴ 从二月一日起的第 50 天时上市的西红柿收益最大 [例 5] 某报刊摊点从报社批发进某种晚报的价格是每份 0.12 元，卖出价格为每份 0.2 元，卖不完的报纸可 以每份 0.04 元的价格退回报社，在每月中（30 天计）有 20 天每天可以卖出 400 份，有 10 天只能卖出 250 份。设每天从报社买进相同数额的报纸问应每天买进多少份，才能使每月获利润最大。 解：设每天买进 x 份， 250 x 400， x N ，利润为 y y = (0.2 − 0.12)x 20 + (0.2 − 0.12) 250 10 − (x − 250)(0.12 − 0.04)10 = 0.8x + 400 ∴ x = 400 时 ymax = 720 元 [例 6] 若关于 x 的方程， lg( 20 ) lg(8 6 3) 0 2 x + x − x − a − = 有唯一实数解，求实数 a 取值范围。 解：由题意 + = − − + 20 8 6 3 20 0 2 2 x x x a x x 即 + + + = − − + 12 (6 3) 0(2) ( , 20) (0, )(1) 2 x x a x ① = 0 时 2 11 a = （2）的解为 x = −6 不合题意
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第4页 ② 0 时， − (0) 0 ( 20) 0 f f 2 1 6 163 − a − ∴ ) 2 1 , 6 163 a [− − 时方程有唯一解 [例 7] 政府收购某种农产品的原价格为 200 元/担，其中征税率标准为每 100 元征 10 元（称税率为 10%）， 并计划收购 a 万担，为了减轻农民负担，现决定将税率降低 x 个百分点，预计收购量可增加 2x 个百分点。 （1）写出税收 y 与 x 的函数关系式； （2）要使此项税收在税率调节后不低于原计划税收的 83.2%，试确定 x 的取值范围。 解：（1）调节后税率为 (10 − x)% ，预计可收购为 a(1+ 2x%) 万担 ∴ y = 200a(1+ 2x%)(10 − x)% ( 40 500) 25 2 = −x − x + a (0 x 10) （2）原计划税收为 200a10% = 20a 万元 依题意： ( 40 500) 20 83.2% 25 2 −x − x + a a 40 500 416 2 − x − x + 40 84 0 2 x + x − − 42 x 2 ∵ x (0,10) ∴ x (0,2] [例 8] 公园要建造一个圆形的喷水池在水池，中央垂直于水面安装一个花形柱子 OA，O 恰在水面中心， OA =1.25m ，安置在柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下， 且在过 OA 的任一平面上抛物线路径如图所示，为使水流形状较为漂亮，设计成水流到 OA 距离 1 米处达 到距水面最大高度 2.25m。如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落 到池外。 解：抛物线 ( 1) 2.25 2 y = a x − + A(0,1.25) ∴ a = −1 ∴ ( 1) 2.25 2 y = − x − + y = 0 时 x = 2.5 ∴ 水池半径至少 2.5m 才能使水不落在池外
◇上精品站,下原创精品。 全国最大的教学资源网站WWw.zXXK.cOM 学科网原创精品官方网站 JPZXXK.coM 本网大部分资源来源于会员上传,除本网组织的资源外,版权归原作者所有 A 【模拟试题】(答题时间:30分钟) 1.ABCD是一个单位正方形,在正方形内⊙O1与⊙O2相外切,且⊙O1与AB、AD两边相切,⊙O2与 BC、CD两边相切,两圆半径各为多少时,两圆面积之和最大或最 A 2.有一批影碟机原售价为每台800元,在甲、乙两家家电商场均有销售。甲商场用如下方法促销:买一 台单价为780元,买两台每台单价均为760元,依次类推,每多买一台则所买各台单价均减少20元,但 每台最低不能低于440元。乙商场一律按原价的75%销售,某单位需购买一批此类影碟机,问去哪家商场 购买花费较少。 3.某商品在100天内的价格f()与时间的函数关系是 f)=/4 +22(0≤t≤40,t∈N) +52(40<t≤100,t∈N) 2 l112 销售量g()与时间关系是8(0=3+3(≤1≤101∈N,求日销售额F(O的最大值 4!.某商场将空调先按原价提高40%,然后打出广告“大酬宾八折优惠”,结果每台空调比原来多赚了270 则原来每台空调多少元 5.二次函数∫(x)=x2+bx+c,x∈[-1l时f(x)20,x∈[,]时f(x)≤0 (1)求证c≥3; (2)若f(x)在区间[-11上最大值为8,求bc; (3)是否存在实数m,使得8(x)=f(x)-m2x在区间(0.+∞)上t 5842525658425257 北学易科技有限公司 邮政编码:102413
第5页 【模拟试题】（答题时间：30 分钟） 1. ABCD 是一个单位正方形，在正方形内⊙ O1 与⊙ O2 相外切，且⊙ O1 与 AB、AD 两边相切，⊙ O2 与 BC、CD 两边相切，两圆半径各为多少时，两圆面积之和最大或最小。 2. 有一批影碟机原售价为每台 800 元，在甲、乙两家家电商场均有销售。甲商场用如下方法促销：买一 台单价为 780 元，买两台每台单价均为 760 元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均减少 20 元，但 每台最低不能低于 440 元。乙商场一律按原价的 75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场 购买花费较少。 3. 某商品在 100 天内的价格 f (t) 与时间 t 的函数关系是 − + + = 52(40 100, ) 2 22(0 40, ) 4 ( ) t t N t t t N t f t 销售量 g(t) 与时间关系是 3 112 3 1 g(t) = − t + (0 t 100,t N) ，求日销售额 F(t) 的最大值。 4. 某商场将空调先按原价提高 40%，然后打出广告“大酬宾八折优惠”，结果每台空调比原来多赚了 270 元，则原来每台空调多少元。 5. 二次函数 f x = x + bx + c 2 ( ) ， x [−1,1] 时 f (x) 0 ， x [1,3] 时 f (x) 0 （1）求证 c 3 ； （2）若 f (x) 在区间 [−1,1] 上最大值为 8，求 b,c ； （3）是否存在实数 m ，使得 g x f x m x 2 ( ) = ( ) − 在区间 (0,+) 上↑
◇上精品站,下原创精品。 全国最大的教学资源网站WWw.zXXK.cOM 学科网原创精品官方网站 JPZXXK.coM 本网大部分资源来源于会员上传,除本网组织的资源外,版权归原作者所有 【试题答案】 解:设⊙O1半径为F,面积为S,⊙O2半径为2,面积为S2 √2 2-√2 r+r2 S=S1+S2=m12+m2=m12+x(2 =z{x2+(6-42)-2(2-√2)+r2] 丌{12r2-2(2-V2)+(6-42 =r[2(1 )2+(3-2√2 时 = S 或2时 解:设某单位需购买x台影碟机,差价为 ∫(800-20x)x-600x(1≤xs18) 20x(x-10)(1≤x≤18) 440x-600x(x>18) 160x(x>18) 的解为1≤x≤9 买1—9台应去乙商场,买10台甲、乙均可。买10台以上应去甲商场 F()=f(0)8()=.12-12)2+25907540 (t-108)2-(40<t≤100) 1∈[0.40时t=12,F()=2500 4873 r∈(40100时t=41时, F(r 500 解:设原价为x (1+40%)80%-x=2700.12x=270x=2250 解:(1)∵f(1)=0∴:b+c=-1 f(3)=9+3b+c=9-3c-3+c=6-2c≤0∴c≥3 5842525658425257 北学易科技有限公司 邮政编码:102413
第6页 【试题答案】 1. 解：设⊙ O1 半径为 1 r ，面积为 1 S ，⊙ O2 半径为 2 r ，面积为 2 S ∵ r1 + r2 + 2r1 + 2r2 = 2 2 2 2 1 2 1 2 = − + r + r = 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 S = S + S = r + r = r + (2 − 2 − r ) [ (6 4 2) 2(2 2) ] 2 1 1 2 1 = r + − − − r + r [2 2(2 2) (6 4 2)] 1 2 = r1 − − r + − ) (3 2 2)] 2 2 2 [2( 2 1 + − − = r − ] 2 1 2, 2 3 [ r1 − ∴ 2 2 r1 = 1− 时， Smin = 3 − 2 2 2 2 3 r1 = − 或 2 1 时， (9 6 2) 2 1 Smax = − 2. 解：设某单位需购买 x 台影碟机，差价为 y − − − = 440 600 ( 18) (800 20 ) 600 (1 18) x x x x x x x y ∴ y = − − − 160 ( 18) 20 ( 10)(1 18) x x x x x y 0 的解为 1 x 9 ∴ 买 1—9 台应去乙商场，买 10 台甲、乙均可。买 10 台以上应去甲商场。 3. 解： − − − − + = = (40 100) 3 8 ( 108) 6 1 (0 40) 3 2500 ( 12) 12 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 t t t t F t f t g t t [0,40] 时 t =12， 3 2500 ( ) F t max = t (40,100] 时 t = 41 时， 6 4873 ( ) F t max = ∴ t =12 时， 3 2500 ( ) F t max = 4. 解：设原价为 x x(1+ 40%)80% − x = 270 0.12x = 270 x = 2250 5. 解：（1）∵ f (1) = 0 ∴ b + c = −1 f (3) = 9 + 3b + c = 9−3c −3+ c = 6− 2c 0 ∴ c 3
上精品的,下原创精品。 全国最大的教学资源网站WWw.zXXK.cOM 学科网原创精品官方网站 JPZXXK.coM 本网大部分资源来源于会员上传,除本网组织的资源外,版权归原作者所有 (2)f(x)=x-(c+1)x+c=(x-1)x-c):[-1l为↓ ∴Jm=f(-1)=1+c+1+c=8 (3)8(x)=f(x)-mx=x2-(c+1+m)x+c (c+1+m2)1 (c+1+m2)∈[2,+∞) 对称轴 [0,2]为 m不存在 5842525658425257 北学易科技有限公司 邮政编码:102413
第7页 （2） ( ) ( 1) ( 1)( ) 2 f x = x − c + x + c = x − x − c ∴ [−1,1] 为↓ ∴ ymax = f (−1) =1+ c +1+ c = 8 ∴ c = 3，b = −4 （3） g x f x m x 2 ( ) = ( ) − = x − (c +1+ m )x + c 2 2 对称轴 ( 1 ) [2, ) 2 1 2 ( 1 ) 2 2 = + + + − + + − c m c m ∴ [0,2] 为↓ ∴ m 不存在