第三章综合素能检测 本试卷分第I卷(选择题和第Ⅱ卷(非选择题两部分。满分150 分。考试时间120分钟。 第Ⅰ卷(选择题共60分) 、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每 小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。) 1.给出下列四个命题:①函数fx)=3x-6的零点是2;②函数 f(x)=x2+4x+4的零点是-2;③函数x)=logx-1)的零点是1;④ 函数fx)=2x-1的零点是0.其中正确的个数为( B.2 C.3 D.4 2.若函数y=x)在区间卩04]上的图象是连续不断的曲线,且方 程fx)=0在(0,4)内仅有一个实数根,则fO)4)的值() A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.无法判断 3.函数f(x)=ax+b的零点是-1(a≠0),则函数g(x)=ax2+bx 的零点是() A.-1 B.0 C.-1和0 D.1和0 4.方程lgx+x-2=0一定有解的区间是( A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 5.某商场对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额, ①如果不超过200元,则不予优惠 ②如果超过200元,但不超过500元,则按标准价给予9折优惠 ③如果超过500元,则其500元按第②条给予优惠,超过500元 的部分给予7折优惠 某人两次去购物,分别付款168元和423元,假设他只去一次购 买上述同样的商品,则应付款是( A.413.7元 B.513.6元 C.5466元 D.548.7元 6.设函数x) x,x∈(-∞,1 ,则方程f(x)=的解为 logs;x,x∈(1,+∞)
第三章综合素能检测 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每 小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。) 1．给出下列四个命题：①函数 f(x)＝3x－6 的零点是 2；②函数 f(x)＝x 2＋4x＋4 的零点是－2；③函数 f(x)＝log3(x－1)的零点是 1；④ 函数 f(x)＝2 x－1 的零点是 0.其中正确的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 2．若函数 y＝f(x)在区间[0,4]上的图象是连续不断的曲线，且方 程 f(x)＝0 在(0,4)内仅有一个实数根，则 f(0)·f(4)的值( ) A．大于 0 B．小于 0 C．等于 0 D．无法判断 3．函数 f(x)＝ax＋b 的零点是－1(a≠0)，则函数 g(x)＝ax2＋bx 的零点是( ) A．－1 B．0 C．－1 和 0 D．1 和 0 4．方程 lgx＋x－2＝0 一定有解的区间是( ) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 5．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额， ①如果不超过 200 元，则不予优惠． ②如果超过 200 元，但不超过 500 元，则按标准价给予 9 折优惠． ③如果超过 500 元，则其 500 元按第②条给予优惠，超过 500 元 的部分给予 7 折优惠． 某人两次去购物，分别付款 168 元和 423 元，假设他只去一次购 买上述同样的商品，则应付款是( ) A．413.7 元 B．513.6 元 C．546.6 元 D．548.7 元 6．设函数 f(x)＝ 2－x，x∈(－∞，1] log81x，x∈(1，＋∞) ，则方程 f(x)＝ 1 4 的解为 ( )
B.3 C.3或 D.无解 (08山东文)已知函数fx)=log(2x+b-1)a>0,a≠1)的图象 如图所示,则a、b满足的关系是() A.0P(2005) D.P(2007)>P(2008) 9.已知函数x)的图象如图,则它的一个可能的解析式为( 4 (1 B x+1
A. 7 4 B．3 C．3 或 7 4 D．无解 7．(08·山东文)已知函数 f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象 如图所示，则 a、b 满足的关系是( ) A．0P(2 005) D．P(2 007)>P(2 008) 9．已知函数 f(x)的图象如图，则它的一个可能的解析式为( ) A．y＝2 x B．y＝4－ 4 x＋1
C. y=log (x+1) D (x≥0) 10.已知二次函数fx)=ax2+bx+cx∈R)的部分对应值如表 x 则使ax2+bx+c>0成立的x的取值范围是() A.(-10,-1)∪(1+∞) 1)∪(3+∞) C.(-1,3) D.(0,+∞) 1].方程4-3×2+2=0的根的个数是( A.0 B.1 C.2 D.3 12.若方程m-x-m=0m>0,且m≠1)有两个不同实数根, 则m的取值范围是() B.00 D.m>2 第 、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确 答案填在题中横线上) y 13.已知y=x(x-1)(x+1)的图象如图所示,令fx)=x(x-1)(x+ 1)+0.01,则下列关于f(x)=0的解叙述正确的是 ①有三个实根 ②x>1时恰有一实根 ③当0<x<1时恰有一实根 ④当-1<x<0时恰有一实根 ⑤当x<-1时恰有一实根(有且仅有一实根 14.某工程由A、B、C、D四道工序完成,完成它们需用的时间 依次2、5、x、4天,四道工序的先后顺序及相互关系是:A、B可以
C．y＝log3(x＋1) D．y＝x 1 3 (x≥0) 10．已知二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如表. x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 … y －24 －10 0 6 8 6 0 －10 －24 … 则使 ax2＋bx＋c＞0 成立的 x 的取值范围是( ) A．(－10，－1)∪(1＋∞) B．(－∞，－1)∪(3＋∞) C．(－1,3) D．(0，＋∞) 11．方程 4 x－3×2 x＋2＝0 的根的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 12．若方程 mx－x－m＝0(m＞0，且 m≠1)有两个不同实数根， 则 m 的取值范围是( ) A．m＞1 B．0＜m＜1 C．m＞0 D．m＞2 第 二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确 答案填在题中横线上) 13．已知 y＝x(x－1)(x＋1)的图象如图所示．令 f(x)＝x(x－1)(x＋ 1)＋0.01，则下列关于 f(x)＝0 的解叙述正确的是________． ①有三个实根； ②x＞1 时恰有一实根； ③当 0＜x＜1 时恰有一实根； ④当－1＜x＜0 时恰有一实根； ⑤当 x＜－1 时恰有一实根(有且仅有一实根)． 14．某工程由 A、B、C、D 四道工序完成，完成它们需用的时间 依次 2、5、x、4 天，四道工序的先后顺序及相互关系是：A、B 可以
同时开工;A完成后,C可以开工;B、C完成后,D可以开工,若 完成该工程总时间数为9天,则完成工序C需要的天数x最大为 15.已知抛物线y=ax2与直线y=kx+1交于两点,其中一点坐 标为(1,4),则另一个点的坐标为 3(x≤0) 16.已知函数2lg>),则方程)=3的解为 三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) 17.(本题满分10分)方程x2-=0在(-∞,0)内是否存在实数 解?并说明理由 18.(本题满分12分)北京市的一家报刊摊点,从报社买进《北 京日报》的价格是每份0.20元,卖出的价格是每份030元,卖不掉 的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社,在一个月(30天计算)里 有20天每天可卖出400份,其余10天每天只能卖出250份,但每天 从报社买进的份数必须相同,这个摊主每天从报社买进多少份,才能 使每月所获的利润最大?并计算他一个月最多可赚得多少元? 19.(本题满分12分)若关于x的方程x2-2ax+2+a=0有两个 不相等的实根,求分别满足下列条件的a的取值范围 (1)方程两根都大于1 (2)方程一根大于1,另一根小于 20.(本题满分12分)某化工厂生产的一种溶液,按市场要求, 杂质含量不能超过0.%若初时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含 量减少2,问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求?(已知:1g2 0.3010,1g3=0.4771) 21.(本小题满分12分)某地区2000年底沙漠面积为95万公顷, 为了解该地区沙漠面积的变化情况,进行了连续5年的观测,并将每 年年底的观测结果记录如下表,根据此表所给的信息进行预测 (1)如果不釆取任何措施,那么到2015年底,该地区的沙漠面积 将大约变为多少万公顷? (2)如果从2005年底后采取植树造林措施,每年改造0.6万公顷 的沙漠,那么到哪一年年底该地区沙漠面积将减少到90万公顷? 22.(本小题满分12分)某电器公司生产A型电脑2007年这种电 脑每台平均生产成本为5000元,并以纯利润20%确定出厂价,从2008
同时开工；A 完成后，C 可以开工；B、C 完成后，D 可以开工，若 完成该工程总时间数为 9 天，则完成工序 C 需要的天数 x 最大为 ________． 15．已知抛物线 y＝ax2与直线 y＝kx＋1 交于两点，其中一点坐 标为(1,4)，则另一个点的坐标为______． 16 ．已知函数 f(x)＝ 3 x (x≤0) log9x(x＞0) ，则方程 f(x)＝ 1 3 的解为 ________． 三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤) 17．(本题满分 10 分)方程 x 2－ 1 x ＝0 在(－∞，0)内是否存在实数 解？并说明理由． 18．(本题满分 12 分)北京市的一家报刊摊点，从报社买进《北 京日报》的价格是每份 0.20 元，卖出的价格是每份 0.30 元，卖不掉 的报纸可以以每份 0.05 元的价格退回报社．在一个月(30 天计算)里， 有 20 天每天可卖出 400 份，其余 10 天每天只能卖出 250 份，但每天 从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能 使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？ 19．(本题满分 12 分)若关于 x 的方程 x 2－2ax＋2＋a＝0 有两个 不相等的实根，求分别满足下列条件的 a 的取值范围． (1)方程两根都大于 1； (2)方程一根大于 1，另一根小于 1. 20．(本题满分 12 分)某化工厂生产的一种溶液，按市场要求， 杂质含量不能超过 0.1%.若初时含杂质 2%，每过滤一次可使杂质含 量减少1 3 ，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg2 ＝0.301 0，lg3＝0.477 1) 21．(本小题满分 12 分)某地区 2000 年底沙漠面积为 95 万公顷， 为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续 5 年的观测，并将每 年年底的观测结果记录如下表，根据此表所给的信息进行预测： (1)如果不采取任何措施，那么到 2015 年底，该地区的沙漠面积 将大约变为多少万公顷？ (2)如果从 2005 年底后采取植树造林措施，每年改造 0.6 万公顷 的沙漠，那么到哪一年年底该地区沙漠面积将减少到 90 万公顷？ 22．(本小题满分 12 分)某电器公司生产 A 型电脑.2007 年这种电 脑每台平均生产成本为5 000 元，并以纯利润20%确定出厂价，从2008
年开始,公司通过更新设备和加强管理,使生产成本逐年降低,到 20l1年,尽管A型电脑出厂价仅是2007年出厂价的80%,但却实现 了50%纯利润的高效益 (1)求2011年每台A型电脑的生产成本 (2)以2007年生产成本为基数,求2007~2011年生产成本平均每 年降低的百分率(精确到1%,注:√5≈2236,v6≈2449) 观测时/2001年2002年2003年204年2005年 底 底 底 底 底 比原有面 积增加数0.2000040000.6001079991.0001 (万公顷) 详解答案 l[答案]C [解析当log3(x-1)=0时,x-1=1,x=2,故③错,其余都对 2答案]D [解析]如图()和(2)都满足题设条件 (1) 3[答案]C 解析]由条件知f-1)=0,∴b=a,:g(x)=ax2+bx=ax(x+1) 的零点为0和-1 4答案]B [解析]∵f1)=-10
年开始，公司通过更新设备和加强管理，使生产成本逐年降低，到 2011 年，尽管 A 型电脑出厂价仅是 2007 年出厂价的 80%，但却实现 了 50%纯利润的高效益． (1)求 2011 年每台 A 型电脑的生产成本； (2)以 2007 年生产成本为基数，求 2007～2011 年生产成本平均每 年降低的百分率(精确到 1%，注： 5≈2.236， 6≈2.449)． 观测时间 2001 年 底 2002 年 底 2003 年 底 2004 年 底 2005 年 底 比原有面 积增加数 (万公顷) 0.200 0 0.400 0 0.600 1 0.799 9 1.000 1 详解答案 1[答案] C [解析]当 log3(x－1)＝0 时，x－1＝1，∴x＝2，故③错，其余都对． 2[答案] D [解析] 如图(1)和(2)都满足题设条件． 3[答案] C [解析] 由条件知 f(－1)＝0，∴b＝a，∴g(x)＝ax2＋bx＝ax(x＋1) 的零点为 0 和－1. 4[答案] B [解析] ∵f(1)＝－1＜0，f(2)＝lg2＞0
x)在(1,2)内必有零点 5[答案]C 423 解析]两次购物标价款:168+09=168+470=638(元), 实际应付款:500×09+138×0.7=5466(元) 6[答案]B [解析]当x≤1时2-x=4:x=4(舍) 当x1时logw=x=3,故选B 7[答案]A [解析]令g(x)=2x+b-1,则函数g(x)为增函数,又由图象可 知,函数fx)为增函数, a>1,又当x=0时,-1P(2005)正确 又P(2007)=P(2005)+P(2)=403, P(2008)=P(2005)+P(3)=404, P(2007)P(2008)错误 9答案]B [解析]由于过(12)点,排除C、D;由图象与直线y=4无限接 近,但到达不了,即y0成立的x的取值范围是(-1,3) 11答案]C [解析]由4x-3×2x+2=0,得(2)2-3×2x+2=0,解得2x=2
∴f(x)在(1,2)内必有零点． 5[答案] C [解析] 两次购物标价款：168＋ 423 0.9＝168＋470＝638(元)， 实际应付款：500×0.9＋138×0.7＝546.6(元)． 6[答案] B [解析] 当 x≤1 时 2－x＝ 1 4 ∴x＝ 7 4 (舍) 当 x>1 时 log81x＝ 1 4 ∴x＝3，故选 B. 7[答案] A [解析] 令 g(x)＝2 x＋b－1，则函数 g(x)为增函数，又由图象可 知，函数 f(x)为增函数， ∴a>1，又当 x＝0 时，－1P(2 005)正确． 又 P(2 007)＝P(2 005)＋P(2)＝403， P(2 008)＝P(2 005)＋P(3)＝404， ∴P(2 007)>P(2 008)错误． 9[答案] B [解析] 由于过(1,2)点，排除 C、D；由图象与直线 y＝4 无限接 近，但到达不了，即 y＜4 知排除 A，∴选 B. 10[答案] C [解析] 由表可知 f(x)的两个零点为－1 和 3，当－1＜x＜3 时 f(x) 取正值∴使 ax2＋bx＋c＞0 成立的 x 的取值范围是(－1,3)． 11[答案] C [解析] 由 4 x－3×2 x＋2＝0，得(2x ) 2－3×2 x＋2＝0，解得 2 x＝2
或2x=1,x=0,或x=1 12[答案]A y=r+m (m>1) y=rtm (01时,如图(1) 有两个不同交点当03时,fx)=2+x+4=6+x, x≤3 f(x) 6+xx3 工程所用总天数fx)=9, ¨x≤3,x最大值为3 15答案](4,4 a×12=4 4 [解析]由条件知 k+1=4
或 2 x＝1，∴x＝0，或 x＝1. 12[答案] A [解析] 方程 mx－x－m＝0 有两个不同实数根，等价于函数 y＝ mx 与 y＝x＋m 的图象有两个不同的交点．显然当 m＞1 时，如图(1) 有两个不同交点当 0＜m＜1 时，如图(2)有且仅有一个交点．故选 A. 13[答案] ①⑤ [解析] f(x)的图象是将函数 y＝x(x－1)(x＋1)的图象向上平移 0.01 个单位得到．故 f(x)的图象与 x 轴有三个交点，它们分别在区间(－ ∞，－1)，(0， 1 2 )和( 1 2 ，1)内，故只有①⑤正确． 14[答案] 3 [解析] 如图，A(2 天)→C(x)天 B(5 天)D(4 天) 设工程所用总天数为 f(x)，则由题意得： 当 x≤3 时，f(x)＝5＋4＝9， 当 x>3 时，f(x)＝2＋x＋4＝6＋x， ∴f(x)＝ 9 x≤3 6＋x x>3 ， ∵工程所用总天数 f(x)＝9， ∴x≤3，∴x 最大值为 3. 15[答案] (－ 1 4 ， 1 4 ) [解析] 由条件知 a×1 2＝4 k＋1＝4 ∴ a＝4 k＝3
y 由 得 或 y=3x+1 y=4 16答案]-1或 解析]由条件知3或 logar 3 x>0 或x= 17解析]不存在,因为当x0恒成立,故不存在x∈(-∞,0),使x2-=0 l8解析]设每天从报社买进x份报纸,每月获得的总利润为y 元,则依题意有 y=0.10(20x+10×250)-0.15×10(x-250) =0.5x+625,x∈[250.400]. 该函数在250,400]上单调递增,所以x=400时,yax=825G元) 答:摊主每天从报社买进400份时,每月所获得的利润最大,最 大利润为825元 19解析]设八x)=x2-2ax+2+a (1)两根都大于1, △=4a2-4(2+a)>0 a>1 解得20 (2)方程一根大于1,一根小于1, 1)3 20解析设过速n次,则(=1m
由 y＝4x 2 y＝3x＋1 得， x＝－ 1 4 y＝ 1 4 或 x＝1 y＝4 . 16[答案] －1 或 3 9. [解析] 由条件知 3 x＝ 1 3 x≤0 或 log9x＝ 1 3 x＞0 ∴x＝－1 或 x＝ 3 9 17[解析] 不存在，因为当 x＜0 时，－1 x ＞0 ∴x 2－ 1 x ＞0 恒成立，故不存在 x∈(－∞，0)，使 x 2－ 1 x ＝0. 18[解析] 设每天从报社买进 x 份报纸，每月获得的总利润为 y 元，则依题意有 y＝0.10(20x＋10×250)－0.15×10(x－250) ＝0.5x＋625，x∈[250,400]． 该函数在[250,400]上单调递增，所以 x＝400 时，ymax＝825(元)． 答：摊主每天从报社买进 400 份时，每月所获得的利润最大，最 大利润为 825 元． 19[解析] 设 f(x)＝x 2－2ax＋2＋a (1)∵两根都大于 1， ∴ Δ＝4a 2－4(2＋a)>0 a>1 f(1)＝3－a>0 ，解得 23. 20[解析] 设过滤 n 次，则 2 100· 2 3 n≤ 1 1 000
201+ 即≤ 74 20 1g3-le 又∵:n∈N, n≥8,即至少要过滤8次才能达到市场要求 2I[解析]」()由表观察知,沙漠面积增加数y与第x年年底之间 的图象近似地为一次函数y=kx+b的图象.将x=1,y=02与 x=2,y=0.4代入y=kx+b,求得k=02,b=0,所以y=0.2xx∈ N).因为原有沙漠面积为95万公顷,则到2015年底沙漠面积大约为 95+02×15=98万公顷) (2)设从2011年算起,第x年年底该地区沙漠面积能减少到90 万公顷 由题意,得95+02x-0.6(x-5)=90 解得x=20(年).故到2020年底,该地区沙漠面积减少到90万 公顷 22[解析](1)2011年每台电脑的生产成本为x元,依据题意 有 x(1+50%=5000×(1+20%)×80% 解得x=3200(元) (2)设2007~2011年间每年平均生产成本降低的百分率为y, 则依据题意,得50004-y)4=3200 解得n=1-235 2 5均=1+ 舍去) 所以y=1-5≈011=1 所以,2011年每台电脑的生产成本为3200元,2007年到201l 年生产成本平均每年降低11%
即 2 3 n≤ 1 20，∴n≥ lg 1 20 lg 2 3 ＝ 1＋lg2 lg3－lg2 ≈7.4 又∵n∈N， ∴n≥8，即至少要过滤 8 次才能达到市场要求． 21[解析] (1)由表观察知，沙漠面积增加数 y 与第 x 年年底之间 的图象近似地为一次函数 y＝kx＋b 的图象．将 x＝1，y＝0.2 与 x＝2，y＝0.4 代入 y＝kx＋b，求得 k＝0.2，b＝0，所以 y＝0.2x(x∈ N)．因为原有沙漠面积为 95 万公顷，则到 2015 年底沙漠面积大约为 95＋0.2×15＝98(万公顷)． (2)设从 2011 年算起，第 x 年年底该地区沙漠面积能减少到 90 万公顷． 由题意，得 95＋0.2x－0.6(x－5)＝90， 解得 x＝20(年)．故到 2020 年底，该地区沙漠面积减少到 90 万 公顷． 22[解析] (1)设 2011 年每台电脑的生产成本为 x 元，依据题意， 有 x(1＋50%)＝5000×(1＋20%)×80%， 解得 x＝3 200(元)． (2)设 2007～2011 年间每年平均生产成本降低的百分率为 y， 则依据题意，得 5000(1－y) 4＝3 200， 解得 y1＝1－ 2 5 5 ，y2＝1＋ 2 5 5 (舍去)． 所以 y＝1－ 2 5 5 ≈0.11＝11%. 所以，2011 年每台电脑的生产成本为 3200 元，2007 年到 2011 年生产成本平均每年降低 11%