高中数学必修_第一章集合与函数的概念_课件_福尔摩斯破案记----集合.doc_大学文库

福尔摩斯破案记一一集合贵州省习水县第一中学564600袁嗣林尽管集合对于大家多不陌生,但集合与元素的关系,元素的特征,初学者理解却常犯错。下面借助福尔摩斯破案记—一集合与元素进行说明,以期对读者有所帮助线索一:集合是整体,但整体未必是集合集合是原始不定义的概念,一般地,在数学中,我们把所有的研究对象集在一起,叫构成了集合。实际上,从上述描述性的定义可以看出,集合就是一个整体例:判断下列哪些能构成集合 (1)高一(9)班所有的近视眼的同学构成集合。(2)所有的平行四边形构成集合。错解:(1)(2)都能构成集合剖析:(1)(2)都是整体。(1)很多同学认为戴眼镜就是近视眼的标准,眼睛度数多少度为近视眼无法说清,近视眼就是模棱两可的,是不可以衡量的。所以不能构成集合。(2)平行四边形是确定的,因为平行四边形是指在平面内,对边平行且相等的四边形。因此,可以构成集合正解:(1)不能构成集合,(2)能构成集合点评:集合有其特殊性:(1)构成集合的对象必须是“确定的”,其中确定是指构成集合的对象不是模棱两可的,是可以衡量的。(2)集合一般用大括号)表示。而整体只是把研究对象看成一个不同于研究对象的个体,里面的研究对象是任意的。线索二:抓住元素的含义和特征元素的特征:(1)确定性。指构成集合的元素必须是“确定的”,其中确定是指构成集合的元素不是模棱两可的,是可以衡量的(2)互异性。指构成集合的元素必须是“互不相同的, 相同的只能出现一次”(3)无序性。指构成集合的元素必须是“出现顺序是任意的”。例集合A=y=x2+4,y∈Nx∈N集合B={xy少=x+4y∈Nx∈M 是同一集合吗? 错解:集合A和集合B是同一集合。剖析;此题初学者非常容易犯错。很容易认为属性都是y=-x2+4,x∈N,J∈N,因此是相同集合。其实,元素并不一样,集合A的元素是y,集合B的元素是点(x,y),另外, 从几何角度讲,集合A表示的是函数y=-x+4x∈N,y∈N的函数值的所有取值:集合B表示的是函数y=-x+4,x∈N,y∈N图像上所有点构成的集合。正解:集合A的元素是y,集合B的元素是点(x,y),集合A表示的是函数 x2+4,x∈N,y∈N 的函数值的所有取值,由于函数是二次函数,开口向下,所以有最大值4,实际上,集合A=y≤4y∈N)={01234 ;集合B表示的是函数 y=-x2+4,x∈N,y∈N图像上所有点构成的集合。所以集合A与B不是同一集合。点评:识别描述法表示下的集合元素是什么,关键在于看()中“”左侧,右侧是元素的特征或性质。具体有以下几类

福尔摩斯破案记----集合贵州省习水县第一中学 564600 袁嗣林尽管集合对于大家多不陌生，但集合与元素的关系，元素的特征，初学者理解却常犯错。下面借助福尔摩斯破案记----集合与元素进行说明，以期对读者有所帮助。线索一：集合是整体，但整体未必是集合集合是原始不定义的概念，一般地，在数学中，我们把所有的研究对象集在一起，叫构成了集合。实际上，从上述描述性的定义可以看出，集合就是一个整体。例：判断下列哪些能构成集合（1）高一（9）班所有的近视眼的同学构成集合。（2）所有的平行四边形构成集合。错解：（1）（2）都能构成集合。剖析：（1）（2）都是整体。（1）很多同学认为戴眼镜就是近视眼的标准，眼睛度数多少度为近视眼无法说清，近视眼就是模棱两可的，是不可以衡量的。所以不能构成集合。（2）平行四边形是确定的，因为平行四边形是指在平面内，对边平行且相等的四边形。因此，可以构成集合。正解：（1）不能构成集合，（2）能构成集合。点评：集合有其特殊性：（1）构成集合的对象必须是“确定的”，其中确定是指构成集合的对象不是模棱两可的，是可以衡量的。（2）集合一般用大括号   表示。而整体只是把研究对象看成一个不同于研究对象的个体，里面的研究对象是任意的。线索二：抓住元素的含义和特征元素的特征：（1）确定性。指构成集合的元素必须是“确定的”，其中确定是指构成集合的元素不是模棱两可的，是可以衡量的（2）互异性。指构成集合的元素必须是“互不相同的，相同的只能出现一次”（3）无序性。指构成集合的元素必须是“出现顺序是任意的”。 . A = y y = −x + 4, yN, xN, B =  x, y y = −x + 4, yN, xN 例集合 2 集合（） 2 是同一集合吗？错解：集合 A 和集合 B 是同一集合。剖析;此题初学者非常容易犯错。很容易认为属性都是 y = −x + 4, xN, yN 2 ，因此是相同集合。其实，元素并不一样，集合 A 的元素是 y,集合 B 的元素是点（x,y），另外，从几何角度讲，集合 A 表示的是函数 y = −x + 4, xN, yN 2 的函数值的所有取值；集合 B 表示的是函数 y = −x + 4, xN, yN 2 图像上所有点构成的集合。正解：集合 A 的元素是 y,集合 B 的元素是点（ x,y），集合 A 表示的是函数 y = −x + 4, xN, yN 2 的函数值的所有取值，由于函数是二次函数，开口向下，所以有最大值 4，实际上，集合A = y y  4, yN= 0，1，2，3，4 ；集合 B 表示的是函数 y = −x + 4, xN, yN 2 图像上所有点构成的集合。所以集合 A 与 B 不是同一集合。点评：识别描述法表示下的集合元素是什么，关键在于看   中“ ”左侧，右侧是元素的特征或性质。具体有以下几类：

一 .xq xt型 -----元素是 x；二.x p q(x)r与t(x) p xr型 ------ 元素分别为 x 与 t(x) ；三.(x, y)(x, y) p ------元素为点（x,y）例：判断下列说法是否正确，并说明理由。（）这些数组成的集合有五个元素。 2 1 , 2 1 , 4 6 , 2 3 1 1, − （2）由a,b,c这些数组成的集合b,a,c组成的集合是同一个集合。错解：（1）（2）均正确。剖析：利用集合元素的三大特征，不难作出判断。正解：（1）不正确， 2 1 - 2 1 4 6 2 3 = ， = ，故（1）中的数构成的集合只有三个元素。（2）正确。点评：解决此类题，关键是应用集合的概念和集合元素的特征。 01 , . 2 例：已知x  ，，x 求x 0, 0; 1 1; , 0 1 0 1. 2 2 2 错解：若x = 则x = 若x = ，则x =  若x = x 则x = 或。因此x = 或x =  线索三：元素与集合的关系和集合与集合的关系按照描述性定义：构成集合的研究对象叫做集合的元素。所以研究对象要么在给定集合中，要么不在给定集合中，即元素属于给定集合或者元素不属于给定集合。如， 1N,1.5N. 下面举例说明元素的含义、元素与集合的关系和集合与集合的关系。 1.元素的含义、元素与集合的关系：     用集合语言写出来并求的值。例已知集合集合判断集合与集合的关系，若在集合中但不在集合中 a . A = 1,2,3,4 , B = 1,2,3,4,5 , A B a B , A , 错解： AB;a  B,a  A;a = 5. 剖析：集合 A 中的元素都在集合 B 中，所以集合 A 是集合 B 的子集，即 A  B ；元素与集       最易被忽视，必须在学习中引起高度重视。点评：应用元素的确定性，互异性和无序性解题，要利用他们检验解正确与否，特别是互异性综上所述，若，则或。由上可知，和都舍去，当时，集合为，符合。当时，集合为，舍去。若，则。正解：若，则此时集合为，不符合集合中元素的互异性，舍去。或，由互异性可知。 1 0 1 0 1 1 1,0 , 1 1 1,0 , 1 1 1 0 0 . 1,0 , 0 0 ,1 , 1,0 . 2 2 2 2 = − = = = = = = − − = = =  = = =  x x x x x x x x x x x x x 剖析：由确定性可知， x x x

合关系是属于与不属于的关系正解:4B;a∈B.agAa=5 点评:元素与集合关系是属于与不属于的关系; 2.集合与集合的关系:集合与集合的关系包括:包含关系;相等关系。 (1)包含关系例.已知集合A={x|x2-3x-10≤0},集合B={x|p+1≤x≤2p-1}.若BA,则实数p 的取值范围是错解:由x2-3x-10≤0得-2≤x≤5 222333的取值范国是一3 剖析:上述解答忽略了”空集是任何集合的子集″这一结论,即B=②时,符合题设应分二类:①当B≠必②当B=必. 正解:由题意有:①当B≠必时,即p+1≤2-1→p≥2 由B=A得:-2≤p+1且2p-1≤5.由-3≤p≤3.∴2≤p≤3 ②当B=时,即p+1>2p-1→p<2.由①、②得:p≤3 点评:解决有关A等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解,这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题,进行准确的分类讨论.同时须记住,空集是任何集合的子集, 是任何非空集合的真子集。 (2)相等关系例.已知集合A={a,a+b,a+2b,B={a,ac,ad}.若A=B,求c的值错解:a+b=ac且a+2b=ac2,消去b得:a+ac-2ac=0, a=0时,集合B中的三元素均为零,和元素的互异性相矛盾,故a≠0 ∴c2-2c+1=0,即c=1,但c=1时,B中的三元素又相同,故此题无解剖析:要解决c的求值问题,关键是要有方程的数学思想,此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性,无序性建立关系式.分两种情况进行讨论.(1)a+b=ac且a+2b=ac(2)a+b=ac且a+2b=ac, 正解;(1)若a+b=ac且a+2b=ac2,消去b得:a+ac2-2ac=0, a=0时,集合B中的三元素均为零,和元素的互异性相矛盾,故a≠0 c2-2c+1=0,即c=1,但c=1时,B中的三元素又相同,此时无解 (2)若a+b=ac且a+2b=ac,消去b得:2ac- a≠0,∴2c2-c-1=0,即(c-1)(2c+1)=0,又c≠1,故c=-1 点评:解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解,这需要解题后进行检验和修正。通过认真分析以上线索,福尔摩斯顺利揭开了集合与元素,集合与集合这一错综复杂的案情的本质,完美的侦破了不少高一新侦查员们日思梦想想征破的悬案

合关系是属于与不属于的关系。正解; A  B;aB,a A;a = 5. 点评：元素与集合关系是属于与不属于的关系； 2.集合与集合的关系：集合与集合的关系包括：包含关系；相等关系。（1）包含关系例..已知集合 A={x|x2－3x－10≤0}，集合 B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若 B A，则实数 p 的取值范围是________．错解：由 x 2－3x－10≤0 得－2≤x≤5．欲使 B A，只须 2 1 3 3. 2 1 5 p p p −  +   −    −  ∴ p 的取值范围是－3≤p≤3．剖析：上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论，即 B=  时，符合题设．应分二类：①当 B≠  ②当 B= ．正解：由题意有：①当 B≠  时，即 p＋1≤2p－1 p≥2．由 B A 得：－2≤p＋1 且 2p－1≤5．由－3≤p≤3．∴ 2≤p≤3. ②当 B=  时，即 p＋1>2p－1 p＜2．由①、②得：p≤3．点评：解决有关 B A 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题，进行准确的分类讨论．同时须记住，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。（2）相等关系例.已知集合 A={ a , a ＋b, a ＋2b}，B={ a , a c, a c 2 }．若 A=B，求 c 的值．错解： a ＋b= a c 且 a ＋2b= a c 2，消去 b 得： a ＋ a c 2－2 a c=0， a =0 时，集合 B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故 a ≠0． ∴c 2－2c＋1=0，即 c=1，但 c=1 时，B 中的三元素又相同，故此题无解．剖析：要解决 c 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．分两种情况进行讨论．（1） a ＋b= a c 且 a ＋2b= a c 2 （2） a ＋b= a c 2 且 a ＋2b= a c，正解;（1）若 a ＋b= a c 且 a ＋2b= a c 2，消去 b 得： a ＋ a c 2－2 a c=0， a =0 时，集合 B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故 a ≠0． ∴c 2－2c＋1=0，即 c=1，但 c=1 时，B 中的三元素又相同，此时无解．（2）若 a ＋b= a c 2 且 a ＋2b= a c，消去 b 得：2 a c 2－a c－a =0， ∵ a ≠0，∴2c 2－c－1=0，即(c－1)(2c＋1)=0，又 c≠1，故 c =－ 1 2 ．点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验和修正。通过认真分析以上线索，福尔摩斯顺利揭开了集合与元素，集合与集合这一错综复杂的案情的本质，完美的侦破了不少高一新侦查员们日思梦想想征破的悬案

高中数学必修_第一章 集合与函数的概念_课件_福尔摩斯破案记----集合

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