3.1.2用二分法求方程的近似解
3.1.2 用二分法求方程的近似解
问题提出 1.函数f(x)=x2+4x-3有零点吗?你怎 样求其零点?
问题提出 1. 函数 有零点吗？你怎 样求其零点？ f(x) x 4x 3 2 = + −
2对于高次多项式方程,在十六世纪已找到 了三次和四次方程的求根公式,但对于高于 4次的方程,类似的努力却一直没有成功 到了十九世纪,根据阿贝尔(Abe1)和伽罗 瓦( Galois)的研究,人们认识到高于4次 的代数方程不存在求根公式,即不存在用四 则运算及根号表示的一般的公式解.同时, 即使对于3次和4次的代数方程,其公式解的 表示也相当复杂,一般来讲并不适宜作具体 计算.因此对于高次多项式函数及其它的 些函数,有必要寻求其零点的近似解的方法
2.对于高次多项式方程，在十六世纪已找到 了三次和四次方程的求根公式，但对于高于 4次的方程，类似的努力却一直没有成功. 到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗 瓦（Galois）的研究，人们认识到高于4次 的代数方程不存在求根公式，即不存在用四 则运算及根号表示的一般的公式解．同时， 即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的 表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体 计算．因此对于高次多项式函数及其它的一 些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法
知识探究(一):二分法的概念 思考1:有12个大小相同的小球,其中有 11个小球质量相等,另有一个小球稍重 用天平称几次就可以找出这个稍重的球? 思考2:已知函数f(x)=hx+2x-6 在区间(2,3)内有零点,你有什么方 法求出这个零点的近似值?
知识探究（一）:二分法的概念 思考1:有12个大小相同的小球，其中有 11个小球质量相等，另有一个小球稍重， 用天平称几次就可以找出这个稍重的球？ 思考2:已知函数 在区间（2，3）内有零点，你有什么方 法求出这个零点的近似值？ f(x) = lnx + 2x − 6
思考3:怎样计算函数f(x)=hx+2x-6在区 间(2,3)内精确到0.01的零点近似值? 区间(a,b) 中点值m (m)的近精确度la-b 似值 (2,3) 2.5 0.084 (2.5,3) 2.75 0.512 0.5 (2.5,2.75) 2.625 0.215 0.25 (2. 5,2.625) 2.5625 0.066 0.125 (2.5,2.5625) 2.53125 0.0090.0625 (2.53125,2.5625) 2.5468750.0290.03125 (2.53125,2.546875)2.53906250.010.015625 (253125,25390625)2.535156250.0010.007813
思考3:怎样计算函数 在区 间（2，3）内精确到0.01的零点近似值？ f(x) = lnx + 2x − 6 区间（a，b） 中点值m f（m）的近 似值 精确度|a-b| （2，3） 2.5 -0.084 1 （2.5，3） 2.75 0.512 0.5 （2.5，2.75） 2.625 0.215 0.25 （2.5，2.625） 2.562 5 0.066 0.125 （2.5，2.562 5） 2.531 25 -0.009 0.0625 （2.531 25，2.562 5） 2.546 875 0.029 0.03125 （2.531 25，2.546 875） 2.539 062 5 0.01 0.015625 （2.531 25，2.539 062 5） 2.535 156 25 0.001 0.007813
思考4:上述求函数零点近似值的方法叫 做二分法,那么二分法的基本思想是什 对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a)·f()<0的函数y=f(x),通过不断 地把函数f(x)的零点所在的区间一分为 ,使区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到零点近似值的方法叫做二分法
思考4:上述求函数零点近似值的方法叫 做二分法，那么二分法的基本思想是什 么？ 对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断 地把函数f(x)的零点所在的区间一分为 二，使区间的两个端点逐步逼近零点， 进而得到零点近似值的方法叫做二分法
知识探究(二) 用二分法求函数零点近似值的步骤 思考1:求函数f(x)的零点近似值第一步 应做什么? 确定区间[a,b],使f(a)f(b)<0 思考2:为了缩小零点所在区间的范围, 接下来应做什么? 求区间的中点c,并计算f(c)的值
知识探究（二）: 用二分法求函数零点近似值的步骤 2 x y = 3 x y = 思考1:求函数f(x)的零点近似值第一步 应做什么？ 思考2:为了缩小零点所在区间的范围， 接下来应做什么？ 确定区间[a,b]，使 f(a)f(b)<0 求区间的中点c，并计算f(c)的值
思考3:若f(c)=0说明什么? 若f(a)·f(c)<0或f(c)·f(b)<0,则 分别说明什么? 若f(c)=0,则c就是函数的零点; 若f(a)·f(c)<0,则零点x0∈(a,c); 若f(c)·f(b)<0,则零点x0∈(c,b)
思考3:若f(c)=0说明什么？ 若f(a)·f(c)<0或f(c)·f(b)<0 ，则 分别说明什么？ 若f(c)=0 ，则c就是函数的零点； 若f(a)·f(c)<0 ，则零点x0∈(a,c)； 若f(c)·f(b)<0 ，则零点x0∈(c,b)
思考4:若给定精确度E,如何选取近似 值? 当|mn<e时,区间[m,n]内的任意 个值都是函数零点的近似值 思考5:对下列图象中的函数,能否用 二分法求函数零点的近似值?为什么?
思考4:若给定精确度ε，如何选取近似 值？ 当|m—n|<ε时，区间[m，n]内的任意 一个值都是函数零点的近似值. 思考5：对下列图象中的函数，能否用 二分法求函数零点的近似值？为什么？ x y o x y o