Beartou.com 17.3一元二次方程根的判别式
17．3一元二次方程根的判别式
己会?m 复习 元二次方程的一般形式是什么 5发+c=0(a0) b b--4ac 配方,得:(x+。)2= 4 2 无二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 其中b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式 =24ac>0没有实数根
复习 一元二次方程的一般形式是什么？ 配方，得：（x+ )2= 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) ax2+bx+c=0(a≠0) ⊿=b2 -4ac＞0 => ⊿=b2 -4ac=0 => ⊿=b2 -4ac＜0 => a b 2 2 2 4 4 a b − ac 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 ＜ ＜ ＜ 其中 b 2 − 4ac 叫做一元二次方程根的判别式
教学目标 1.运用根的判别式判定一元二次方程根的情 况 2.根据一元二次方程根的情况,确定方程中待 定系数的取值范围 教学重点 一元二次方程根的判别式 教学难点 灵活运用一元二次方程根的判别式, 定方程中待定系数的取值范围
教学目标 1．运用根的判别式判定一元二次方程根的情 况． 2．根据一元二次方程根的情况，确定方程中待 定系数的取值范围． 教学重点 一元二次方程根的判别式 教学难点 灵活运用一元二次方程根的判别式， 确定方程中待定系数的取值范围．
Beartou.com 例1 若关于x的一元二次方程m-1)x2-2mx+m=0有两 个实数根,则m的取值范围是(D) a m>0 B m>0 Cm>0且m≠1Dm≥0且m1 解:由题意,得 m-1≠0① A=(-2m)2-4(m-1)m>0② 解之得,m>0且m≠1,故应选D
例1 若关于x的一元二次方程(m-1)x2 -2mx+m=0有两 个实数根，则m的取值范围是 （ ） A m ﹥0 B m ≥ 0 C m ﹥ 0 且m≠1 D m ≥0且m≠1 解：由题意，得 m-1≠0① ⊿=（－2m)2 -4（m-1）m≥0② 解之得，m﹥0且m≠1，故应选D D
练一练◎ 己会?em 练习1选择题 1不解方程,判断方程0.2x2-5=1.5x的根的情况是 (A) A)有两个不相等的实数根B)有两个相等的实数根 C)没有实数根 D)无法确定 2.若关于的一元二次方程(k-1)x2+2kx+k+3=0有实数 根,则k的取值范围是(C) A)k≤1.5 B)k<1.5C)k≤1.5且k≠1 D)k≥1.5
练习1 选择题 1 不解方程，判断方程0．2x2 -5=1．5x的根的情况是 （ ） A )有两个不相等的实数根 B) 有两个相等的实数根 C) 没有实数根 D)无法确定 2 ． 若关于的一元二次方程（k-1）x 2+2kx+k+3=0有实数 根，则k的取值范围是（ ） A)k ≤1．5 B)k ﹤1．5 C) k ≤1．5 且k≠1 D)k≥1．5 A C 练一练
例2 求证:不论m取何值,关于x的一元二次 方程9x2-(m+7)x+m-3=0都有两个不相 等的实数根 证明:4=-(m+7)P2-4×9×(m-3) =m2+14m+49-36m+108=m2-22m+157 (m-11)2+36 不论m取何值,均有(m-11)20 (m-11)2+36>0,即A>0 不论m取何值,方程都有两个不相等的实数根 小结:将根的判别式化为一个非负数与一个正 数的和的形式
例2 求证：不论m取何值，关于x的一元二次 方程9x2 -（m+7）x+m-3=0都有两个不相 等的实数根 证明：⊿=[-（m+7）] 2 -4×9×（m-3） =m2+14m+49-36m+108 =m2 -22m+157 =（m-11）2+36 ∵不论m取何值，均有（m-11）2≥0 ∴（m-11）2+36＞0，即⊿＞0 ∴不论m取何值，方程都有两个不相等的实数根 小结：将根的判别式化为一个非负数与一个正 数的和的形式
己会?em 练习一、填空题 1、关于x的方程x2+2kx+k-1=0的根的情况是 有两个不相等的实数根 a-c 2关于的一元二次方程(a+c)x2+bx+4=0有 两个相等的实数根,则△ABC为直角角形 、求证:不论a为任何实数,2x2+3(a1)+a24a 7=0必有两个不相等的实数根
练习 一、填空题 1、关于x的方程x２+2kx+k-１＝0的根的情况是 ____________________． 2 关于的一元二次方程（a+c）x 2+bx+ =0有 两个相等的实数根，则∆ABC为 三角形 二、求证：不论a为任何实数，2x2+3(a-1)+a2 -4a- 7=0必有两个不相等的实数根． 有两个不相等的实数根 4 a − c 直角
例3已知关于的方程K2x2+(2k-1)x+1=0有两个不相等 的实数根x1X2 ①求k的取值范围 ②是否存在实数k,使方程的两个实数根互为相反数? 如果存在,求k的取值;如果不存在,请说明理由 解:①根据题意,得②不存在 △=(2k-1)24k2>0假设存在方程的两个实数根x1 又k2≠0 x2互为相反数 k-1 解得k<一且K0 则 X1+X2= 2=0 ∵k2≠0∴2k-1=0∴k= 当k<0且k≠0时,方 k=与k<元且k≠0相矛 盾 程有两个不相等的实k不存在4
例3 已知关于的方程k 2x 2+(2k-1)x+1=0有两个不相等 的实数根x 1 x2 ①求k的取值范围 ②是否存在实数k，使方程的两个实数根 互为相反数？ 如果存在，求k的取值；如果不存在，请说明理由 解：①根据题意，得 ∆=（2k-1）2 -4k2>0 又 k 2≠0 解得k< 且K≠0 ∴当k<0且k≠0时，方 程有两个不相等的实 数根 4 1 ②不存在 假设存在方程的两个实数根x 1 x2 互为相反数 则x 1 + x2 =- =0 ∵ k 2≠0 ∴2k-1=0 ∴k= k= 与k< 且k≠0相矛盾 ∴k不存在 2 2 1 k k − 1 2 2 1 4 1
练习 Beartou.com 是否存在这样的非负整数m,使关于的一元二次方 程m2x2(2m-1)+1=0有两个实数根,若存在,请 求出的值;若不存在,请说明理由 解:不存在这样的非负整数m 理由:要使关于x的一元二次方程m2x2-(2m 1)x+1=0有两个实数根 则m2≠0① △=-(2m-1)220② 解得m≤-且m=0, 而题中要求m为非负整数,因此这样的非负整数m 不存在
练习 是否存在这样的非负整数m，使关于的一元二次方 程m2x 2 -(2m-1)x+1=0有两个实数根，若存在，请 求出的值；若不存在，请说明理由． 解：不存在这样的非负整数m 理由：要使关于x的一元二次方程m2x 2 -(2m- 1)x+1=0有两个实数根 则m2≠0 ① ∆=[-(2m-1)]2≥0 ② 解得m≤ 且 m≠0， 而题中要求m为非负整数，因此这样的非负整数m 不存在. 4 1
Beartou.com 例4:已知:在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=a, BD=b,BC=c,且关于x的一元二次方程ax2 2bx+c=0有两个相等的实数根,求证: ∠BDC=∠A 证明:∵方程ax2-2bx+c=0有两个相等的实数根 A =(-2b)24ac=0 D 整理得:b2=ac C b c B b AD∥BC∠ADB=∠DBC △ADB∽△DBC..∠BDC=∠A
例4：已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=a， BD=b，BC=c，且关于x的一元二次方程ax2 - 2bx+c=0有两个相等的实数根，求证： ∠BDC=∠A 证明：∵方程ax2 -2bx+c=0有两个相等的实数根 ∴⊿ =（-2b）2 -4ac=0 整理得：b 2=ac 即 ∵ AD∥BC ∴ ∠ ADB= ∠ DBC ∴ △ADB ∽ △DBC ∴ ∠ BDC= ∠ A A B C D = b c a b