Beartou.com 17.3一元二次方程根的判别式 332
17．3一元二次方程根的判别式
己会?em 用公式法解下列方程: (1)x2+x-1=0(2)x2-2x+1=0 (3)2x2-2x+1=0 由此可以发现一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根的情况可由b2-4a来判定 当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实 数根 当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数 根 当b2-4ac<0时,方程没有实数根 我们把b2-4c叫做一元二次方程ax2+bx+ c=0(a≠0)的根的判别式
• 用公式法解下列方程： • （1）x 2＋x－1 = 0 （2） x 2－2x＋1 = 0 • （3） 2x 2－2x＋1 = 0 • 由此可以发现一元二次方程ax2＋bx＋c = 0 （a≠0）的根的情况可由 来判定： • 当 时，方程有两个不相等的实 数根； • 当 时，方程有两个相等的实数 根； • 当 时，方程没有实数根． • 我们把b 2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋ c = 0（a≠0）的根的判别式． b 2－4ac b 2－4ac＞0 b 2－4ac = 0 b 2－4ac ＜ 0
Beartou.com 例1.不解方程,判别下列方程的根的情况 (1)3x2-x+1=3x (2)5(x2+1)=7x (3)x2-4x=-4 方程要先化 解4 5x2-7x-5=0 为一般形式 再求判别式 (-7)2-45(-5)=149>0 原方程有两个不相等的实数根
例1．不解方程，判别下列方程的根的情况 （1） 3x 2－x＋1 = 3x （2） 5（x 2＋1）= 7x （3） x 2－4x = －4 方程要先化 为一般形式 再求判别式 ( ) ( ) 2 2 5 7 5 0 7 4 5 5 149 0 x x − − = = − − − = 解： 原方程有两个不相等的实数根
己会?m 已知关于x的一元二次方程 kx2-(2k+1)x+k=0 当k取什么值时,方程有两个不相等的实 数根? 已知关于x的方程 kx2-(2k+1)x+k=0 (1)当k取什么值时,方程有两个不相等的 实数根? (2)当k取什么值时,方程有实数根?
• 已知关于x的一元二次方程 • 当k取什么值时，方程有两个不相等的实 数根？ 2 kx k x k − + + = (2 1) 0 ▪ (2)当k取什么值时，方程有实数根？ ▪ 已知关于x的方程 ▪ (1)当k取什么值时，方程有两个不相等的 实数根？ 2 kx k x k − + + = (2 1) 0
己会?em 课时训练 1.一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况是(D A.有一个实数根B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根D.没有实数根 2.方程x2-3x+1=0的根的情况是(A) A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根 C.没有实数根D.只有一个实数根 3.下列一元一次方程中,有实数根的是 (C) A.x2-x+1=0B.x2-2x+3=0 C.x2+x-1=0D.x2+4=0
➢ 课时训练 1．一元二次方程x 2+2x+4=0的根的情况是 ( ) A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 D 2．方程x 2 -3x+1=0的根的情况是( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C． 没有实数根 D．只有一个实数根 A 3．下列一元一次方程中，有实数根的是 ( ) A．x 2 -x+1=0 B．x 2 -2x+3=0 C．x 2+x-1=0 D．x 2+4=0 C
Beartou.com 课时训练 4.关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有实数根,则下列 结论正确的是 (D) A.当k=12时,方程两根互为相反数 B.当k=0时,方程的根是x=-1 C.当k=±1时,方程两根互为倒数 D.当k<14时,方程有实数根 5.若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有实数根,则 的取值范围是 (D) A.m<1 B.m<1且m≠0 C. <1 D.m≤1且m0
4．关于x的方程k 2x 2+(2k-1)x+1=0有实数根，则下列 结论正确的是 ( ) A．当k=1/2时，方程两根互为相反数 B．当k=0时，方程的根是x=-1 C．当k=±1时，方程两根互为倒数 D．当k≤1/4时，方程有实数根 D ➢ 课时训练 5．若关于x的一元二次方程mx2 -2x+1=0有实数根，则m 的取值范围是 ( ) A．m＜1 B． m＜1且m≠0 C．m≤1 D． m≤1且m≠0 D
己会?m 6.已知关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有实数根, 则k的取值范围是 (A) A k<1 B kl C. K<1 D.1l 7.若关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-7/4=0 有两个相等的实数根,则k=-2
7．若关于x的方程x 2+(2k-1)x+k2 -7/4=0 有两个相等的实数根，则k= 2 ． 6．已知关于x的一元二次方程x 2+2x+k=0有实数根， 则k的取值范围是 ( ) A．k≤1 B．k≥1 C．k1 A
Beartou.com 8.关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0, 其根的判别式的值为1,求m的值及该方程的根 解:A=-(3m-1)2-4m(2m-1)=9m2-6m+18m2+4m m2m+1=(m-1)2 (m-1)2=1,即m1=2, m2=0二次项系数不为0,舍去) 当m=2时,原方程变为2x25x+3=0, x=3/2或x=1
解：Δ=[-(3m-1)]2 -4m(2m-1)=9m2 -6m+1-8m2+4m =m2 -2m+1=(m-1)2 ∴ (m-1)2=1，即 m1 ＝2， m2 ＝0(二次项系数不为0，舍去)． 当m=2时，原方程变为2x2 -5x+3＝0， x＝3/2或x=1． 8．关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0， 其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根．
Beartou.com 例2.在一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)中 若a与c异号,则方程() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.根的情况无法
例2．在一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a 0)中 若a与c异号,则方程 ( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．根的情况无法
例3.设关于x的方程,x2-2mx-2m-4=0 证明:不论m为何值,这个方程 总有两个不相等的实数根 解::△=4m2-4(-2m-4) 4m2+8m+16 =4(m2+2m+1)+12 =4(m+1)+12>0 所以,不论m为何值,这个方程总有两 个不相等的实数根
例3．设关于x的方程， 2 x mx m − − − = 2 2 4 0 证明：不论m为何值，这个方程 总有两个不相等的实数根 ( ) 2 解： = − − − 4 4 2 4 m m ( ) 2 = + + + 4 2 1 12 m m ( ) 2 = + + 4 1 12 0 m 所以，不论m为何值，这个方程总有两 个不相等的实数根． 2 = + + 4 8 16 m m