18.2.1矩形 第1课时矩形的性质 分钟知识点棱理 1·有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 2·矩形的对边_平行且相等_;矩形的四个角_都是直角_:矩形的对角线_相等 3·直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 1·(5分)下列性质中,矩形具有但平行四边形不一定具有的是(C) A·对边相等B.对角相等C·对角线相等D.对边平行 2·(5分)2014重庆)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O ∠ACB=30°,则∠AOB的大小为(B) A·30°B.60°C.90°D.120° ,第2题图) 第3题图) 3.(5分)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,CE∥BD DE∥AC,若AC=4,则四边形CODE的周长(C) A·4B.6C.8D.10
18．2.1 矩形 第1课时 矩形的性质 1．(5分)下列性质中，矩形具有但平行四边形不一定具有的是( ) A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对边平行 2．(5分)(2014·重庆)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， ∠ACB＝30° ，则∠AOB的大小为( ) A．30° B．60° C．90° D．120° 3．(5分)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD， DE∥AC，若AC＝4，则四边形CODE的周长( ) A．4 B．6 C．8 D．10 1．有一个角是直角的__平行四边形__叫做矩形． 2．矩形的对边__平行且相等__；矩形的四个角__都是直角__；矩形的对角线__相等__． 3．直角三角形斜边上的中线__等于斜边的一半__． ,第 2 题图) ,第 3 题图)
18.2.1矩形 第1课时矩形的性质 4·(5分)如图,四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形,点B在EF边上,若矩形 ABCD和矩形AEFC的面积分别为S1,S2,则S1与S2的大小关系是(B) A·S1>S2B.S1=S2 C. S D.3S1=2S2 5.(5分)如图,矩形OBCD的顶点坐标为(1,3),则对角线BD的长为(D) A1V7B.22C.23DV0 ,第4题图) 第5题图)B C,第6题图) 6:(5分)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是AO AD的中点,若AB=6cm,BC=8cm,则△AEF的周长=9cm B,第7题图) 第8题图) 7·(5分)2014泉州)如图,R△ABC中,∠ACB=90°,D为斜边AB的中点,AB 10cm,则CD的长为5cm 8.(5分)2014·无锡)如图,△ABC中,CD⊥AB于D,E是AC的中点,若AD=6, DE=5,则CD的长等于8
18．2.1 矩形 第1课时 矩形的性质 4．(5分)如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形 ABCD和矩形AEFC的面积分别为S1，S2，则S1与S2的大小关系是( ) A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．3S1＝2S2 5．(5分)如图，矩形OBCD的顶点坐标为(1，3)，则对角线BD的长为( ) 6．(5分)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO， AD的中点，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则△AEF的周长＝____cm. 7．(5分)(2014·泉州)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点，AB ＝10 cm，则CD的长为___cm. 8．(5分)(2014·无锡)如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，若AD＝6， DE＝5，则CD的长等于 ,第 4 题图) ,第 5 题图) ,第 6 题图) ,第 7 题图) ,第 8 题图) A. 7 B．2 2 C．2 3 D. 10
18.2.1矩形 第1课时矩形的性质 11·矩形ABCD的长BC=4,宽AB=3,P是AD上任一点, 过P作PE⊥AC,PF⊥BD,垂足分别为E,F D 则PE+PF的长为 12·(10分)如图,在△ABC中,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于 点E,点M,N分别是BC,DE的中点.求证:MN⊥DE 证明:连接EM,DM,则EM=BC,DM=BC,∴EM=DM,又:EN=DN, ∴MN⊥DE 13·(10分)如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,CE∥BD,交AB的延长线于点 E,求证:AC=CE 解:证四边形BDCE是平行四边形得CE=BD,又∵AC=BD,∴AC=CE 14·(10分)如图,已知矩形ABCD中,F是BC上一点, 且AF=BC,DE⊥AF,垂足是E,连接DE 求证:(1)△ABF≌△DEA; (2)DF是∠EDC的平分线 B 解:(1)∵四边形ABCD为矩形,∴AD=BC,∠DAE+∠BAF=90°,∠B=90°, 又∵DE⊥AF∴∠AED=90°,∠DAE+∠ADE=90°,∴∠B=∠AED,∠BAF=∠EDA 又∵AF=BC,∴AD=AF,∴△ABF≌△DEA (2)∵△ABF≌△DEA,∴DE=AB.又∵AB=DC,∴DE=DC又∵DE⊥AF,DC⊥BC, ∴DF平分∠EDC
18．2.1 矩形 第1课时 矩形的性质 11．矩形ABCD的长BC＝4，宽AB＝3，P是AD上任一点， 过P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E，F， 则PE＋PF的长为 12．(10分)如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于 点E，点M，N分别是BC，DE的中点．求证：MN⊥DE. 13．(10分)如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，交AB的延长线于点 E，求证：AC＝CE. 解：证四边形BDCE是平行四边形得CE＝BD，又∵AC＝BD，∴AC＝CE 14．(10分)如图，已知矩形ABCD中，F是BC上一点， 且AF＝BC，DE⊥AF，垂足是E，连接DF. 求证：(1)△ABF≌△DEA； (2)DF是∠EDC的平分线． 解：(1)∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC，∠DAE＋∠BAF＝90°，∠B＝90°， 又∵DE⊥AF∴∠AED＝90°，∠DAE＋∠ADE＝90°，∴∠B＝∠AED，∠BAF＝∠EDA， 又∵AF＝BC，∴AD＝AF，∴△ABF≌△DEA (2)∵△ABF≌△DEA，∴DE＝AB.又∵AB＝DC，∴DE＝DC.又∵DE⊥AF，DC⊥BC， ∴DF平分∠EDC 证明：连接 EM，DM，则 EM＝ 1 2 BC，DM＝ 1 2 BC，∴EM＝DM，又∵EN＝DN， ∴MN⊥DE 12 5
18.2.1矩形 第1课时矩形的性质 15·(12分)把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠,使点A与点E重合,点C与点F重 (E,F两点均在BD上),折痕分别为BH,DG (1)求证:△BHE≌△DGF; (2)若AB=6cm,BC=8cm,求线段FG的长 解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形AB=CD,∠A=∠C=90°,∠ABD=∠BDC ∵△BEH是△BAH翻折而成,∴∠ABH=∠EBH,∠A=∠HEB=90°,AB=BE,△DGF 是△DGC翻折而成∴∠FDG=∠CDG,∠C=∠DFG=90°CD=DF∴∠DBH=∠ABD ∠BDG=∠BDC∠DBH=∠BDG∴△BEH与△DFG中,∠HEB=∠ DFG , BE=DF, ∠DBH=∠BDG,∴△BEH≌△DFG (2)∵四边形ABCD是矩形AB=6cmBC=8cm∴AB=CD=6cmAD=BC=8cm BD=8+6=10,∵由()知,FD=CD,CG=FG,:BF=10-6=4cm,设FG=x,则 BG=8-x,在R△BGF中,BG2=BF2+FG2,即(8-x)2=42+x2,解得x=3,即FG=3cm
18．2.1 矩形 第1课时 矩形的性质 15．(12分)把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重 合(E，F两点均在BD上)，折痕分别为BH，DG. (1)求证：△BHE≌△DGF； (2)若AB＝6 cm，BC＝8 cm，求线段FG的长． 解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴AB＝CD，∠A＝∠C＝90°，∠ABD＝∠BDC， ∵△BEH 是△BAH 翻折而成，∴∠ABH＝∠EBH，∠A＝∠HEB＝90°，AB＝BE，∵△DGF 是△DGC 翻折而成，∴∠FDG＝∠CDG，∠C＝∠DFG＝90°，CD＝DF，∴∠DBH＝ 1 2 ∠ABD， ∠BDG＝ 1 2 ∠BDC，∴∠DBH＝∠BDG，∴△BEH 与△DFG 中，∠HEB＝∠DFG，BE＝DF， ∠DBH＝∠BDG，∴△BEH≌△DFG (2)∵四边形 ABCD 是矩形，AB＝6 cm，BC＝8 cm，∴AB＝CD＝6 cm，AD＝BC＝8 cm， ∴BD＝ 8 2 ＋6 2 ＝10，∵由(1)知，FD＝CD，CG＝FG，∴BF＝10－6＝4 cm，设 FG＝x，则 BG＝8－x，在 Rt△BGF 中，BG2 ＝BF2 ＋FG2 ，即(8－x)2 ＝4 2 ＋x 2 ，解得 x＝3，即 FG＝3 cm
第2课时矩形的判定 分的9 知识点梳理 矩形的判定方法:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形;对角线相等的平行 四边形是矩形;有三个角是_直角的四边形是矩形 ①分钟分 知识点训练 1·(3分)下列命题错误的是(C) A·有一个角是直角的平行四边形是矩形B·有三个角是直角的四边形是矩形 C·对角线相等的四边形是矩形D·对角线互相平分且相等的四边形是矩形 2·(3分)如图,四边形ABCD的对角线互相平分,要使它变为矩形,需要添加的条件是(D) A·AB=CDB.AD=BCC·AB=BCD.AC=BD 第2题图 C第3题图 .(3分)如图,顺次连接四边形ABCD各边的中点,得到四边形EFGH,在下列条件中,可使四边形 H为矩形的是(C) A·AB=CDB.AC=BDC·AC⊥BDD.AD∥BC 4·(3分)四边形ABCD的对角线相交于点O,在下列条件中不能判定它是矩形的是(C) A·AB=CD,AB∥CD,∠BAD=90°B·AO=CO,BO=DO,AC=BD C·∠BAD=∠ABC=90°,∠BCD+∠ADC=180 D·∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC=90
第 2 课 时 矩 形 的 判 定 1．(3分)下列命题错误的是( ) A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．有三个角是直角的四边形是矩形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 2．(3分)如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是( ) A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD 3．(3分)如图，顺次连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，在下列条件中，可使四边形 EFGH为矩形的是( ) A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AD∥BC 4．(3分)四边形ABCD的对角线相交于点O，在下列条件中不能判定它是矩形的是( ) A．AB＝CD，AB∥CD，∠BAD＝90° B．AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD C．∠BAD＝∠ABC＝90°，∠BCD＋∠ADC＝180° D．∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC＝90° 矩形的判定方法：有一个角是__直角__的平行四边形叫做矩形；对角线__相等__的平行 四边形是矩形；有三个角是__直角__的四边形是矩形． 第 2 题图 第 3 题图
第2课时矩形的判定 5·(4分)(2014·娄底)如图,要使平行四边形ABCD是矩形,则应添加的条件是 ∠ABC=90°或AC=BD(答案不唯一) (添加一个条件即可 D 第5题图 第6题图 6·(4分)如图已知1∥l213与1,12分别相交于A,B两点,过点A,B作两组内错角的平分线相交 于点C,D,则四边形ABCD的形状是矩形 、7·(4分)已知口ABCD的对角线相交于O点,分别添加下列条件:①∠ABC=90°;②AC⊥BD;③ =BD;④OA=OD,使ABCD是矩形的条件的序号是①③④ 8·(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,四边形ABDE是平行四边形.求证:四边形 ADCE是矩形. 证明:∵四边形ABDE是平行四边形,∴BD缺AE,又D为BC中点, ∴CD絨AE.∴四边形ADCE是平行四边形.又∵AB=AC,AB=DE, ∴AC=DE,∴四边形ADCE是矩形 9·(8分)如图,在 PABCD中,AE=CF,AG⊥DE,CH⊥BF,求证:四边形EHFG是矩形 证明:在□ABCD中,AE∥FC,∵AE=CF,∴四边形AFCE是平行四边形, ∴AF∥EC,∴∠1+∠2=180°,又∵AG⊥DE,CH⊥BF ∠1=90°,∠3=90°,∴∠2=90°,∴四边形EHFG是矩形
第 2 课 时 矩 形 的 判 定 5．(4分)(2014·娄底)如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是__ ∠ABC＝90°或AC＝BD(答案不唯一)__ (添加一个条件即可)． 6．(4分)如图，已知l1∥l2，l3与l1，l2分别相交于A，B两点，过点A，B作两组内错角的平分线相交 于点C，D，则四边形ABCD的形状是__ 7．(4分)已知▱ABCD的对角线相交于O点，分别添加下列条件：①∠ABC＝90°；②AC⊥BD；③ AC＝BD；④OA＝OD，使▱ABCD是矩形的条件的序号是 8．(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，四边形ABDE是平行四边形．求证：四边形 ADCE是矩形． 证明：∵四边形ABDE是平行四边形，∴BD綊AE，又D为BC中点， ∴CD綊AE.∴四边形ADCE是平行四边形．又∵AB＝AC，AB＝DE， ∴AC＝DE，∴四边形ADCE是矩形 9．(8分)如图，在▱ABCD中，AE＝CF，AG⊥DE，CH⊥BF，求证：四边形EHFG是矩形． 证明：在▱ABCD中，AE∥FC，∵AE＝CF，∴四边形AFCE是平行四边形， ∴AF∥EC，∴∠1＋∠2＝180°，又∵AG⊥DE，CH⊥BF， ∴∠1＝90°，∠3＝90°，∴∠2＝90°，∴四边形EHFG是矩形 第 5 题图 第 6 题图
第2课时矩形的判定 10·如图,△ABC中,AC的垂直平分线分别交 AC,AB于点D,F,BE⊥DF交DF的延长线于 点E,已知∠A=30°,BC=2,AF=BF,则 四边形BCDE的面积是(A) A·2 B.3 C.4D.4 11·工人师傅在做矩形零件时,常用测量平行四边形的两条对角线是否相等来检查 直角的精确度,这是根据 对角线相等的平行四边形是矩形 12·M是矩形ABCD中AD的中点,P为BC上一点,PE⊥MC,PF⊥MB,当AB,BC 满足条件BC=2AB时,四边形PEMF为矩形 13·已知口ABCD的对角线AC,BD交于点O,△AOB是等边三角形,AB=4, 口ABCD的面积为163 14·(10分)(2013·南通)如图,AB=AC,AD=AE, DE=BC,且∠BAD=∠CAE 求证:四边形BCDE是矩形 解:连接EC,BD,易证△ABE≌△ACD∴EB=DC C 又:ED=BC,∴四边形BCDE是平行四边形 又易证△AEC≌△ADB,∴EC=DB.∴四边形BCDE是矩形
第 2 课 时 矩 形 的 判 定 10．如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交 AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于 点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则 四边形BCDE的面积是( ) 11．工人师傅在做矩形零件时，常用测量平行四边形的两条对角线是否相等来检查 直角的精确度，这是根据__ 对角线相等的平行四边形是矩形__． 12．M是矩形ABCD中AD的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB，BC 满足条件__ __时，四边形PEMF为矩形 . 13．已知▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，△AOB是等边三角形，AB＝4，则 ▱ABCD的面积为_ 14．(10分)(2013·南通)如图，AB＝AC，AD＝AE， DE＝BC，且∠BAD＝∠CAE. 求证：四边形BCDE是矩形． 解：连接EC，BD，易证△ABE≌△ACD∴EB＝DC. 又∵ED＝BC，∴四边形BCDE是平行四边形． 又易证△AEC≌△ADB，∴EC＝DB.∴四边形BCDE是矩形 A．2 3 B．3 3 C．4 D．4 3 _16 3
第2课时矩形的判定 15·(12分(2014巴中)如图,在四边形ABCD中,点H是BC的中点,作射线AH,在线段AH及 其延长线上分别取点E,F,连接BE,CF (1)请你添加一个条件,使得△BEH≌△CFH,你添加的条件是EH=FH,并证明 (2)在问题(1)中,当BH与EH满足什么关系时,四边形BFCE是矩形,请说明理由 解:(证明:∵点H是BC的中点,∴BH=CH,在△BEH和△CFH中, BHECH ∠BHE=∠CHF,∴△BEH≌△CFH(SAS)(2)当BH=EH时,四边形BFCE为矩形证 EH=FH 明::BH=CH,EH=F,∴四边形BFCE是平行四边形(对角线互相平分的四边形为平行 四边形,∵当BH=EH时,则BC=E,∴平行四边形BFCE为矩形(对角线相等的平行四 边形为矩形)
第 2 课 时 矩 形 的 判 定 15．(12分)(2014·巴中)如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及 其延长线上分别取点E，F，连接BE，CF. (1)请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是__ __，并证明． (2)在问题(1)中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由． 解：(1)证明：∵点 H 是 BC 的中点，∴BH＝CH，在△ BEH 和△ CFH 中， BH＝CH ∠BHE＝∠CHF EH＝FH ，∴△BEH≌△CFH(SAS) (2)当 BH＝EH 时，四边形 BFCE 为矩形．证 明：∵BH＝CH，EH＝FH，∴四边形 BFCE 是平行四边形(对角线互相平分的四边形为平行 四边形)，∵当 BH＝EH 时，则 BC＝EF，∴平行四边形 BFCE 为矩形(对角线相等的平行四 边形为矩形)
第2课时矩形的判定 16·(14分)如图、,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线 MN∥BC,设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于 点F (1)求证:OE=OF; (2)若CE=12,CF=5,求OC的长; (3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?并说 明理由 解:(1)分别证OE=OC,OF=OC(2) 3)当点O在边AC上运动到AC中点时,四边形AECF是矩形.理由 当O为AC的中点时,AO=CO,∵EO=FO,∴四边形AECF是平行四 边形,由(2)知∠ECF=90°,∴平行四边形AECF是矩形
第 2 课 时 矩 形 的 判 定 16．(14分)如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线 MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于 点F. (1)求证：OE＝OF； (2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长； (3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说 明理由． (3)当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由： 当O为AC的中点时，AO＝CO，∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四 边形，由(2)知∠ECF＝90° ，∴平行四边形AECF是矩形 解：(1)分别证 OE＝OC，OF＝OC (2)13 2