6.5角与角的度量
角是由两条有公共端点的射线所组成的图形,这个公共 端点叫做这个角的顶点,角也可以看成是由一条射线绕 着它的端点旋转而成的图形,起始位置的射线叫做角的 始边,终止位置的射线叫做角的终边.角用符号∠ 表示,读做角 条射线绕着它的顶点旋转,当终边与始边成一条直线 时,所成的角叫做平角.旋转到终边和始边再次重合 时,所成的角叫做周角 1°=60分,1=度;1=60秒,1=如0分
课前预练 1． 角是由两条有公共端点的射线所组成的图形，这个公共 端点叫做这个角的顶点，角也可以看成是由一条射线绕 着它的端点旋转而成的图形，起始位置的射线叫做角的 始边，终止位置的射线叫做角的终边．角用符号 ∠ 表示，读做 角 ． 2． 一条射线绕着它的顶点旋转，当终边与始边成一条直线 时，所成的角叫做平角．旋转到终边和始边再次重合 时，所成的角叫做周角． 3． 1°＝60 分，1′＝ 1 60度；1′＝60 秒，1″＝ 1 60分．
1.角的度量和角度的计算 【典例1】(1)用度、分、秒表示:4437°; (2)用度表示:9936′48"(精确到0.0019); (3)计算:1800-(47°4037″+34759 【点拨】(1)本题主要考查角度单位的换算及加减运算 (2)角度单位度、分、秒是60进制,把用度表示的角度用度 分、秒表示时,用乘法;把用度、分、秒表示的角用度表示 时用除法 (3)角度运算单位不统一时,要先统一单位,都化为度或都化 为度、分、秒再运算
课内讲练 1．角的度量和角度的计算 【典例 1】 (1)用度、分、秒表示：44.37°； (2)用度表示：9°36′48″(精确到 0.001°)； (3)计算：180°－(47°40′37″＋34.75°)． 【点拨】 (1)本题主要考查角度单位的换算及加减运算． (2)角度单位度、分、秒是 60 进制，把用度表示的角度用度、 分、秒表示时，用乘法；把用度、分、秒表示的角用度表示 时用除法． (3)角度运算单位不统一时，要先统一单位，都化为度或都化 为度、分、秒再运算．
【解析】(1)4.37°=44°+0.37×60=44°+22=4492 +0.2×60=44°2212 (29°36′48=936+(48:60’=9°+(36.8÷60)°≈9.613° (3)180°-(47°4037"+34759)=180-(47°4037"+34945 =180°-8292537=9703423″ 【答案】(1)44212”(2)9.613°(3)97°3423″
【解析】 (1)44.37°＝44°＋0.37×60′＝44°＋22.2′＝44°22′ ＋0.2×60″＝44°22′12″. (2)9°36′48″＝9°36′＋(48÷60)′＝9°＋(36.8÷60)°≈9.613°. (3)180°－(47°40′37″＋34.75°)＝180°－(47°40′37″＋34°45′) ＝180°－82°25′37″＝97°34′23″. 【答案】 (1)44°22′12″ (2)9.613° (3)97°34′23″
【跟踪练习1】(1)用度、分、秒表示:127°; (2)用度表示:11892136; (3)计算:108°18-565 【解析】(1)12.7°=120+0.7×60′=12°42 (2)118°2136′=118°21'+(36÷60’=118°+(216÷60)° 118.36 (3)108°18′-56.5°=108°18′-56°30′=51°48 【答案】(1)12942′(2)118.36°(3)51948
【跟踪练习 1】 (1)用度、分、秒表示：12.7°； (2)用度表示：118°21′36″； (3)计算：108°18′－56.5°. 【解析】 (1)12.7°＝12°＋0.7×60′＝12°42′. (2)118°21′36″＝118°21′＋(36÷60)′＝118°＋(21.6÷60)°＝ 118.36°. (3)108°18′－56.5°＝108°18′－56°30′＝51°48′. 【答案】 (1)12°42′ (2)118.36° (3)51°48′
2.角的三种表示方法 【典例2】如图65-1所示 (1)写出能用一个字母表示的角 E (2)写出以点B为顶点的角; 3)图中共有几个角(小于平角的角)? 图6.5-1 【点拨】(1)我们所说的角,一般情况下都是指小于平角的角 (2)在角的表示中要注意:以某一点为顶点的角只有一个时,可 以用一个大写字母来表示;以某一点为顶点的角不止一个时, 要用三个大写字母表示 (3)找角时可以先寻找角的顶点 【解析】(1)∠A,∠C (2)∠ABE,∠ABC,∠EBC (3)图中共有7个角,即∠A,∠ABE,∠ABC,∠EBC,∠C, ∠AEB,∠BEC
2. 角的三种表示方法 【典例 2】 如图 6.5－1 所示． (1)写出能用一个字母表示的角； (2)写出以点 B 为顶点的角； (3)图中共有几个角(小于平角的角)? 【点拨】 (1)我们所说的角，一般情况下都是指小于平角的角． (2)在角的表示中要注意：以某一点为顶点的角只有一个时，可 以用一个大写字母来表示；以某一点为顶点的角不止一个时， 要用三个大写字母表示． (3)找角时可以先寻找角的顶点． 【解析】 (1) ∠A，∠C. (2) ∠ABE，∠ABC，∠EBC. (3)图中共有 7 个角，即∠A，∠ABE，∠ABC，∠EBC，∠C， ∠AEB，∠BEC
【跟踪练习2】(1)如图65-2所示,下列说法不正确的是() A.∠1可表示为∠BAC B.∠2可表示为∠DAC C.∠1+∠2可表示为∠BAD D.∠DAB可表示为∠A D (2)如图65-3所示 ①用不同的方法表示图中的两个角; 图6.5-2 ∠1也可用 表示,∠2也可 B 用表示 ②写出这两个角的边: 的两边 为 ,的两边为; 图6.5-3 ③以点B为顶点的角有 以DB 为一边的角有 【答案】(1)D(2)①∠ADB∠B②∠ ADB DA,DB∠B BD,BC③∠2∠1与∠2
【跟踪练习 2】 (1)如图 6.5－2 所示，下列说法不正确的是( ) A．∠1 可表示为∠BAC B．∠2 可表示为∠DAC C．∠1＋∠2 可表示为∠BAD D．∠DAB 可表示为∠A (2)如图 6.5－3 所示． ①用不同的方法表示图中的两个角； ∠1 也可用 表示，∠2 也可 用 表示； ②写出这两个角的边： 的两边 为 ， 的两边为 ； ③以点 B 为顶点的角有 ，以 DB 为一边的角有 ． 【答案】 (1)D (2)①∠ADB ∠B ②∠ADB DA，DB ∠B BD，BC ③∠2 ∠1 与∠2
3.角的计数 【典例3】如图65-4所示, B B 以O为端点,在∠AOB的 内部引1条射线OC,可得 几个小于平角的角?引2 条射线OC,OD呢?引3 图6.5-4 条射线OC,OD,OE呢?若引8条射线一共会有多少个角? 【点拨】在数图形中角的总数时,和数线段一样,关键是做 到不重不漏.因此,必须按照一定的规律去数.规律可归纳如 下:在一个角的内部引n条射线时,这个图形中共有1+2+3+ +(n+1)=5(n+1)(n+2)k个)角
3．角的计数 【典例3】 如图6.5－4所示， 以O为端点，在∠AOB的 内部引1条射线OC，可得 几个小于平角的角？引2 条射线OC，OD呢？引3 条射线OC，OD，OE呢？若引8条射线一共会有多少个角？ 【点拨】 在数图形中角的总数时，和数线段一样，关键是做 到不重不漏．因此，必须按照一定的规律去数．规律可归纳如 下：在一个角的内部引n条射线时，这个图形中共有1＋2＋3＋ …＋(n＋1)＝ 1 2（n＋1）（n＋2） (个)角．
【解析】解法一:引1条射线时,有:∠AOC,∠AOB,∠COB, 共1+2=3(个)角如图65-4①);类似地,引2条射线时,有1+2 3=6(个)角如图65-4②);引3条射线时,有1+2+3+4=10(个 角(如图65-4③);当引8条射线时,共有1+2+3+…+(8+1)= 2×(8+1×(8+2)=45(个)角 解法二:也可化为数线段的问题,如解图,作一直 线,分别交射线于点4,A,…,Am,则每一个角 对应于A1,A2,…,A1上的某一条线段 反过来,A1,A2,…,A10上的每一条线段又对应于 某一个角.如∠A4OA6,它对应线段446,而线段 A4恰好对应于∠A4OA6因此,要数图中角的个 (典例3解 数,只要数A1,A2,…,A10上的线段数即可,而 A1,A2,…,A10上的线段数有9+8+7+6+5+4+3+2+1= 45(条).因此,图中共有45个角 【答案】45个
【解析】 解法一：引1条射线时，有：∠AOC，∠AOB，∠COB, 共1＋2＝3(个)角(如图6.5－4①)；类似地，引2条射线时，有1＋2 ＋3＝6(个)角(如图6.5－4②)；引3条射线时，有1＋2＋3＋4＝10(个) 角(如图6.5－4③)；当引8条射线时，共有1＋2＋3＋…＋(8＋1)＝ 1 2×(8＋1)×(8＋2)＝45(个)角． 解法二：也可化为数线段的问题，如解图，作一直 线，分别交射线于点A1，A2，…，A10，则每一个角 对应于A1，A2，…，A 10上的某一条线段． 反过来，A1，A2，…，A10上的每一条线段又对应于 某一个角．如∠A4OA6，它对应线段A4A6，而线段 A4A6恰好对应于∠A4OA6.因此，要数图中角的个 数，只要数A1，A2，…，A10上的线段数即可，而 A1，A2，…，A10上的线段数有9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝ 45(条)．因此，图中共有45个角． 【答案】 45 个
【跟踪练习3】(1)如果以点O为顶点共有15个角,那么以O 为顶点的射线共有几条? (2)有一个塑料角模板的度数为19,能否只用这个模板和 铅笔画出一个1的角? 【解析】(1)因为1+2+3+4+5=15,所以以O为顶点的射 线有6条 (2)能.因为19×19=361°,先取定点O及射线OA,从OA起顺 次绕点O画19个19的角,共为361°,最后的角边记做OB,则 ∠BOA=1° 【答案】(1)6条(2)能,理由见“解析
【跟踪练习3】 (1)如果以点O为顶点共有15个角，那么以O 为顶点的射线共有几条？ (2)有一个塑料角模板的度数为19°，能否只用这个模板和 铅笔画出一个1°的角？ 【解析】 (1)因为1＋2＋3＋4＋5＝15，所以以O为顶点的射 线有6条． (2)能．因为19×19°＝361°，先取定点O及射线OA，从OA起顺 次绕点O画19个19°的角，共为361°，最后的角边记做OB，则 ∠BOA＝1°. 【答案】 (1)6 条 (2)能，理由见“解析