68余角和补角
搅纷 1.如果两个锐角的和是一个直角,我们就说这两个角互 为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个 角的余角. 2.如果两个角的和是一个平角,我们就说这两个角互为 补角,简称互补,也可以说其中一个角是另一个角 的补角 3.同角或等角的余角相等. 4.同角或等角的补角相等
1.余角和补角 【典例1】如图68-1,∠AOD=∠BOD=∠COE=90° (1)请指出图中互余的角和互补的角(除直 D 角外); E (2)图中除直角外还有哪些角相等?并说 B 明理由; 图6.8-1 (3)若∠COD=200,求∠AOE的度数 【点拨】(1)本题主要考查对互余、互补及余、补角性质的 理解 (2)同角或等角的余角相等是推理两角相等的常用方法
【解析】(1)互余的角有:∠AOC与∠COD,∠AOC与 ∠BOE,∠COD与∠DOE,∠DOE与∠BOE 互补的角有:∠AOC与∠BOC,∠DOE与∠BOC,∠COD与 ∠AOE,∠BOE与∠AOE. (2)相等的角还有:∠AOC=∠DOE,∠COD=∠BOE 理由:∵∠AOD=∠COE=90°, ∠AOC+∠COD=90°,∠DOE+∠COD=90 ∠AOC=∠DOE(同角的余角相等) 同理,∠COD=∠BOE. (3):∠BOE+∠AOE=∠BOD+∠AOD=180°, 由(2),得∠BOE=∠COD. ∠AOE=180°—∠COD=180°—20°=160°
【跟踪练习1】如图68-2,已知∠B= ∠D=∠ACE=90°,则∠1与∠A是否 E 相等?请说明理由 C 【解析】∵∠B=90°, 图6.8-2 ∠ACB+∠A=1800-∠B=90° ∠ACB+∠ACE+∠1=180°, ∠ACB+∠1=180°-∠ACE=90° ∴∠1=∠A(同角的余角相等) 【答案】∠1=∠A,理由见“解析
2.余角和补角的计算 【典例2】一个角的补角比这个角的余角的3倍小20°,求这 个角的度数 【点拨】(1)本题主要考查将几何问题转化为代数问题进行 求解 (2)一个角的余角的度数是90减去这个角的度数,一个角的补 角的度数是180减去这个角的度数 (3)由于余角和补角是指两个角的一种数量关系,所以在运用 时经常可以利用数量相等的条件建立方程,综合运用代数知 识解决问题
【解析】设这个角为x度,则这个角的余角为90-x) 度,补角为(180-x)度.由题意,得 180-x=3(90-x)-20,解得x=35 即这个角为35° 【答案】35°
【解析】 设这个角为x度，则这个角的余角为(90－x) 度，补角为(180－x)度．由题意，得 180－x＝3(90－x)－20，解得x＝35. 即这个角为35°
【跟踪练习2】一个角的补角减去20后,等于这个角 的余角的2倍,求这个角的度数 【解析】设这个角为x度,则这个角的补角为(180-x) 度,余角为(90-x)度.由题意,得 (180-x)-20=2(90-x), 解得x=20即这个角为20° 【答案】20°
3.方位角 【典例3】如图68-3,一只蚂蚁从点O出 北 发,沿北偏东60°方向爬行4cm后到达A 地,后折向西北方向爬行3cm到达B地 (1)求∠OAB的度数 (2)测量∠OBA的度数及B地离出发点O的 距离,并求出点B与O的相对位置 图6.8-3 【点拨】表示方位角时要注意:0在角的顶点建立方向标; ②北偏东60°所表示角的度数等于东偏北30所表示角的度数; ④西北方向的意思为北偏西45
【解析】(1)∠OAB=30°+45°=75° (2)测得∠OBA约为63°,OB约为43cm,则∠AOB≈180°-75° 63°=420而900-30°-42°=189B地在O地的北偏东180方 向距离O地约为43cm的位置. 【答案】(1)75°(2)测得∠OBA约为63°,OB约为43cm, B地在O地的北偏东18方向距离O地约为43cm的位置