69直线的相交()
如果两条直线只有一个公共点,就说这两条直线相 交,该公共点叫做这两条直线的交点 2.对顶角的顶点相同,角的两边互为反向延长线 3.对顶角相等
课前预练 1． 如果两条直线只有一个公共点，就说这两条直线相 交，该公共点叫做这两条直线的交点． 2． 对顶角的顶点相同，角的两边互为反向延长线． 3． 对顶角相等．
1.对顶角 【典例1】如图69-1,直线AB,CD,EF交 D 于点O,已知∠BOD=45°,∠COF=80° B (1)图中有多少对对顶角(不含平角)? (2)每一对对顶角中,各角的度数是多少?C 【点拨】(1)本题的关键是对于若干条直线交 图6.9-1 于一点能形成多少对对顶角,可以这样来思考:这些直线每两 条为一组,有多少组?因两条直线相交有两对对顶角,所以将 线数乘2,即得所求 (2)由于对顶角相等,只要求出对顶角中一个角的度数,就得到 另一个角的度数
课内讲练 1．对顶角 【典例1】 如图6.9－1，直线AB，CD，EF交 于点O，已知∠BOD＝45°，∠COF＝80°. (1)图中有多少对对顶角(不含平角)? (2)每一对对顶角中，各角的度数是多少？ 【点拨】 (1)本题的关键是对于若干条直线交 于一点能形成多少对对顶角，可以这样来思考：这些直线每两 条为一组，有多少组？因两条直线相交有两对对顶角，所以将 线数乘2，即得所求． ．(2)由于对顶角相等，只要求出对顶角中一个角的度数，就得到 另一个角的度数
【解析】(1)有6对对顶角 (2)∠AOC=∠BOD=45°; ∠AOD=∠COB=180°—∠BOD=180°-45°=135° ∠AOE=∠BOF=180-(∠COF+∠BOD)=180-(809+ 45°)=55 ∠AOF=∠BOE=1800∠BOF=180-55°=125°; ∠DOE=∠COF=80°; ∠COE=∠DOF=1800—∠COF=180°-80°=100°
【解析】 (1)有6对对顶角． (2)∠AOC＝∠BOD＝45°； ∠AOD＝∠COB＝180°－∠BOD＝180°－45°＝135°； ∠AOE＝∠BOF＝180°－(∠COF＋∠BOD)＝180°－(80°＋ 45°)＝55°； ∠AOF＝∠BOE＝180°－∠BOF＝180°－55°＝125°； ∠DOE＝∠COF＝80°； ∠COE＝∠DOF＝180°－∠COF＝180°－80°＝100°
【跟踪练习1】(1)判断下列说法是否正确(对的打“”,错的 打“×”) ①如果两个角是对顶角,那么这两个角相等; ②如果两个角相等,那么这两个角是对顶角; ③不相等的两个角一定不是对顶角; ))) ④如果两个角不是对顶角,那么这两个角不相等;() ⑤对顶角的余角(或补角)相等 【答案】(1)①、②×③N④x⑤
【跟踪练习1】 (1)判断下列说法是否正确(对的打“√”，错的 打“×”)． ①如果两个角是对顶角，那么这两个角相等； ( ) ②如果两个角相等，那么这两个角是对顶角； ( ) ③不相等的两个角一定不是对顶角； ( ) ④如果两个角不是对顶角，那么这两个角不相等； ( ) ⑤对顶角的余角(或补角)相等． ( ) 【答案】 (1)①√ ②× ③√ ④× ⑤√
(2)观察下列图形,寻找对顶角(不含平角) ①如图69-2,图中共有对对顶角; ②如图69-3,图中共有对对顶角; ③如图69-4,图中共有对对顶角; ④研究①~③小题中直线条数与对顶角数量的关系: 若有n条直线交于一点,则可形成对对顶角; ⑤若有180条直线交于一点,则可形成对对顶角 图6.9-2 图6.9-3 图6.9-4 【答案】(2①2②6③12④n(n-1)⑤3220
(2)观察下列图形，寻找对顶角(不含平角)． ①如图6.9－2，图中共有 对对顶角； ②如图6.9－3，图中共有 对对顶角； ③如图6.9－4，图中共有 对对顶角； ④研究①～③小题中直线条数与对顶角数量的关系： 若有n条直线交于一点，则可形成 对对顶角； ⑤若有180条直线交于一点，则可形成 对对顶角． 【答案】 (2)①2 ②6 ③12 ④n(n－1) ⑤32220
2.利用余角、补角和对顶角的性质进行计算 【典例2】如图69—5,直线AB,CD,EF交E 于点O,∠1与∠2互余,∠2与∠3互余,且 ∠DOF=32°,求∠1,∠2,∠3的度数 【点拨】解答本题的关键是通过两个角互余 和对顶角之间存在的数量关系转化到不同位置 图6.9-5 上的角度之间的关系.这是解决几何问题的一种重要手段 【解析】:直线CD与EF交于点O, ∴∠1=∠DOF=329(对顶角相等) 又∵∠1与∠2互余,∴∠1+∠2=90°, ∠2=900-∠1=900-32°=58° 又∵∴∠1与∠2互余,∠2与∠3互余, ∠1=∠3,即∠3=32 【答案】∠1=32°,∠2=58°,∠3=320
2．利用余角、补角和对顶角的性质进行计算 【典例2】 如图6.9－5，直线AB，CD，EF 交 于点O，∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，且 ∠DOF＝32°，求∠1，∠2，∠3的度数． 【点拨】 解答本题的关键是通过两个角互余 和对顶角之间存在的数量关系转化到不同位置 上的角度之间的关系．这是解决几何问题的一种重要手段． 【解析】 ∵直线CD与EF交于点O， ∴∠1＝∠DOF＝32°(对顶角相等)． 又∵∠1与∠2互余，∴∠1＋∠2＝90°， ∴∠2＝90°－∠1＝90°－32°＝58°. 又∵∠1与∠2互余，∠2与∠3互余， ∴∠1＝∠3，即∠3＝32°. 【答案】 ∠1＝32°，∠2＝58°，∠3＝32°
【跟踪练习2】如图69-6,直线MN和∠AOB的 两边分别交于点C,D已知∠1+∠2=180°, 找出图中所有分别与∠1和∠2相等的角 HAD 【解析】∵∠OCD+∠2=180°,∠1+∠ODN= 180°,∠1+∠2=180°(已知), 图6.9-6 ∠1=∠OCD,∠2=∠ODN同角的补角相等) 又∵∠1=∠ADN,∠OCD=∠MCB,∠2=∠BCD, ∠ODN=∠ADC(对顶角相等), 与∠1相等的角有:∠ADN,∠OCD,∠MCB; 与∠2相等的角有:∠BCD,∠ADC,∠ODN 【答案】与∠1相等的角有:∠ADN,∠OCD,∠MCB 与∠2相等的角有:∠BCD,∠ADC,∠ODN
【跟踪练习2】 如图6.9－6，直线MN和∠AOB的 两边分别交于点C，D.已知∠1＋∠2＝180°， 找出图中所有分别与∠1和∠2相等的角． 【解析】 ∵∠OCD＋∠2＝180°，∠1＋∠ODN＝ 180°，∠1＋∠2＝180°(已知)， ∴∠1＝∠OCD，∠2＝∠ODN(同角的补角相等)． 又∵∠1＝∠ADN，∠OCD＝∠MCB，∠2＝∠BCD， ∠ODN＝∠ADC(对顶角相等)， ∴与∠1相等的角有：∠ADN，∠OCD，∠MCB； 与∠2相等的角有：∠BCD，∠ADC，∠ODN. 【答案】 与∠1 相等的角有：∠ADN，∠OCD，∠MCB； 与∠2 相等的角有：∠BCD，∠ADC，∠ODN
3.对顶角相等的应用 【典例3】如图69—7,直线AB,CD E 交于点O,∠AOE比∠EOD大30°, B ∠BOD比∠EOD小30°,求∠AOE和 ∠AOC的度数 图6.9 【点拨】(1)本题主要考查用对顶角相等来寻找角相等 的方法,这也是转移角的一种手段 (2)利用方程思想求解几何问题是一种重要的解题思想和 方法
3．对顶角相等的应用 【典例3】 如图6.9－7，直线AB，CD 交于点O，∠AOE比∠EOD大30°， ∠BOD比∠EOD小30°，求∠AOE和 ∠AOC的度数． 【点拨】 (1)本题主要考查用对顶角相等来寻找角相等 的方法，这也是转移角的一种手段． (2)利用方程思想求解几何问题是一种重要的解题思想和 方法．
【解析】设∠EOD=x,则∠AOE=x+30°,∠BOD=x-30° ∵∠AOE+∠EOD+∠BOD=180平角的意义), ∴(x+30°)+x+(x-309)=180°,解得x=60° ∠AOE=x+300=90°,∠BOD=x-30°=30° ∵直线4B,CD交于点O,∠AOC与∠BOD是对顶角(对顶角的 定义), ∠AOC=∠BOD=309对顶角相等) 【答案】∠AOE=90°,∠AOC=30°
【解析】 设∠EOD＝x，则∠AOE＝x＋30°，∠BOD＝x－30°. ∵∠AOE＋∠EOD＋∠BOD＝180°(平角的意义)， ∴(x＋30°)＋x＋(x－30°)＝180°，解得x＝60°. ∴∠AOE＝x＋30°＝90°，∠BOD＝x－30°＝30°. ∵直线AB，CD交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角(对顶角的 定义)， ∴∠AOC＝∠BOD＝30°(对顶角相等)． 【答案】 ∠AOE＝90°，∠AOC＝30°