69直线的相交(2)
当两条直线相交所构成的四个角中有一个是直角时,我 们就说这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另二 条直线的垂线,它们的交点叫做垂足 2.一般地,在同一平面内,过一点有一条而且仅有一条直 线垂直于已知直线 3.一般地,连结直线外一点与直线上各点的所有线段中, 垂线段最短 4.从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直 线的距离
课前预练 1． 当两条直线相交所构成的四个角中有一个是直角时，我 们就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一 条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 2． 一般地，在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直 线垂直于已知直线． 3． 一般地，连结直线外一点与直线上各点的所有线段中， 垂线段最短． 4． 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直 线的距离．
1.垂线 【典例1】如图69—9,直线AB,CD交于点 E F O,EO⊥AB,AO平分∠COF D (1)∠AOC与∠DOE是否互余?为什么? B (2)OE是否平分∠DOF?为什么? 图6.9 【点拨】(1)本题主要考查与垂直有关的角度计算 (2)若已知两条直线相交成直角,就说明这两条直线互相垂直 反之,若已知两直线互相垂直,就说明两条直线相交所成的四 个角都是直角.如“∠BOD+∠DOE=90”“∠AOF与∠FOE互 为余角”都是根据“EO⊥AB”推得的
课内讲练 1．垂线 【典例1】 如图6.9－9，直线AB，CD交于点 O，EO⊥AB，AO平分∠COF. (1)∠AOC与∠DOE是否互余？为什么？ (2)OE是否平分∠DOF？为什么？ 【点拨】 (1)本题主要考查与垂直有关的角度计算． (2)若已知两条直线相交成直角，就说明这两条直线互相垂直． 反之，若已知两直线互相垂直，就说明两条直线相交所成的四 个角都是直角．如“∠BOD＋∠DOE＝90°”“∠AOF与∠FOE互 为余角”都是根据“EO⊥AB”推得的．
【解析】(1)∠AOC与∠DOE互余,理由如下: OE⊥AB(已知),∴∠BOD+∠DOE=90垂直的意义) 又∠AOC=∠BOD(对顶角相等),∴∠AOC+∠DOE=90°, 即∠AOC与∠DOE互余(互余的意义) (2)OE平分∠DOF,理由如下 AO平分∠COF,∴∠AOF=∠AOC角平分线的意义) 由(1)得∠AOC与∠DOE互为余角 又:∠AOF与∠FOE互为余角, ∠FOE=∠DOE(等角的余角相等) 即OE平分∠DOF(角平分线的意义 【答案】(1)∠AOC与∠DOE互余,理由见“解析” (2)OE平分∠DOF,理由见“解析
【解析】 (1)∠AOC与∠DOE互余，理由如下： ∵OE⊥AB(已知)，∴∠BOD＋∠DOE＝90°(垂直的意义)． 又∵∠AOC＝∠BOD(对顶角相等)，∴∠AOC＋∠DOE＝90°， 即∠AOC与∠DOE互余(互余的意义)． (2)OE平分∠DOF，理由如下： ∵AO平分∠COF，∴∠AOF＝∠AOC(角平分线的意义)． 由(1)得∠AOC与∠DOE互为余角． 又∵∠AOF与∠FOE互为余角， ∴∠FOE＝∠DOE(等角的余角相等)． 即OE平分∠DOF(角平分线的意义)． 【答案】 (1)∠AOC 与∠DOE 互余，理由见“解析” (2)OE 平分∠DOF，理由见“解析
E 【跟踪练习1】如图69-10,已知直线AB和 CD交于点O,射线OE⊥AB于点O,射线 F OF⊥CD于点O,且∠BOF=25°,求∠AOC 和∠EOD的度数 图6.9-10 【解析】∵OF⊥CD(已知),∴∠FOD=90(垂直的意义) 又∵∠BOF=25(已知),∴∠BOD=90°-25°=65°, ∴∠AOC=∠BOD=65°(对顶角相等). 又OE⊥AB(已知),∴∠EOB=90(垂直的意义), ∠EOF=90°-25°=65 ∠EOD=∠EOF+∠FOD=65°+90°=155° 【答案】∠AOC=65,∠EOD=155°
【跟踪练习1】 如图6.9－10，已知直线AB和 CD交于点O，射线OE⊥AB于点O，射线 OF⊥CD于点O，且∠BOF＝25°，求∠AOC 和∠EOD的度数． 【解析】 ∵OF⊥CD(已知)，∴∠FOD＝90°(垂直的意义)． 又∵∠BOF＝25°(已知)，∴∠BOD＝90°－25°＝65°， ∴∠AOC＝∠BOD＝65°(对顶角相等)． 又∵OE⊥AB(已知)，∴∠EOB＝90°(垂直的意义)， ∴∠EOF＝90°－25°＝65°. ∴∠EOD＝∠EOF＋∠FOD＝65°＋90°＝155°. 【答案】 ∠AOC＝65，∠EOD＝155°
2.垂线、垂线段的性质 【典例2】如图69-11,汽车在 条笔直的公路AB上由A向B 行驶,M,N分别是位于公路 AB两侧的村庄 图6.9—11 (1)在图上画出表示两村庄M,N之间距离的线段; (2)设汽车行驶到公路AB上的点P处时,距离村庄M最近; 汽车行驶到公路AB上的点Q处时,距离村庄N最近.请在 图中的公路AB上分别画出点P,Q的位置; (3)当汽车从4出发向B行驶时,在公路AB的哪一段路上距离 M,N两村庄都越来越近?在哪一段路上距离村庄N越来 越近,而离村庄M却越来越远(分别用文字表述你的结 论,不必说出理由)?
2．垂线、垂线段的性质 【典例2】 如图6.9－11，汽车在 一条笔直的公路AB上由A向B 行驶，M，N分别是位于公路 AB两侧的村庄． (1)在图上画出表示两村庄M，N之间距离的线段； (2)设汽车行驶到公路AB上的点P处时，距离村庄M最近； 汽车行驶到公路AB上的点Q处时，距离村庄N最近．请在 图中的公路AB上分别画出点P，Q的位置； (3)当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离 M，N两村庄都越来越近？在哪一段路上距离村庄N越来 越近，而离村庄M却越来越远(分别用文字表述你的结 论，不必说出理由)?
【点拨】(1)应区分“两点间的距离”和“点到直线的距离”这两个 不同的概念,前者是连结两点间的线段的长度,后者是点到直线 的垂线段的长度 (2)把实际问题转化为数学问题,从此例中应该体会到数学上“距 离”具有最小短)性 (3)对于第(2)小题可以从比较AB上各点与M,N连结的线段大小入 手,容易得解. 【解析】(1)如解图所示,所画线段MN 即为所求 (2)分别过点M,N向直线AB画垂线,垂足 P和Q即为所求 (3)当汽车从4出发向B行驶时,在4P这段 (典例2解) 路上时,离M,N两村庄都越来越近;在PQ这段路上时,离村庄N 越来越近,而离村庄M却越来越远
【点拨】 (1)应区分“两点间的距离”和“点到直线的距离”这两个 不同的概念，前者是连结两点间的线段的长度，后者是点到直线 的垂线段的长度． (2)把实际问题转化为数学问题，从此例中应该体会到数学上“距 离”具有最小(短)性． (3)对于第(2)小题可以从比较AB上各点与M，N连结的线段大小入 手，容易得解． 【解析】 (1)如解图所示，所画线段 MN 即为所求． (2)分别过点M，N向直线AB画垂线，垂足 P和Q即为所求． (3)当汽车从A出发向B行驶时，在AP这段 路上时，离M，N两村庄都越来越近；在PQ这段路上时，离村庄N 越来越近，而离村庄M却越来越远．
【跟踪练习2】如图6-12,直线表示一条公、B 路,直线l上的点B表示车站,直线外的点A 表示村庄 (1)从村庄4到车站B筑一条公路,应按怎样 的路线筑路,才能使路程最短? 图6.9-12 (2)从村庄A到公路一条公路,应按怎样的 路线筑路,才能使路程最短? 【解析】如解图 (1)按连结线段AB的路线筑路,才能使路程最 短 (2)作AD⊥厅点D,按线段AD的路线筑路,才 能使路程最短 跟踪练习2解)
【跟踪练习2】 如图6.9－12，直线l表示一条公 路，直线l上的点B表示车站，直线l外的点A 表示村庄． (1)从村庄A到车站B筑一条公路，应按怎样 的路线筑路，才能使路程最短？ (2)从村庄A到公路l筑一条公路，应按怎样的 路线筑路，才能使路程最短？ 【解析】 如解图． (1)按连结线段AB的路线筑路，才能使路程最 短． (2)作AD⊥l于点D，按线段AD的路线筑路，才 能使路程最短．
3.过一点作已知直线的垂线 【典例3】如图69-13,已知△ABC (1)过点画BC的垂线AD,垂足为D; (2)过点4画4D的垂线EF; (3)过点B画BC的垂线BG; (4)直线BG与EF有怎样的位置关系? 图6.9-13 【点拨】垂线段AD其实是点A到直线BC的距离, 也是△ABC中BC边上的高,由于这是一个G 钝角三角形,所以高在三角形的外部,应E 该先延长BC. 【答案】(1)2)(3)如解图所示 (4)直线BG与EF是互相垂直的 (典例3解)
3．过一点作已知直线的垂线 【典例3】 如图6.9－13，已知△ ABC. (1)过点A画BC的垂线AD，垂足为D； (2)过点A画AD的垂线EF； (3)过点B画BC的垂线BG； (4)直线BG与EF有怎样的位置关系？ 【点拨】 垂线段AD其实是点A到直线BC的距离， 也是△ ABC中BC边上的高，由于这是一个 钝角三角形，所以高在三角形的外部，应 该先延长BC. 【答案】 (1)(2)(3)如解图所示 (4)直线 BG 与 EF 是互相垂直的
【跟踪练习3】如图6.9-14,点P是∠AOB内一点 (1)作PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别 为C,D P (2)量出PC,PD的长(精确到1mm);O 图69-14 (3)量出∠CPD和∠AOB的度数; (4)∠AOB与∠CPD的度数有什么关系? (5)由此可得什么规律?
【跟踪练习3】 如图6.9－14，点P是∠AOB内一点． (1)作PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别 为C，D； (2)量出PC，PD的长(精确到1 mm)； (3)量出∠CPD和∠AOB的度数； (4)∠AOB与∠CPD的度数有什么关系？ (5)由此可得什么规律？