6.7角的和差
1.一般地,如果一个角的度数是另两个角的度数的和, 那么这个角就叫做另两个角的和;如果一个角的度 数是另两个角的度数的差,那么这个角就叫做另两 个角的差 2.从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个 相等的角,这条射线叫做这个角的平分线
课前预练 1． 一般地，如果一个角的度数是另两个角的度数的和， 那么这个角就叫做另两个角的和；如果一个角的度 数是另两个角的度数的差，那么这个角就叫做另两 个角的差． 2． 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个 相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．
1.两角的和与差 【典例1】如图67-1所示 (1)∠AOC是哪两个角的和? 2)∠AOB是哪两个角的差? (3)如果∠AOB=∠COD,那么∠AOC与 ∠DOB相等吗? 图6.7-1 【点拨】求两个角的和差可运用数形结合思想 【解析】(1)∠AOC=∠AOB+∠BOC. (2)∠AOB=∠AOD-∠BOD=∠AOC-∠BOC (3)∵∠AOB=∠COD,∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC, 即∠AOC=∠DOB
课内讲练 1．两角的和与差 【典例 1】 如图 6.7－1 所示． (1)∠AOC 是哪两个角的和？ (2)∠AOB 是哪两个角的差？ (3)如果∠AOB＝∠COD，那么∠AOC 与 ∠DOB 相等吗？ 【点拨】 求两个角的和差可运用数形结合思想． 【解析】 (1)∠AOC＝∠AOB＋∠BOC. (2)∠AOB＝∠AOD－∠BOD＝∠AOC－∠BOC. (3)∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC， 即∠AOC＝∠DOB
【跟踪练习1】如图67-2,∠AOC和∠BOD都 是直角.若∠DOC=28°,求∠AOB的度数 【解析】∵∠AOC和∠BOD都是直角, ∠AOC=∠BOD=90° 图6.7-2 ∠DOC=28°, ∠AOD=∠AOC-∠DOC=900-28°=62° ∠AOB=∠BOD+∠AOD=90°+62°=152° 【答案】152°
【跟踪练习1】 如图6.7－2，∠AOC和∠BOD都 是直角．若∠DOC＝28°，求∠AOB的度数. 【解析】 ∵∠AOC和∠BOD都是直角， ∴∠AOC＝∠BOD＝90°. ∵∠DOC＝28°， ∴∠AOD＝∠AOC－∠DOC＝90°－28°＝62°. ∴∠AOB＝∠BOD＋∠AOD＝90°＋62°＝152°. 【答案】 152°
2.角的平分线 【典例2】(1)如图67-3,∠AOB=90° ∠BOC=30°,OM平分∠AOB,ON平分 ∠BOC,求∠MON的度数; (2)若(1)中的∠AOB=a,其他条件不变, 求∠MON的度数; oNd (3若(1)中的∠BOC=B为锐角),其他条 图6.7-3 件不变,求∠MON的度数 (4)从(1)(2)(3)的结果中能发现什么规律? (5)线段的计算与角的计算存在着紧密联系,它们之间可以 互相借鉴解法,请你模仿(1)~(4)题设计一道以线段为背 景的计算题,并写出其中的规律
2．角的平分线 【典例2】 (1)如图6.7－3，∠AOB＝90°， ∠BOC＝30°，OM平分∠AOB，ON平分 ∠BOC，求∠MON的度数； (2)若(1)中的∠AOB＝α，其他条件不变， 求∠MON的度数； (3)若(1)中的∠BOC＝β(β为锐角)，其他条 件不变，求∠MON的度数； (4)从(1)(2)(3)的结果中能发现什么规律？ (5)线段的计算与角的计算存在着紧密联系，它们之间可以 互相借鉴解法，请你模仿(1)～(4)题设计一道以线段为背 景的计算题，并写出其中的规律．
【点拨】两条角平分线的夹角是整个角的 【解析】(1)∵OM平分∠AOB,∴∠MOB=×90°=45° 又∵ON平分∠BOC,∴∠BON=×30=15° ∠MON=∠MOB+∠BON=45°+15°=60° ∴∠MON=∠MOB+∠BON=459+,B (2)∵OM平分∠AOB,∴∠MOB=a ∠MON=∠MOB+∠BON=2a+15° (3)∵ON平分∠BOC,∴∠BON=B
【点拨】 两条角平分线的夹角是整个角的1 2 . 【解析】 (1)∵OM平分∠AOB，∴∠MOB＝ 1 2×90°＝45°. 又∵ON平分∠BOC，∴∠BON＝ 1 2×30°＝15°. ∴∠MON＝∠MOB＋∠BON＝45°＋15°＝60°. ∴∠MON＝∠MOB＋∠BON＝45°＋ 1 2β. (2)∵OM平分∠AOB，∴∠MOB＝ 1 2α. ∴∠MON＝∠MOB＋∠BON＝ 1 2α＋15°. (3)∵ON平分∠BOC，∴∠BON＝ 1 2β
(4)从()23)的结果中发现∠MON=2(∠AOB+∠BOO (5)不唯一,如:设C为线段AB上任意一点,如解图所示,M, N分别为AC,BC的中点.若AB=a,求线段MN的长 CN B (典例2解) 规律:MN=a 【答案】(1)60°(2)a+15°(3)45°+(4)∠MON= (∠AOB+∠BOO)(5)计算题见“解析”,规律:MN=a
(4)从(1)(2)(3)的结果中发现∠MON= 1 2 (∠AOB＋∠BOC)． (5)不唯一，如：设 C 为线段 AB 上任意一点，如解图所示，M， N 分别为 AC，BC 的中点．若 AB＝a，求线段 MN 的长． 规律：MN＝ 1 2 a. 【答案】 (1)60° (2)1 2 α＋15° (3)45°＋ 1 2 β (4)∠MON＝ 1 2 (∠AOB＋∠BOC) (5)计算题见“解析”，规律：MN＝ 1 2 a
跟踪练习2】如图67-4,OM平分∠AOB ON平分∠COD若∠MON=50°,∠BOC B 10°,求∠AOD的度数 【解析】∵OM平分∠AOB, ∠BOM=∠AOB. 2 图6.7 又∵ON平分∠COD,∴∠CON=,∠COD 又∵∠MON=50°,∠BOC=10°, ∠BOM+∠CON=∠MON-∠BOC=50—10°=40°, 即,∠AOB+,∠COD=40°.∴∠AOB+∠COD=80°, ∠AOB+∠COD+∠BOC=80°+10°=90°, 即∠AOD=90° 【答案】90°
【跟踪练习2】 如图6.7－4，OM平分∠AOB， ON平分∠COD.若∠MON＝50°，∠BOC＝ 10°，求∠AOD的度数． 【解析】 ∵OM平分∠AOB， ∴∠BOM＝ 1 2∠AOB. 又∵ON平分∠COD，∴∠CON＝ 1 2∠COD. 又∵∠MON＝50°，∠BOC＝10°， ∴∠BOM＋∠CON＝∠MON－∠BOC＝50°－10°＝40°， 即 1 2∠AOB＋ 1 2∠COD＝40°. ∴∠AOB＋∠COD＝80°， ∴∠AOB＋∠COD＋∠BOC＝80°＋10°＝90°， 即∠AOD＝90°. 【答案】 90°
【典例3】如图67-5,已知O是直线AC上一点,OB是一条 射线,OD平分∠AOB,OE在∠BOC B、 内,∠BOE=∠EOC,∠DOE= 70°,求∠EOC的度数 图6.7-5 【点拨】(1)求图形中某个角的度数,关键是要弄清这个角 与相关角的数量关系. (2)注意∠AOC=∠AOB+∠BOC=180°是隐含的数量关系, 不要遗漏
【典例3】 如图6.7－5，已知O是直线AC上一点，OB是一条 射线，OD平分∠AOB，OE在∠BOC 内，∠BOE＝ 1 2∠EOC，∠DOE＝ 70°，求∠EOC的度数． 【点拨】 (1)求图形中某个角的度数，关键是要弄清这个角 与相关角的数量关系． (2)注意∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝180°是隐含的数量关系， 不要遗漏．
【解析】作∠BOC的平分线OF,则∠BOF=∠COF=∠BOC ∵OD平分∠AOB,∴∠AOD=∠DOB=∠AOB. 又:∠BOC+∠AOB=180°, ∠DOB+∠BOF=90°,即∠DOF=90° ∠EOF=∠DOF-∠DOE=20° 又:∠EOF=∠BOF-∠BOE, 而∠BOF=∠BOC,∠BOE=2∠BOC, ∴∠EOF=∠BOC-2∠BOC=∠∠BOC ∠BOC=6∠EOF=120 ∠EOC=2∠BOC=2×120°=80° 即∠EOC=80° 答案】80°
【解析】 作∠BOC的平分线OF，则∠BOF＝∠COF= 1 2∠BOC. ∵OD平分∠AOB，∴∠AOD＝∠DOB＝ 1 2∠AOB. 又∵∠BOC＋∠AOB＝180°， ∴∠DOB＋∠BOF＝90°，即∠DOF＝90°. ∴∠EOF＝∠DOF－∠DOE＝20°. 又∵∠EOF＝∠BOF－∠BOE， 而∠BOF＝ 1 2∠BOC，∠BOE＝ 1 3∠BOC， ∴∠EOF＝ 1 2∠BOC－ 1 3∠BOC＝ 1 6∠BOC. ∴∠BOC＝6∠EOF＝120°. ∴∠EOC＝ 2 3∠BOC＝ 2 3×120°＝80°. 即∠EOC＝80°. 【答案】 80°