免费下载网址ht:jiaoxue5uys168.com/ 15.4角的平分线 教学目标 【知识与技能】 1.会阐述角平分线的性质定理及其逆定理 2.会应用角平分线定理及其逆定理证明两条线段相等或两个角相等. 【过程与方法】 1.经历探索角平分线作法的过程,进一步体验轴对称的特点,发展空间观察能力 2.探索角平分线定理,培养学生认真探究、积极思考的能力. 【情感、态度与价值观】 1.体验数学与生活的联系,发展学生的空间观念和审美观. 2.活动与探究的过程可以更大程度地激发学生学习的主动性和积极性,使学生具有一些初 步研究问题的能力 重点难点 【重点】 角平分线的性质定理及其逆定理 【难点】 理解并证明角平分线的性质定理及其逆定理 教学过程 创设情境,导入新知 师:同学们知道怎样作出角的平分线吗? 生1:可以通过折纸得到一个角的平分线 生2:也可以用量角器来画一个角的平分线 师:下面我们来学习用尺规作图的方法作出∠AOB的平分线 作法 1.以0为圆心、任意长为半径圆弧分别交OA、OB于点M、N,如图(1) (3) 2.分别以点M、N为圆心,以大于MN长为半径在角的内部画弧交于点P,如图(2) 作射线OP,则OP为所要求作的∠AOB的平分线,如图(3) 师:通过上面的作图,启发我们可以用尺规完成:“经过一点作已知直线的垂线.” 由于这一点可能在直线上或直线外,这个作图要分两种情况 1.经过已知直线上的一点作这条直线的垂线 解压密码联系qq1119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网 tt:jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com 15.4 角的平分线 教学目标 【知识与技能】 1.会阐述角平分线的性质定理及其逆定理. 2.会应用角平分线定理及其逆定理证明两条线段相等或两个角相等. 【过程与方法】 1.经历探索角平分线作法的过程,进一步体验轴对称的特点,发展空间观察能力. 2.探索角平分线定理,培养学生认真探究、积极思考的能力. 【情感 、态度与价值观】 1.体验数学与生活的联系,发展学生的空间观念和审美观. 2.活动与探究的过程可以更大程度地激发学生学习的主动性和积极性,使学生具有一些初 步研究问题的能力. 重点难点 【重点】 角平分线的性质定理及其逆定理. 【难点】 理解并证明角平分线的性质定理及其逆定理. 教学过程 一、创设情境,导入新知 师:同学们知道怎样作出角的平分线吗? 生1:可以通过折纸得到一个角的平分线. 生2:也可以用量角器来画一个角的平分线. 师:下面我们来学习用尺规作图的方法作出∠AOB的平分线. 作法: 1.以O为圆心、任意长为半径圆弧分别交OA、OB于点M、N,如图(1). 2.分别以点M、N为圆心,以大于MN长为半径在角的内部画弧交于点P,如图(2). 3.作射线OP,则OP为所要求作的∠AOB的平分线,如图(3). 师:通过上面的作图,启发我们可以用尺规完成:“经过一点作已知直线的垂线.” 由于这一点可能在直线上或直线外,这个作图要分两种情况: 1.经过已知直线上的一点作这条直线的垂线
免费下载网址ht:jiaoxue5uys168.com/ 已知:直线AB和AB上一点C,如图(1) 求作:AB的垂线,使它经过点C. 作法 作平角ACB的平分线CF 直线CF就是所求的垂线 K 2.经过已知直线外一点作这条直线的垂线 已知:直线AB和AB外一点C,如图(2) 求作:AB的垂线,使它经过点C. 作示 1)任意取一点K,使K和C在AB的两旁 (2)以点C为圆心、CK长为半径作弧,交AB于点D和E (3)分别以点D和点E为圆心、大于DE的长为半径作弧,两弧交于点F (4)作直线CF 直线CF就是所求的垂线 教师边操作边讲解 用纸剪一个角,把纸片对折,使角的两边叠合在一起,再把纸片展开,你看到了什么?把对折 的纸片继续任意折一次,然后把纸片展开,又看到了什么? 学生操作 师:从上面折纸中我们发现,纸片第一次对折后的折痕是什么? 生:是这个角的平分线 师:你第二次折时出现的两条折痕的长度之间有什么关系? 生:一样长 师因为第二次我们是任意折的,所以这种等长的折痕能折出无数对 二、共同探究,获取新知 教师多媒体出示 操作:(1)折出如上图中的折痕PD、PE (2)你和同桌用三角板测量一下,检测你们所折的折痕是否符合图示的要求 问题1:你能用文字语言阐述所画图形的性质吗 学生思考后回答 题2:根据命题“在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等” 语言填写下表 已知事项 由已知事项推出的事 图形 解压密码联系qq1119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网 tt:jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com 已知:直线AB和AB上一点C,如图(1). 求作:AB的垂线,使它经过点C. 作法: 作平角ACB的平分线CF. 直线CF就是所求的垂线. 2.经过已知直线外一点作这条直线的垂线. 已知:直线AB和AB外一点C,如图(2). 求作:AB的垂线,使它经过点C. 作示: (1)任意取一点K,使K和C在AB的两旁; (2)以点C为圆心、CK长为半径作弧,交AB于点D和E; (3)分别以点D和点E为圆心、大于DE的长为半径作弧,两弧交于点F; (4)作直线CF. 直线CF就是所求的垂线. 教师边操作边讲解: 用纸剪一个角,把纸片对折,使角的两边叠合在一起,再把纸片展开,你看到了什么?把对折 的纸片继续任意折一次,然后把纸片展开,又看到了什么? 学生操作. 师:从上面折纸中我们发现,纸片第一次对折后的折痕是什么? 生:是这个角的平分线. 师:你第二次折时出现的两条折痕的长度之间有什么关系? 生:一样长. 师:因为第二次我们是任意折的,所以这种等长的折痕能折出无数对. 二、共同探究,获取新知 教师多媒体出示: 操作:(1)折出如上图中的折痕PD、PE; (2)你和同桌用三角板测量一下,检测你们所折的折痕是否符合图示的要求. 问题1:你能用文字语言阐述所画图形的性质吗? 学生思考后回答. 问题2:根据命题“在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”用符号语言填写下表: 图形 已知事项 由已知事项推出的事 项
免费下载网址ht:jiaoxue5uys168.com/ OP平分∠AOB,PD⊥OB,PE ⊥OA,垂足分别为D、 (推证定理1) 问题3:根据下表中的图形和已知事项,猜想由已知事项可推出的事项,并用符号语言填写下 由已知事项推出 图形 已知事项 的事项 DE⊥AB,BC⊥AC,垂足分别为E、 ∠DAE=∠DAC C, DE=DC. 问题4:用文字语言表述上表中的已知事项和由已知事项推出的事项 (推证定理2) 三、练习新知,加深理解 师:下面我们接着来探讨上面的问题3 教师多媒体出示 (1)∵AD平分∠BAC DC⊥AC,DE⊥AB,(已知) (2)∵DC⊥AC,DE⊥AB,DC=DE,(已知) ∴点D在∠BAC的平分线上.() 学生思考后抢答,教师板书. 第1个括号中填“角平分线上任意一点到角的两边的距离相等”,第2个括号中填“到角的 两边距离相等的点在这个角的平分线上” 教师多媒体出示: 【例1】已知:如图所示,∠C=∠C=90°,AC=AC 求证:(1)∠ABC=∠ABC;(2)BC=BC.(要求不用三角形全等判定) 学生思考后交流讨论 教师找一名学生板演,其余同学在下面做,然后集体订正 证明:(1)∵∠C=∠C=90°,(已知) 解压密码联系qq1119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网 tt:jiaoxue5u.taobao.com
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免费下载网址ht:jiaoxue5uys168.com/ AC⊥BC,AC’⊥BC’.(垂直的定义) 又∵AC=AC”,(已知) ∴点A在∠CBC的角平分线上.(到一个角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上) ∵.∠ABC=∠ABC (2)∵∠C=∠C,∠ABC=∠ABC, ∴180°-(∠C+∠ABC)=180°-(∠C+∠ABC).(三角形内角和定理) BC⊥AC,BC⊥AC ∴BC=BC’.(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等) 【例2】已知:如图,△ABC中,∠B、∠C的平分线BE、CF相交于点P 求证:AP平分∠BAC. 证明:过点P分别作PM⊥BC、PN⊥AC、PQ⊥AB,垂足分别为M、N、Q. BE是∠B的平分线,点P在BE上,(已知) PQ=PM.(角平分线上任意一点到角的两边的距离相等) 同理PN=PM ∵PN=PQ.(等量代换) ∴AP平分∠BAC.(到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上) 四、课堂小结 师:你今天学习了什么知识?有什么新的收获? 学生回答,教师点评 教学反思 本节课开头设计的折纸和画一画的活动,旨在丰富学生对角平分线性质的感知,有利于学生 借助直观图从而准确地用文字语言揭示角平分线的性质.由于部分学生常常把“过角平分线上 点向角两边画垂线段”与“过角平分线上一点画角平分线的垂线”混为一谈,因此设计操作 (1)、(2),为学生能正确画出符合要求的图形,从直观上以及三角板的正确使用上都作了恰当的 铺垫,同时也为定理1的推理论证作准备.通过学生自己动后操作、自己推导、自己发现,从而得 到角平分线的性质定理及其逆定理,充分发挥学生的探究意识,使学生在学习中体验并掌握合作 交流的学习方法,同时进一步锻炼学生的数学语言表达能力,能写出规范的证明过程 解压密码联系qq1119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网 tt:jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com ∴AC⊥BC,AC'⊥BC'.(垂直的定义) 又∵AC=AC',(已知) ∴点A在∠CBC'的角平分线上.(到一个角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上) ∴∠ABC=∠ABC'. (2)∵∠C=∠C',∠ABC=∠ABC', ∴180°-(∠C+∠ABC)=180°-(∠C'+∠ABC').(三角形内角和定理) 即∠BAC=∠ABC'. ∵BC⊥AC,BC'⊥AC', ∴BC=BC'.(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等) 【例2】 已知:如图,△ABC中,∠B、∠C的平分线BE、CF相交于点P. 求证:AP平分∠BAC. 证明:过点P分别作PM⊥BC、PN⊥AC、PQ⊥AB,垂足分别为M、N、Q. ∵BE是∠B的平分线,点P在BE上,(已知) ∴PQ=PM.(角平分线上任意一点到角的两边的距离相等) 同理PN=PM. ∴PN=PQ.(等量代换) ∴AP平分∠BAC.(到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上) 四、课堂小结 师:你今天学习了什么知识?有什么新的收获? 学生回答,教师点评. 教学反思 本节课开头设计的折纸和画一画的活动,旨在丰富学生对角平分线性质的感知,有利于学生 借助直观图从而准确地用文字语言揭示角平分线的性质.由于部分学生常常把“过角平分线上 一点向角两边画垂线段”与“过角平分线上一点画角平分线的垂线”混为一谈,因此设计操作 (1)、(2),为学生能正确画出符合要求的图形,从直观上以及三角板的正确使用上都作了恰当的 铺垫,同时也为定理1的推理论证作准备.通过学生自己动后操作、自己推导、自己发现,从而得 到角平分线的性质定理及其逆定理,充分发挥学生的探究意识,使学生在学习中体验并掌握合作 交流的学习方法,同时进一步锻炼学生的数学语言表达能力,能写出规范的证明过程