解直角三角形一应用举例
解直角三角形—应用举例
例题 例3:2012年6月18日,“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞 行器成功实现交会对接.,“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表 面343km的圆形轨道上运行.如图,当组合体运行到地球表面上P点的正上 方时,从中能直接看到地球表面最远的点在什么位置?最远点与P点的距离 是多少?(地球半径约为6400km,m取3142,结果取整数) 分析:从组合体中能最远直 接看到的地球上的点,应是 视线与地球相切时的切点 如图,示地球,点F是组合 体的位置,P是O的切线,切点Q 是从组合体观测地球时的 点.PQ的长就是地面上PQ 两点间的距离,为计算PQ的长卿 先求出∠POQ(即a)
例3： 2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞 行器成功实现交会对接．，“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表 面343km的圆形轨道上运行．如图，当组合体运行到地球表面上P点的正上 方时，从中能直接看到地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离 是多少？（地球半径约为6 400km，π取3.142，结果取整数） 分析：从组合体中能最远直 接看到的地球上的点，应是 视线与地球相切时的切点． ·O Q F P α 如图，⊙O表示地球，点F是组合 体的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q 是从组合体观测地球时的最远 点． 的长就是地面上P、Q 两点间的距离，为计算 的长需 先求出∠POQ（即a） PQ PQ PQ 例题
解:在图中,PQ是⊙O的切线,△FOQ是直角三角形. 6400 0.9491 OF6400+343 F a≈18.36 Q PQ的长为 18.36兀CA00≈ 2051 180 当飞船在P点正上方时,从飞船观测地球时的最远点距离P点约 2051km
解：在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形． ∴ PQ的长为 当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约 2051km ·O Q F P α 0.9491 6400 343 6400 cos + = = OF OQ Q a o 18.36 \ 0 a 6400 2051 180 18 ´ .36p
例4:热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30°,看这栋高楼底部的俯角为60°,热气球与高楼的水平距 离为120m,这栋高楼有多高(结果取整数) 仰角 水平 分析:我们知道,在视线与水平线所 成的角中视线在水平线上方的是仰角, 视线在水平线下方的是俯角,因此, D雷 在图中,a=30°,=60 R△ABC中,a=30°,AD=120 俯角 图性的部 所以利用解直角三角形的知识求出 BD类似地可以求出OD进而求出B
例4: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距 离为120m，这栋高楼有多高（结果取整数） 分析：我们知道，在视线与水平线所 成的角中视线在水平线上方的是仰角， 视线在水平线下方的是俯角，因此， 在图中，a=30° ,β=60° Rt△ABC中，a =30° ，AD＝120， 所以利用解直角三角形的知识求出 BD；类似地可以求出CD，进而求出BC． A B C α D β 仰角 水平线 俯角
解:如图,a=30°,=60°,AD=120. BD CD tan a tan B= AD AD BD=AD. tan a=120x tan 30 120×3=403 CD=AD tan B=120 x tan 60 120× 120 回田的 BC=BD+CD=40√3+120√3 田G 160 277 答:这栋楼高约为277m
解：如图，a = 30° ,β= 60° ， AD＝120． AD CD AD BD Qtan a = , tan = o \BD = ADtan a =120 tan 30 40 3 3 3 =120 = o CD = ADtan =120tan 60 =120 3 =120 3 \BC = BD +CD = 40 3 +120 3 答：这栋楼高约为277m A B C α D β =160 3 277
练习 1.建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC40m的D 处观察旗杆顶部A的仰角60°,观察底部B的 仰角为45°,求旗杆的高度(精确到01m) 解:在等腰三角形BCD中∠ACD=90° BC=DC=40m 在Rt△ACD中 6094°均 Ac D 40m tan∠ADC DC ∴∵AC=tan∠ADC·DC =:tan600×40=403 所以AB=AC-BC=292 答:棋杆的高度为29.2m
1. 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D 处观察旗杆顶部A的仰角60°，观察底部B的 仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）. A B D 40m C 60°45° A B D 40m C 60°45° 解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90° BC=DC=40m 在Rt△ACD中 tan AC ADC DC = \ = AC ADC DC tan 所以AB=AC－BC=29.2 答：棋杆的高度为29.2m. 练习 =tan600×40=40 3
2.如图,沿AC方向开山修路.为了加快施工进度,要在小山的另一边同 时施工,从AC上的一点B取∠ABD=150°,BD=520m,∠D=60°,那 么开挖点E离D多远正好能使A,C,E成一直线 解:要使A、C、E在同一直线上 则∠ABD是△BDE的一个外角 B E 150 ∠BED=∠ABD-∠D=90° cos∠ BDE DE BD 60 DE=cos∠BDE·BD D coS600×520=260 答:开挖点E离点D260m正好能使A,C,E成一直线
2. 如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同 时施工，从AC上的一点B取∠ABD = 150° ，BD = 520m，∠D=60°，那 么开挖点E离D多远正好能使A，C，E成一直线. 60° 150° A B C E D ∴∠BED=∠ABD－∠D=90° cos DE BDE BD = \ = DE BDE BD cos 答：开挖点E离点D 260m正好能使A，C，E成一直线. 解：要使A、C、E在同一直线上， 则 ∠ABD是 △BDE 的一个外角 =cos600×520=260
例5如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距离灯塔80海里 的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东 34°方向上的B处,这时,海轮所在的B处距离灯塔P有多远(结果 取整数)? 解:如图,在Rt△APC中, 65 PC=P4cos(90°-65°) =80×c0s25° ≈80×0.91 72.505 134 在Rt△BPC中,∠B=34° ∵SmB、PC PB B PB= PC72.50572.505 130 sinb sin 34 0.559 当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时,它距离灯塔P大约130海里
例5 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里 的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东 34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（结果 取整数）？ 解：如图，在Rt△APC中， PC＝PA·cos（90°－65°） ＝80×cos25° ≈80×0.91 =72.505 在Rt△BPC中，∠B＝34° PB PC Qsin B = 当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130海里． 65° 34° P B C A 130 0.559 72.505 sin 34 72.505 sin \ = = o B PC PB
化整为零,积零为整,化曲为直,以直代曲的解决问题的策略 解直角三角形有广泛的应用,解决问题时,要根据实际情况灵活运用 相关知识,例如,当我们要测量如图所示大坝的高度h时,只要测出仰 角a和大坝的坡面长度,就能算出h= sina,但是,当我们要测量如图所 示的山高h时,问题就不那么简单了,这是由于不能很方便地得到仰角a 和山坡长度l 与测坝高相比,测山高的困难在于;坝坡是“直”的,而山坡是“曲” 的,怎样解决这样的问题呢?
解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用 相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的高度h时，只要测出仰 角a和大坝的坡面长度l，就能算出h=lsina，但是，当我们要测量如图所 示的山高h时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角a 和山坡长度l 化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略 与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而山坡是“曲” 的，怎样解决这样的问题呢？ h h α α l l
我们设法“化曲为直,以直代曲”.我们可以把山坡“化 整为零”地划分为一些小段,图表示其中一部分小段,划分小 段时,注意使每一小段上的山坡近似是“直”的,可以量出这 段坡长1,测出相应的仰角a1,这样就可以算出这段山坡的高度 h= sinar. 在每小段上,我们都构造出直角三角形,利用上面的方法分别算 出各段山坡的高度h1,h2灬…,hn然后我们再“积零为整”,把 h1h2,n相加,于是得到山高h 以上解决问题中所用的“化整为零,积零为整”“化曲为直,以直代 的做法,就是高等数学中微积分的基本思想,它在数学中有重要地位, 今后的学习中,你会更多地了解这方面的内容
我们设法“化曲为直，以直代曲”．我们可以把山坡“化 整为零”地划分为一些小段，图表示其中一部分小段，划分小 段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这 段坡长l1，测出相应的仰角a1，这样就可以算出这段山坡的高度 h1=l1 sina1 . 在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算 出各段山坡的高度h1 ,h2 ,…,hn ,然后我们再“积零为整”，把 h1 ,h2 ,…,hn相加，于是得到山高h. h α l 以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲” 的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在 今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容．