回顾与思考 在Rt△ABC中,∠C=90°,根据下列条件解直角三角形; (1)a=30,b=20; B a=30 (2)∠B=72°,c=14 A 6=20 C
在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形； （1）a = 30 , b = 20 ; (2) ∠B＝72° ，c = 14. A B b=20 C a=30 c
在解直角三角形的过程中,一般要用到的一些关系: 2 (1)三边之间的关系a2+b (2)两锐角之间的关系∠A+∠B=90° b (3)边角之间的关系 B SnA∠A的对边 斜边c SnB=∠B的对边b 斜边 coS∠A的邻边b ∠B的邻边 斜边 C cOS B= 斜边 ∠B的对边b tan a ∠A的对边 a tan B= ∠A的邻边b ∠B的邻边a
（2）两锐角之间的关系 ∠A＋∠B＝90° （3）边角之间的关系 c A a A = = 斜边 的对边 sin c B b B = = 斜边 的对边 sin c A b A = = 斜边 的邻边 cos c B a B = = 斜边 的邻边 cos b a A A A = = 的邻边 的对边 tan a b B B B = = 的邻边 的对边 tan （1）三边之间的关系 2 2 2 a + b = c A a B b c C 在解直角三角形的过程中，一般要用到的一些关系：
测量中的最远点问题 例3:2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变 轨后,就在离地球表面350km的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地 球表面上P点的正上方时,从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置? 这样的最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6400m,结果精确到 0.1km) 分析:从飞船上能最远直接 看到的地球上的点,应是视 线与地球相切时的切点 Q 如图,⊙O示地球,点F是飞船 的位置,P是⊙O的切线,切点疆是 从飞船观测地蹴时的最远PO 点,PO 的长就是地面上PQ 两点间的距离,为计算PO的长需 先求出∠POQ(即a)
例3： 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功．当飞船完成变 轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行．如图，当飞船运行到地 球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置？ 这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6 400km，结果精确到 0.1km） 分析：从飞船上能最远直接 看到的地球上的点，应是视 线与地球相切时的切点． ·O Q F P 如图，⊙ α O表示地球，点F是飞船 的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是 从飞船观测地球时的最远 点． 的长就是地面上P、Q 两点间的距离，为计算 的长需 先求出∠POQ（即a） PQ PQ PQ
解:在图中,FQ是⊙O的切线,△FOQ是直角三角形 OO 6400 0.95 OF6400+350 ∴a≈18° PQ的长为 18丌 ×6400≈3.14×640=2009.6 180 当飞船在P点正上方时,从飞船观测地球时的最远点距离P点约 20096km
解：在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形． 0.95 6400 350 6400 cos + = = OF OQ a a 18 ∴ PQ的长为 6400 3.14 640 2009.6 180 18 = 当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约 2009.6km ·O Q F P α
仰角与俯角 例4:热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30°,看这栋高楼底部的俯角为60°,热气球与高楼的水平距 离为120m,这栋高楼有多高(结果精确到0.1m) 分析:我们知道,在视线与水平线所 仰角 水平线 成的角中视线在水平线上方的是仰角, 视线在水平线下方的是俯角,因此, 在图中,a=30°,=60° R△ABC中,a=30 1D=120 图 四的 所以利用解直角三角形的知识求出 日用 俯角 BD类似地可以求出CD选而求出BC
例4: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距 离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m） 分析：我们知道，在视线与水平线所 成的角中视线在水平线上方的是仰角， 视线在水平线下方的是俯角，因此， 在图中，a=30° ,β=60° Rt△ABC中，a =30° ，AD＝120， 所以利用解直角三角形的知识求出 BD；类似地可以求出CD，进而求出BC． A B C α D β 仰角 水平线 俯角
解:如图,a=30°,阝=60°,AD=120 BD CD ∵tana tan B AD AD BD=AD. tan a=120x tan 30 =120×=40√3 D回自 日世册田 CD= AD tan B=120×tan60 20×√3=120√3 mm的m BC=BD+CD=40√3+1203 =1603≈2771 答:这栋楼高约为271m
解：如图，a = 30°,β= 60° ， AD＝120． AD CD AD BD tan a = , tan = BD = ADtan a =120 tan 30 40 3 3 3 =120 = CD = ADtan =120tan 60 =120 3 =120 3 BC = BD +CD = 40 3 +120 3 =160 3 277.1 答：这栋楼高约为277.1m A B C α D β
练习 建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC40m的D 处观察旗杆顶部A的仰角54°,观察底部B的 仰角为45°,求旗杆的高度(精确到0.1m) 解:在等腰三角形BCD中∠ACD=90° BC=DC=40m 在Rt△ACD中 54945 tan∠ADC、AC D 40m DC AC=tan∠ ADC. DC =tan54°×40≈1.38×40=552 所以AB=AC-BC=552-40=152 答:棋杆的高度为152m
1. 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D 处观察旗杆顶部A的仰角54°，观察底部B的 仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m） A B D 40m C 54°45° A B D 40m C 54°45° 解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90° BC=DC=40m 在Rt△ACD中 tan AC ADC DC = = AC ADC DC tan = = tan 54 40 1.38 40 55.2 所以AB=AC－BC=55.2－40=15.2 答：棋杆的高度为15.2m. 练习
2.如图,沿AC方向开山修路.为了加快施工进度,要在小山的另一边同 时施工,从AC上的一点B取∠ABD=140°,BD=520m,∠D=50°,那 么开挖点E离D多远正好能使A,C,E成一直线(精确到01m) 解:要使A、C、E在同一直线上,AB E 则∠ABD是△BDE的一个外角 140 ∠BED=∠ABD-∠D90° cos∠ BDE DE 50° BD D DE=cos∠BDE●BD cos50°×520≈0.64×520=332.8 答:开挖点E离点D3328m正好能使A,C,E成一直线
2. 如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同 时施工，从AC上的一点B取∠ABD = 140° ，BD = 520m，∠D=50°，那 么开挖点E离D多远正好能使A，C，E成一直线（精确到0.1m） 50° 140° A B C E D ∴∠BED=∠ABD－∠D=90° cos DE BDE BD = = DE BDE BD cos = = cos50 520 0.64 520 332.8 答：开挖点E离点D 332.8m正好能使A，C，E成一直线. 解：要使A、C、E在同一直线上， 则 ∠ABD是 △BDE 的一个外角
名言 聪明在于学习,天才在于积 所谓天才,实际上是 依靠学习。 罗庚
名言： 聪明在于学习，天才在于积 累。……所谓天才，实际上是 依靠学习。 _____华罗庚