27.2.3相似三角形应用举例 第1课时
27.2.3 相似三角形应用举例 第1课时
新课异入 相似三角形的判定 (1)通过平行线 (2)三组对应边的比相等 (3)两组对应边的比相等且相应的夹角相等 (4)两组对应角分别相等
相似三角形的判定 （1）通过平行线. （2）三组对应边的比相等. （3）两组对应边的比相等且相应的夹角相等. （4）两组对应角分别相等
根据下列条件能否判定△ABC与△A′B′C′相似? 为什么? (1)∠A=120°,AB=7,AC=14 ∠A′=120°,A′B′=3,AC′=6 (2)AB=4,BC=6,AC=8 A′B′=12,B′C′=18,AC′=21 (3)∠A=70°,∠B=48°,∠A=70°,∠C′=62°
根据下列条件能否判定△ABC与△A′B′C′相似？ 为什么？ (1)∠A=120° ，AB=7，AC=14 ∠A′=120° ，A′B′=3，A′C′=6 (2)AB=4，BC=6，AC=8 A′B′=12，B′C′=18，A′C′=21 (3)∠A=70°,∠B=48°, ∠A′=70°, ∠C′=62°
知识讲解 【例1】据史料记载,古希腊数 学家、天文学家泰勒斯曾利用相 似三角形的原理,在金字塔影子 的顶部立一根木杆,借助太阳光 线构成两个相似三角形,来测量 金字塔的高度.如图,如果木杆 EF长2m,它的影长FD为3m,测得 0A为201m,求金字塔的高度B0. 如何测出0A的 0 ? 长?
【例1】据史料记载，古希腊数 学家、天文学家泰勒斯曾利用相 似三角形的原理，在金字塔影子 的顶部立一根木杆，借助太阳光 线构成两个相似三角形，来测量 金字塔的高度.如图，如果木杆 EF长2m，它的影长FD为3m，测得 OA为201m，求金字塔的高度BO. 如何测出OA的 长？ 【例题】
太阳光是 因此∠BAO=∠EDF, 又∠AOB=∠DFE=90° ∴△ABO∽△DEF BO OA EF FD 因此金字塔的高为134m
OA EF 201 2 BO 134. FD 3 = = = 因此金字塔的高为134m. 解析：太阳光是平行光线， 因此∠BAO= ∠ EDF， 又 ∠ AOB=∠DFE=90° ， ∴△ABO∽△DEF ∴ BO OA EF FD =
【例2】如图为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定 个目标点P,在近岸取点Q和S,使点P、Q、S共线且直 线PS与河垂直,接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择 适当的点T,确定PT与过点Q且垂 直PS的直线b的交点R,如果测得 QS=45m, ST=90m, QR=60m 求河的宽度PQ Q R b S
P Q R S T b a 【例2】如图为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定 一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直 线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择 适当的点T，确定PT与过点Q且垂 直PS的直线b的交点R，如果测得 QS=45m，ST=90m，QR=60m. 求河的宽度PQ
∠PQR=∠PST=90°,∠P=∠P ∴△PQR△PST PQ QR PS ST PO OR PO 60 即 PQ+QS ST PQ+45 90 PQ×90=(PQ+45)×60, 解得PQ=90 因此河宽大约为90m
解析：∵∠PQR=∠PST=90° ，∠P=∠P, ∴△PQR∽△PST. ∴ PQ×90=(PQ+45)×60， 解得PQ=90. 因此河宽大约为90m. PQ QR PS ST = ， PQ QR PQ 60 , PQ QS ST PQ 45 90 = = + + 即
训练】 如图,测得BD=120m,DC=60m,EC=50m,求河宽AB ∵∠B=∠C=90°, ∠ADB=∠EDC △ABD∽△ECD, AB BD EC DC AB=50×120÷60 B C D 100(m) E
如图，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求河宽AB. 解析：∵∠B=∠C=90° ， ∠ADB=∠EDC， ∴△ABD∽△ECD， ∴ ∴AB=50×120÷60 =100（m） A B D C E AB BD EC DC = ， 【跟踪训练】
利用相似三角形测量瓶子的内径 音:等长的两根小木棒,橡皮筋,玻璃瓶,刻度 过程:两人合作先把两根小木棒用橡皮筋捆好,然后将等 长的两根小木棒的一端放进瓶子里,使两根小木棒抵住瓶 底并紧靠瓶子的边缘,再用刻度尺测出小木棒另两端的距 离.构造相似并计算瓶子内径 设点O将两根小木棒都分成了 段,比值为如果我们测出线段 B的长度为m,根据△AOB~△DOC,我 可以求出内径CD的长度了,即
利用相似三角形测量瓶子的内径 学具准备：等长的两根小木棒，橡皮筋，玻璃瓶，刻度尺 过程：两人合作先把两根小木棒用橡皮筋捆好，然后将等 长的两根小木棒的一端放进瓶子里，使两根小木棒抵住瓶 底并紧靠瓶子的边缘，再用刻度尺测出小木棒另两端的距 离．构造相似并计算瓶子内径． 【解析】设点O将两根小木棒都分成了 两段，比值为 如果我们测出线段 AB的长度为m，根据△AOB∽△DOC，我 们就可以求出内径CD的长度了，即 CD=mn． 1 n
相似三角形的性质是我们常常用 的重要方法,也是我们用来求线段的长度与角度相 要方法 如图,已知△ACB的边AB、AC上的两点D、E,且∠ADE=∠C, 求证:AD·AB=AE·AC ∵∠ADE=∠C,∠A=∠A △ADE∽△ACB(如果一个三角形的两个角 另一个三角形的两个角对应相等,那么这 三角形相似) ACEAE. AB AC
【规律方法】相似三角形的性质是我们常常用来证明线段 等积式的重要方法，也是我们用来求线段的长度与角度相 等的重要方法． 如图，已知△ACB的边AB、AC上的两点D、E，且∠ADE=∠C， 求证：AD·AB=AE·AC． E D B C 【证明】 ∵∠ADE=∠C，∠A=∠A A ∴△ADE∽△ACB（如果一个三角形的两个角 与另一个三角形的两个角对应相等，那么这 两个三角形相似） ∴AD︰AC=AE︰AB 即AD·AB=AE·AC．