免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 二次函数与一元二次方程 名师教案 教学目标 1.理解二次函数与一元二次方程的关系,会判断抛物线与x轴的交点个数、掌握方程 与函数间的转化 2.会利用二次函数的图象求相应一元二次方程的近似解 3.探求利用图象求一元二次方程根的过程,掌握数形结合的思想方法 教学重难点 探索二次函数图象与一元二次方程的关系,理解抛物线与x轴交点情况,利用二次函数 的图象求一元二次方程的近似根;函数→方程→x轴交点,三者之间的关系的理解与运用 教学过程 导入新课 出示二次函数的图象,如图所示,根据图象回答: 2x-3 1.x为何值时,y=0? 2.你能根据图象,求方程x-2x-3=0的根吗? 3.函数y=x2-2x-3与方程x-2x-3=0之间有何关系呢? 推进新课 、合作探究 【问题1】画出函数y=x2+3x+2的图象,根据图象回答下列问题 (1)图象与x轴交点的坐标是什么? (2)当x取何值时,y=0?这里x的取值与方程x+3x+2=0有什么关系? (3)你能从中得到什么启发? 教学设计:1.先让学生回顾函数y=ax2+bx+c图象的画法,按列表、描点、连线等 步骤画出函数y=x2+3x+2的图象 教师巡视,与学生合作、交流 3.教师讲评,并画出函数图象. 4.教师引导学生观察函数图象,回答(1)提出的问题,得到图象与x轴交点的坐标分别 是(-1,0)和(-2,0) 5.让学生完成(2)的解答.教师巡视指导并讲评 6.对于问题(3),教师组织学生分组讨论、交流,各组选派代表发表意见,全班交流, 达成共识:从“形”的方面看,函数y=x2+3x+2的图象与x轴交点的横坐标,即为方程 x2+3x+2=0的解;从“数”的方面看,当二次函数y=x2+3x+2的函数值为0时,相应 的自变量的值即为方程x2+3x+2=0的解.更一般地,函数y=ax+bx+c的图象与x轴交 点的横坐标即为方程ax2+bx+c=0的解:当二次函数y=ax+bx+c的函数值为0时,相 应的自变量的值即为方程ax2+bx+c=0的解,这一结论反映了二次函数与一元二次方程的 关系 【问题2】画出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1 2x+2的图象,并根据图 象观察 (1)每个图象与x轴有几个交点? (2)一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0,x2-2x+2=0各有几个根?用根的判别式 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 二次函数与一元二次方程 教学目标 1．理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与 x 轴的交点个数、掌握方程 与函数间的转化． 2．会利用二次函数的图象求相应一元二次方程的近似解． 3．探求利用图象求一元二次方程根的过程，掌握数形结合的思想方法． 教学重难点 探索二次函数图象与一元二次方程的关系，理解抛物线与 x 轴交点情况，利用二次函数 的图象求一元二次方程的近似根；函数→方程→x 轴交点，三者之间的关系的理解与运用． 教学过程 导入新课 出示二次函数的图象，如图所示，根据图象回答： 1．x 为何值时，y＝0? 2．你能根据图象，求方程 x 2－2x－3＝0 的根吗？ 3．函数 y＝x 2－2x－3 与方程 x 2－2x－3＝0 之间有何关系呢？ 推进新课 一、合作探究 【问题 1】 画出函数 y＝x 2＋3x＋2 的图象，根据图象回答下列问题． (1)图象与 x 轴交点的坐标是什么？ (2)当 x 取何值时，y＝0？这里 x 的取值与方程 x 2＋3x＋2＝0 有什么关系？ (3)你能从中得到什么启发？ 教学设计： 1.先让学生回顾函数 y＝ax 2＋bx＋c 图象的画法，按列表、描点、连线等 步骤画出函数 y＝x 2＋3x＋2 的图象． 2．教师巡视，与学生合作、交流． 3．教师讲评，并画出函数图象． 4．教师引导学生观察函数图象，回答(1)提出的问题，得到图象与 x 轴交点的坐标分别 是(－1,0)和(－2,0)． 5．让学生完成(2)的解答．教师巡视指导并讲评． 6．对于问题(3)，教师组织学生分组讨论、交流，各组选派代表发表意见，全班交流， 达成共识：从“形”的方面看，函数 y＝x 2＋3x＋2 的图象与 x 轴交点的横坐标，即为方程 x 2＋3x＋2＝0 的解；从“数”的方面看，当二次函数 y＝x 2＋3x＋2 的函数值为 0 时，相应 的自变量的值即为方程 x 2＋3x＋2＝0 的解．更一般地，函数 y＝ax 2＋bx＋c 的图象与 x 轴交 点的横坐标即为方程 ax 2＋bx＋c＝0 的解；当二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 的函数值为 0 时，相 应的自变量的值即为方程 ax 2＋bx＋c＝0 的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的 关系． 【问题 2】 画出二次函数 y＝x 2＋2x，y＝x 2－2x＋1，y＝x 2－2x＋2 的图象，并根据图 象观察： (1)每个图象与 x 轴有几个交点？ (2)一元二次方程 x 2＋2x＝0，x 2－2x＋1＝0，x 2－2x＋2＝0 各有几个根？用根的判别式
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 验证一下,你有什么发现 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况 ①有两个交点;②有一个交点;③没有交点 当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变 量x的值,即一元二次方程ax+bx+c=0的根 次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的个数与一元二次方程ax2+bx+c=0根的 三次函数y=ax+bx+c的图一元二次方程ax+bx一元二次方程ax+bx+c=0 象与x轴交点 c=0的根 的根的判别式4=b2-4ac 有一个交点 有两个相等实数根 没有实数根 【问题3】根据问题1的图象回答下列问题: (1)当x取何值时,y0? 当-2-1时,y>0 (2)能否用含有x的不等式来描述(1)中的问题? 能用含有x的不等式来描述(1)中的问题,即x+3x+20的解集是什么? 【问题4】想一想:二次函数与一元二次不等式有什么关系? 让学生类比二次函数与一元二次方程的关系,讨论、交流,达成共识 (1)从“形”的方面看,二次函数y=ax2+bx+c在x轴上方的图象上的点的横坐标, 即为一元二次不等式ax2+bx+c>0的解:在x轴下方的图象上的点的横坐标,即为一元二 次不等式ax2+bx+c0的解;当二次函数y=ax2+bx+c的函数值小于0 时,相应的自变量的值即为一元二次不等式ax+bx+c<0的解.这一结论反映了二次函数 与一元二次不等式的关系 【问题5】利用函数y=x2-2x-2的图象,求方程x2-2x-2=0的实数根(精确到0.1) 分析:用描点法画函数y=x2-2x-2的图象,图象要求尽可能准确(如图) 方法一:确定抛物线与x轴的两个交点的位置,估计方程x2-2x-2=0两根的范围. 观察图象,x≈-0.7时,y的值最接近于0:题≈2.7时,y的值最接近于0.从而估计 方程的根为≈-0.7,≈2.7 方法二:观察图象发现,当自变量为2时,函数值小于0:当自变量为3时,函数值大 于0,抛物线是一段连续曲线,所以在2和3之间的某个值,函数值为0,即在2和3之间 有根 采用“逐渐逼近”的方法,逐步缩小两个数值的范围,直到确定符合条件的近似根:将 2.5代入函数中,函数值小于0,所以方程在2.5与3之间有一个根;将2.75代入函数中, 函数值大于0,所以方程在2.5与2.75之间有一个根;……最后确定这个根大约是2.7 采用同样的方法,确定另一个根大约是-0.7 点拨:此题看起来容易,实际上学生不容易理解,做起来有一定难度.故教师应多指导, 理清思路 、应用示例 【例1】如图所示, 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 验证一下，你有什么发现？ 二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 的图象和 x 轴交点有三种情况： ①有两个交点；②有一个交点；③没有交点． 当二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 的图象和 x 轴有交点时，交点的横坐标就是当 y＝0 时自变 量 x 的值，即一元二次方程 ax 2＋bx＋c＝0 的根． 二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 的图象和 x 轴交点的个数与一元二次方程 ax 2＋bx＋c＝0 根的 关系： 二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 的图 象与 x 轴交点 一元二次方程 ax 2＋bx ＋c＝0 的根 一元二次方程 ax 2＋bx＋c＝0 的根的判别式 Δ＝b 2－4ac 有两个交点 有两个相异实数根 b 2－4ac＞0 有一个交点 有两个相等实数根 b 2－4ac＝0 没有交点 没有实数根 b 2－4ac＜0 【问题 3】 根据问题 1 的图象回答下列问题： (1)当 x 取何值时，y＜0？当 x 取何值时，y＞0? 当－2＜x＜－1 时，y＜0；当 x＜－2 或 x＞－1 时，y＞0. (2)能否用含有 x 的不等式来描述(1)中的问题？ 能用含有 x 的不等式来描述(1)中的问题，即 x 2＋3x＋2＜0 的解集是什么？x 2＋3x＋2 ＞0 的解集是什么？ 【问题 4】 想一想：二次函数与一元二次不等式有什么关系？ 让学生类比二次函数与一元二次方程的关系，讨论、交流，达成共识： (1)从“形”的方面看，二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 在 x 轴上方的图象上的点的横坐标， 即为一元二次不等式 ax 2＋bx＋c＞0 的解；在 x 轴下方的图象上的点的横坐标，即为一元二 次不等式 ax 2＋bx＋c＜0 的解． (2)从“数”的方面看，当二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 的函数值大于 0 时，相应的自变量 的值即为一元二次不等式 ax 2＋bx＋c＞0 的解；当二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 的函数值小于 0 时，相应的自变量的值即为一元二次不等式 ax 2＋bx＋c＜0 的解．这一结论反映了二次函数 与一元二次不等式的关系． 【问题5】利用函数y＝x 2－2x－2的图象，求方程x 2－2x－2＝0的实数根(精确到0.1)． 分析：用描点法画函数 y＝x 2－2x－2 的图象，图象要求尽可能准确(如图)． 方法一：确定抛物线与 x 轴的两个交点的位置，估计方程 x 2－2x－2＝0 两根的范围． 观察图象，x1≈－0.7 时，y 的值最接近于 0；x2≈2.7 时，y 的值最接近于 0.从而估计 方程的根为 x1≈－0.7，x2≈2.7. 方法二：观察图象发现，当自变量为 2 时，函数值小于 0；当自变量为 3 时，函数值大 于 0，抛物线是一段连续曲线，所以在 2 和 3 之间的某个值，函数值为 0，即在 2 和 3 之间 有根． 采用“逐渐逼近”的方法，逐步缩小两个数值的范围，直到确定符合条件的近似根：将 2.5 代入函数中，函数值小于 0，所以方程在 2.5 与 3 之间有一个根；将 2.75 代入函数中， 函数值大于 0，所以方程在 2.5 与 2.75 之间有一个根；……最后确定这个根大约是 2.7. 采用同样的方法，确定另一个根大约是－0.7. 点拨：此题看起来容易，实际上学生不容易理解，做起来有一定难度．故教师应多指导， 理清思路． 二、应用示例 【例 1】 如图所示
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 234文 1)一元二次方程一x2+2x+3=0的根是多少? (2)一元二次方程-x2+2x+3=3的根是多少? (3)不等式-x2+2x+3>3的解集是什么? (4)一元二次方程-x2+2x+3=k有两个根,则k的取值范围是什么? 解:根据图象知 (1)方程一x2+2x+3=0的两根为x 2)方程-x2+2x+3=3的两根为x=0,x=2 (3)不等式-x2+2x+3>3的解集是01:(3)b>0:(4)a+b+c>0:(5)a-b+c>0. 你认为其中,正确信息的个数有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3.若抛物线y=ax2+bx+3与y=-x2+3x+2的两交点关于原点对称,则a、b分别 为 4.如图所示,抛物线y=ax+bx+c(a≠0)与x轴的两个交点分别为A(-1,0)和B(2,0), 当y<0时,x的取值范围是 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com (1)一元二次方程－x 2＋2x＋3＝0 的根是多少？ (2)一元二次方程－x 2＋2x＋3＝3 的根是多少？ (3)不等式－x 2＋2x＋3＞3 的解集是什么？ (4)一元二次方程－x 2＋2x＋3＝k 有两个根，则 k 的取值范围是什么？ 解：根据图象知： (1)方程－x 2＋2x＋3＝0 的两根为 x1＝－1，x2＝3. (2)方程－x 2＋2x＋3＝3 的两根为 x1＝0，x2＝2. (3)不等式－x 2＋2x＋3＞3 的解集是 0＜x＜2. (4)k 的取值范围是 k＜4. 点评：此题充分展示了二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系． 【例 2】 已知抛物线 y＝x 2＋(2k＋1)x－k 2＋k. (1)求证：此抛物线与 x 轴有两个不同的交点； (2)当 k＝0 时，求此抛物线与坐标轴的交点坐标． 分析：(1)证明方程 x 2＋(2k＋1)x－k 2＋k＝0 有两个不相等的实数根即可． (2)通过解方程，求值即可． 点拨：(1)注意利用 b 2－4ac 的值――→ 判断 二次方程 ax 2＋bx＋c＝0 的根的情况――→ 判断 y＝ax 2 ＋bx＋c 与 x 轴交点的个数． (2)掌握抛物线与坐标轴交点的求法． 三、巩固提高 1．抛物线 y＝－x 2＋2kx＋2 与 x 轴交点的个数有( )． A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．以上都不对 2．小强从如图所示的二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 的图象中，观察得出了下面五条信息： (1)a＜0；(2)c＞1；(3)b＞0；(4)a＋b＋c＞0；(5)a－b＋c＞0. 你认为其中，正确信息的个数有( )． A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 3．若抛物线 y＝ax 2＋bx＋3 与 y＝－x 2＋3x＋2 的两交点关于原点对称，则 a 、b 分别 为__________． 4．如图所示，抛物线y＝ax 2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两个交点分别为A(－1,0)和B(2,0)， 当 y＜0 时，x 的取值范围是__________．
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ B 5.抛物线y=x2-6x+8与x轴交点坐标为(2,0),(4,0),求方程x2-6x+8=0的根 6.已知关于x的函数y=ax2+x+1(a为常数) (1)若函数的图象与x轴恰有一个交点,求a的值 (2)若函数的图象是抛物线,且顶点始终在x轴上方,求a的取值范围. 本课小结 1.所学知识:(1)二次函数y=ax+bx+c(a≠0)与二次方程之间的关系.当y为某 确定值m时,相应的自变量x的值就是方程ax+bx+c=m的根 (2)若抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为(0),则是方程ax+bx+c=0的根 (3)利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 2.思想方法是数形结合、逐渐逼近的探求方法 教研中心… 二次函数与一元二次方程的关系 元二次方程ax2+bx+c=0实际上是二次函数y=ax2+bx+c中y=0时的一种特殊 请况.可列表如下 二次函数=ax+bx一元二次方程ax+ 开口方向判别式 次函数图象+c与x轴的交点个bx+c=0的根的情 △>0 有两个交点 有两不等实根x,x2 △=0 有一个交点有两相等实根x=x △0 有两个交点 有两不等实根, 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 5．抛物线 y＝x 2－6x＋8 与 x 轴交点坐标为(2,0)，(4,0)，求方程 x 2－6x＋8＝0 的根． 6．已知关于 x 的函数 y＝ax 2＋x＋1(a 为常数)． (1)若函数的图象与 x 轴恰有一个交点，求 a 的值； (2)若函数的图象是抛物线，且顶点始终在 x 轴上方，求 a 的取值范围． 本课小结 1．所学知识：(1)二次函数 y＝ax 2＋bx＋c(a≠0)与二次方程之间的关系．当 y 为某一 确定值 m 时，相应的自变量 x 的值就是方程 ax 2＋bx＋c＝m 的根． (2)若抛物线 y＝ax 2＋bx＋c 与 x 轴的交点为(x0,0)，则 x0 是方程 ax 2＋bx＋c＝0 的根． (3)利用二次函数图象求一元二次方程的近似解． 2．思想方法是数形结合、逐渐逼近的探求方法． 二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程 ax 2＋bx＋c＝0 实际上是二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 中 y＝0 时的一种特殊 情况．可列表如下： 开口方向 判别式 二次函数图象 二次函数 y＝ax 2＋bx ＋c 与 x 轴的交点个 数 一元二次方程 ax 2＋ bx＋c＝0 的根的情 况 a＞0 Δ＞0 有两个交点 有两不等实根 x1，x2 Δ＝0 有一个交点 有两相等实根 x1＝x2 Δ＜0 没有交点 无实根 a＜0 Δ＞0 有两个交点 有两不等实根 x1，x2
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ X1=x2 有一个交点 有两相等实根x=x2 △<0 没有交点 无实根 奥赛链接 已知点A,B的坐标分别为(1,0),(2,0).若二次函数y=x2+(a-3)x+3的图象与线 段AB恰有一个交点,则a的取值范围是 解析:分两种情况: (1)因为二次函数y=x2+(a-3)x+3的图象与线段AB只有一个交点,且点A,B的坐 标分别为(1,0),(2,0),所以[12+(a-3)×1+3]×[2+(a-3)×2+3]<0 解得-1<a< 由12+(a-3)×1+3=0,得a=-1,此时x=1,=3,符合题意; 2,不符合题意 3 由2+(a-3)×2+3=0,得a=--,此时 2)令x2+(a-3)x+3=0,由判别式△=0,得a=3±2√3 当a=3+2√3时,x==-√3,不合题意:当a=3-2√3时,==√,符合 题意 综上所述,a的取值范围是-1≤a<-或a=3-23 答案:-1≤a<-或a=3-2 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com Δ＝0 有一个交点 有两相等实根 x1＝x2 Δ＜0 没有交点 无实根 奥赛链接 已知点 A，B 的坐标分别为(1,0)，(2,0)．若二次函数 y＝x 2＋(a－3)x＋3 的图象与线 段 AB 恰有一个交点，则 a 的取值范围是__________． 解析：分两种情况： (1)因为二次函数 y＝x 2＋(a－3)x＋3 的图象与线段 AB 只有一个交点，且点 A，B 的坐 标分别为(1,0)，(2,0)，所以[12＋(a－3)×1＋3]×[22＋(a－3)×2＋3]＜0. 解得－1＜a＜ 1 2 − . 由 1 2＋(a－3)×1＋3＝0，得 a＝－1，此时 x1＝1，x2＝3，符合题意； 由 2 2＋(a－3)×2＋3＝0，得 a＝ 1 2 − ，此时 x1＝2，x2＝ 3 2 ，不符合题意． (2)令 x 2＋(a－3)x＋3＝0，由判别式 Δ＝0，得 a＝3± 2 3 . 当 a＝3＋ 2 3 时，x1＝x2＝− 3 ，不合题意；当 a＝3－2 3 时，x1＝x2＝ 3 ，符合 题意． 综上所述，a 的取值范围是－1≤a＜ 1 2 − 或 a＝3－ 2 3 . 答案：－1≤a＜ 1 2 − 或 a＝3－ 2 3