免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 二次函数 名师教案 教学目标 1.能够表示简单变量间的二次函数关系,并求出函数自变量的取值范围. 2.理解二次函数的意义与特征,能判断一个给定的函数是否为二次函数 进一步增强用数学方法解决实际问题的能力,体会二次函数在应用中的作用 教学重难点 定乙里解二次函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式:从实例中抽象出二次函数的 分析实例中的二次函数关系 教学过程 导入新课 【导语一】回忆一次函数和正比例函数的定义、图象特征,它们对解决实际问题起了 很大的作用,从而导入新课 【导语二】观察海湾战争期间,导弹拦截的瞬间图片(或在黑板上画出示意图).思考 为何导弹长了眼睛,它的运动路线有何规律呢?这些需要我们对函数作进一步了解,从而导 入新课 【导语三】观察喷泉水的流动弧线,篮球运动的路线,……探究这些优美的弧线与什 么函数有关呢? 推进新课 、合作探究 【问题1】想一想:①正方体的棱长为x,表面积为y,则y=6x2(用含x的代数式表 示).②圆的面积为S,半径为R,则S=IR(用含R的代数式表示) 设计意图:从简单的例子感知二次函数的形式 【问题2】某水产养殖户用长40m的围网,在水库中围一块矩形的水面投放鱼苗,要 使围成的水面面积为75m2,则它的长应是多少米?(只列方程,不求解) 思路分析:矩形水面的面积应等于矩形水面的长乘宽,故可设出矩形水面的长为xm 然后用总长表示出水面的宽为(20-x)m,就可表示出水面面积为x(20-x),从而可列出方 程 【问题3】某水产养殖户用长40m的围网,在水库中围一块矩形的水面投放鱼苗,要 使围成的水面面积最大,它的长应是多少米?(列出关系式) 思路分析:矩形水面的面积应等于矩形水面的长乘宽,故可设出矩形水面的长为xm 然后用总长表示出水面的宽为(20-x)m,再设它的面积为Sm2,就可表示出水面面积与矩形 长的关系式为S=x(20一x),整理得S=-x2+20x.这里的取值应为0<x<20 【问题4】一种商品的售价为每件10元,一周可卖出50件.市场调查表明:这种商 品如果每件涨价1元,每周要少卖5件.已知该商品进价每件为8元,问每件商品涨价多少 元,才能使利润最多? 思路分析:可设每件商品涨价x元,每周获得的利润为y元 根据“每周获得的利润=每件的利润×每周卖的件数”,可推理如下 涨价0元时,每件的利润为(10-8)元,每周卖的件数为50件 涨价1元时,每件的利润为(10+1-8)元,每周卖的件数为(50-5)件; 涨价2元时,每件的利润为(10+2-8)元,每周卖的件数为(50-5×2)件 涨价3元时,每件的利润为(10+3-8)元,每周卖的件数为(50-5×3)件; 涨价4元时,每件的利润为(10+4-8)元,每周卖的件数为(50-5×4)件 涨价x元时,每件的利润为(10+x-8)元,每周卖的件数为(50-5x)件 由此可列关系式为y=(10+x-8)(50-5x),整理得y=-5x2+40x+100 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 二次函数 教学目标 1．能够表示简单变量间的二次函数关系，并求出函数自变量的取值范围． 2．理解二次函数的意义与特征，能判断一个给定的函数是否为二次函数． 3．进一步增强用数学方法解决实际问题的能力，体会二次函数在应用中的作用． 教学重难点 理解二次函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式；从实例中抽象出二次函数的 定义，分析实例中的二次函数关系． 教学过程 导入新课 【导语一】 回忆一次函数和正比例函数的定义、图象特征，它们对解决实际问题起了 很大的作用，从而导入新课． 【导语二】 观察海湾战争期间，导弹拦截的瞬间图片(或在黑板上画出示意图)．思考： 为何导弹长了眼睛，它的运动路线有何规律呢？这些需要我们对函数作进一步了解，从而导 入新课． 【导语三】 观察喷泉水的流动弧线，篮球运动的路线，……探究这些优美的弧线与什 么函数有关呢？ 推进新课 一、合作探究 【问题 1】 想一想：①正方体的棱长为 x，表面积为 y，则 y＝6x 2 (用含 x 的代数式表 示)．②圆的面积为 S，半径为 R，则 S＝πR 2 (用含 R 的代数式表示)． 设计意图： 从简单的例子感知二次函数的形式． 【问题 2】 某水产养殖户用长 40 m 的围网，在水库中围一块矩形的水面投放鱼苗，要 使围成的水面面积为 75 m2，则它的长应是多少米？(只列方程，不求解) 思路分析： 矩形水面的面积应等于矩形水面的长乘宽，故可设出矩形水面的长为 x m， 然后用总长表示出水面的宽为(20－x)m，就可表示出水面面积为 x(20－x)，从而可列出方 程． 【问题 3】 某水产养殖户用长 40 m 的围网，在水库中围一块矩形的水面投放鱼苗，要 使围成的水面面积最大，它的长应是多少米？(列出关系式) 思路分析： 矩形水面的面积应等于矩形水面的长乘宽，故可设出矩形水面的长为 x m， 然后用总长表示出水面的宽为(20－x)m，再设它的面积为 S m 2，就可表示出水面面积与矩形 长的关系式为 S＝x(20－x)，整理得 S＝－x 2＋20x.这里的取值应为 0＜x＜20. 【问题 4】 一种商品的售价为每件 10 元，一周可卖出 50 件．市场调查表明：这种商 品如果每件涨价 1 元，每周要少卖 5 件．已知该商品进价每件为 8 元，问每件商品涨价多少 元，才能使利润最多？ 思路分析： 可设每件商品涨价 x 元，每周获得的利润为 y 元． 根据“每周获得的利润＝每件的利润×每周卖的件数”，可推理如下： 涨价 0 元时，每件的利润为(10－8)元，每周卖的件数为 50 件； 涨价 1 元时，每件的利润为(10＋1－8)元，每周卖的件数为(50－5)件； 涨价 2 元时，每件的利润为(10＋2－8)元，每周卖的件数为(50－5×2)件； 涨价 3 元时，每件的利润为(10＋3－8)元，每周卖的件数为(50－5×3)件； 涨价 4 元时，每件的利润为(10＋4－8)元，每周卖的件数为(50－5×4)件； …… 涨价 x 元时，每件的利润为(10＋x－8)元，每周卖的件数为(50－5x)件． 由此可列关系式为 y＝(10＋x－8)(50－5x)，整理得 y＝－5x 2＋40x＋100
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 【问题5】一种商品的售价为每件10元,一周可卖出50件.市场调查表明:这种商 品如果每件降价1元,每周要多卖5件.已知该商品进价每件为8元,问每件商品降价多少 元,才能使利润最多? 思路分析:根据上题的分析,同样可进行推理: 降价x元时,每件的利润为(10-x-8)元,每周卖的件数为(50+5x)件 从而可列出关系式为y=(10-x-8)(50+5x),即y=-5x2-40x+100. 【问题6】观察比较以下关系式 ①y=6x2;②S=IR;③S=-x+20x:④y=-5x2+40x+100:⑤y=-5x2-40x+100. 函数①②③④⑤有什么共同点与不同点 共同点:A.等式的左边为函数,等式的右边为自变量的二次式:; B.等式的右边可统一为“ax+bx+c”的形式 师生共同归纳二次函数的定义:一般地,形如y=ax+bx+c(a,b,c是常数,且a≠0) 的函数,叫做二次函数 注意:(1)函数y=ax+bx+c中,a≠0是必备条件,切不可忽视.而b,c的值可以 为任意实数 (2)定义是关于x的二次整式 切不可把=x2+-+3也当成二次函数 二、巩固提高 1.二次函数定义的判定及其应用 【应用示例】下列函数是二次函数的是( A.y=8x2+1 B.y=2x-3 C.y=3x2+ 解析:A符合二次函数定义,故它是二次函数:B是一次函数:C,D都出现分式,故C, D都不是二次函数 谷案:A 点评:紧扣定义中的两个特征:(1)a≠0;(2)ax2+bx+c是整式(二次三项式) 2.实际问题中的二次函数 【应用示例】一个正方形的边长是12cm若从中挖去一个长为2xcm,宽为(x+1)cm 的小长方形,剩余部分的面积为ycm (1)写出y与x之间的函数关系式,并指出y是x的什么函数 (2)当小长方形的长中x的值为2,4时,相应的剩余部分面积是多少? 分析:画出示意图如下,剩余面积=正方形面积一小长方形面积 x+1 12 解:(1)y=122-2x(x+1), 即y=-2x2-2x+14 ∴y是x的二次函数 (2)当x=2,4时,相应的y的值分别为132cm2104cm2 点拨:几何图形的面积一般需要画图分析,相关线段必须先用x的代数式表示出来. 三、达标训练 1.下列函数中,哪些是二次函数? (1)y=5x+1:(2)y=4x2-1:(3)y=2x-3x2;(4)y=5x-3x+1 2.二次函数y=ax中,当x=1时,y=2,则a= 3.已知函数y=(a+2)x2+x+3是二次函数,则常数a的取值范围是 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 【问题 5】 一种商品的售价为每件 10 元，一周可卖出 50 件．市场调查表明：这种商 品如果每件降价 1 元，每周要多卖 5 件．已知该商品进价每件为 8 元，问每件商品降价多少 元，才能使利润最多？ 思路分析： 根据上题的分析，同样可进行推理： 降价 x 元时，每件的利润为(10－x－8)元，每周卖的件数为(50＋5x)件． 从而可列出关系式为 y＝(10－x－8)(50＋5x)，即 y＝－5x 2－40x＋100. 【问题 6】 观察比较以下关系式： ①y＝6x 2；②S＝πR 2；③S＝－x 2＋20x；④y＝－5x 2＋40x＋100；⑤y＝－5x 2－40x＋100. 函数①②③④⑤有什么共同点与不同点． 共同点：A．等式的左边为函数，等式的右边为自变量的二次式； B．等式的右边可统一为“ax 2＋bx＋c”的形式． 师生共同归纳二次函数的定义：一般地，形如 y＝ax 2＋bx＋c(a，b，c 是常数，且 a≠0) 的函数，叫做二次函数． 注意： (1)函数 y＝ax 2＋bx＋c 中，a≠0 是必备条件，切不可忽视．而 b，c 的值可以 为任意实数； (2)定义是关于 x 的二次整式 切不可把y＝x 2＋ 1 x ＋3也当成二次函数 . 二、巩固提高 1．二次函数定义的判定及其应用 【应用示例】 下列函数是二次函数的是( )． A．y＝8x 2＋1 B．y＝2x－3 C．y＝3x 2＋ 1 x 2 D．y＝ 3 x 解析：A 符合二次函数定义，故它是二次函数；B 是一次函数；C，D 都出现分式，故 C， D 都不是二次函数． 答案：A 点评：紧扣定义中的两个特征：(1)a≠0；(2)ax 2＋bx＋c 是整式(二次三项式)． 2．实际问题中的二次函数 【应用示例】 一个正方形的边长是 12 cm.若从中挖去一个长为 2x cm，宽为(x＋1) cm 的小长方形，剩余部分的面积为 y cm 2 . (1)写出 y 与 x 之间的函数关系式，并指出 y 是 x 的什么函数； (2)当小长方形的长中 x 的值为 2,4 时，相应的剩余部分面积是多少？ 分析：画出示意图如下，剩余面积＝正方形面积－小长方形面积． 解：(1)y＝122－2x(x＋1)， 即 y＝－2x 2－2x＋144. ∴y 是 x 的二次函数． (2)当 x＝2,4 时，相应的 y 的值分别为 132 cm2,104 cm2 . 点拨：几何图形的面积一般需要画图分析，相关线段必须先用 x 的代数式表示出来． 三、达标训练 1．下列函数中，哪些是二次函数？ (1)y＝5x＋ 1；(2)y＝4x 2－1；(3)y＝2x 3－3x 2；(4)y＝5x 4－3x＋1. 2．二次函数 y＝ax 2 中，当 x＝1 时，y＝2，则 a＝__________. 3．已知函数 y＝(a＋2)x 2＋x＋3 是二次函数，则常数 a 的取值范围是__________．
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 4.已知函数y=(m+1)xm-3m-2+(m-1)x(m是常数) (1)m为何值时,它是二次函数? (2)m为何值时,它是一次函数? 5.函数y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常数)中,当a,b,c满足什么条件时, (1)它是二次函数? (2)它是一次函数? (3)它是正比例函数? 本课小结 1.通过实际问题情境,引入二次函数的概念,让学生在观察、归纳中加深对二次函数 的理解与掌握 2.二次函数的概念: 一般地,形如y=ax+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)的函数叫做二次函数,其中r 是自变量 教研中心 次函数的取值范围 1.一般情况下,二次函数中自变量的取值范围为全体实数 如:二次函数y=3x2+1中自变量x的取值范围就为全体实数 2.实际问题中的二次函数,其自变量的取值范围必须使实际问题有意义 如:底面是边长为xcm的正方形,高为0.5cm的长方体的体积为ycm.求y与x之间 的函数关系式.因为正方形的边长为正数,所以此题自变量x的取值范围应为x>0. 、二次函数的误区警示 二次函数是初中数学中的一个十分重要的内容,也是各地中考命题的一个热点内容 不少同学在学习时由于概念不清、考虑不周,遇到相关问题有时感到茫然,从而致使错误百 出.现将误区作出警示 【例题】已知y=(m-4)xm-3m-2+2x-3是二次函数,求m的值 错解:根据题意,有-3m2=2, 即m-3m-4=0.解得m=-1,m=4. 点击:根据二次函数的定义,要使y=(m-4)·xm-m2+2x3是二次函数,m不但 应满足m-3m-2=2,而且还应满足m-4≠0,二者缺一不可,上述解法因忽略了隐含条件 m-4≠0,而导致错误 正解:根据题意 4≠0, 解得m=-1 警示:解这类题目要特别注意防止漏掉“二次项系数不等于0”这个隐含条件 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 4．已知函数 y＝(m＋1) 2 m m3 2 x － － ＋(m－1)x(m 是常数)． (1)m 为何值时，它是二次函数？ (2)m 为何值时，它是一次函数？ 5．函数 y＝ax 2＋bx＋c(其中 a，b，c 是常数)中，当 a，b，c 满足什么条件时， (1)它是二次函数？ (2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？ 本课小结 1．通过实际问题情境，引入二次函数的概念，让学生在观察、归纳中加深对二次函数 的理解与掌握． 2．二次函数的概念： 一般地，形如 y＝ax 2＋bx＋c(a，b，c 为常数，且 a≠0)的函数叫做二次函数，其中 x 是自变量． 一、二次函数的取值范围 1．一般情况下，二次函数中自变量的取值范围为全体实数． 如：二次函数 y＝3x 2＋1 中自变量 x 的取值范围就为全体实数． 2．实际问题中的二次函数，其自变量的取值范围必须使实际问题有意义． 如：底面是边长为 x cm 的正方形，高为 0.5 cm 的长方体的体积为 y cm 3 .求 y 与 x 之间 的函数关系式．因为正方形的边长为正数，所以此题自变量 x 的取值范围应为 x＞0. 二、二次函数的误区警示 二次函数是初中数学中的一个十分重要的内容，也是各地中考命题的一个 热点内容， 不少同学在学习时由于概念不清、考虑不周，遇到相关问题有时感到茫然，从而致使错误百 出．现将误区作出警示． 【例题】 已知 y＝(m－4) 2 m m3 2 x － － ＋2x－3 是二次函数，求 m 的值． 错解：根据题意，有 m 2－3m－2＝2， 即 m 2－3m－4＝0.解得 m1＝－1，m2＝4. 点击：根据二次函数的定义，要使 y＝(m－4)· 2 m m3 2 x － － ＋2x－3 是二次函数， m 不但 应满足 m 2－3m－2＝2，而且还应满足 m－4≠0，二者缺一不可，上述解法因忽略了隐含条件 m－4≠0，而导致错误． 正解：根据题意，知 m 2－3m－2＝2， m－4≠0， 解得 m＝－1. 警示：解这类题目要特别注意防止漏掉“二次项系数不等于 0”这个隐含条件．