免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 第5课时用待定系数法求二次函数的解析式 名师教案 教学目标 1.通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究,掌握求解析式的方法 2.能灵活地根据条件恰当地选择解析式,体会二次函数解析式之间的转化. 从学习过程中体会学习数学知识的价值,从而提高学习数学知识的兴趣 教学重难点 根据不同条件选择不同的方法来求二次函数的关系式 教学过程 导入新课 1.回忆二次函数关系式的两种类型:一般式和顶点式 2.一般式和顶点式的区别与联系 推进新课 、合作探究 【问题1】已知一个二次函数的图象过点(0,1),它的顶点坐标是(8,9),求这个二次 函数的关系式 分析:二次函数y=a(x+b)2+k的形式称为顶点式,(一b,k)为抛物线的顶点坐标 因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8,9),因此,可以设函数关系式为y=a(x-8)2+9 由于。二次函数的图象过点(0,1),将(0,1)代入所设函数关系式,即可求出a的值 请同学们完成本例的解答 【问题2】已知二次函数当x=-3时,有最大值-1,且当x=0时,y=3,求二次函 数的关系式 解:由于二次函数当x=-3时,有最大值-1, 所以此二次函数的顶点坐标为(-3,-1) 设二次函数关系式为y=a(x+b)2+k,依题意,得y=a(x+3)2-1 因为二次函数图象过点(0,3) 所以有3=a(0+3)2-1,解得a4 所以所求二次函数的关系式为y=a(x+3)2-1,m42+5x+3 总结:让学生讨论、交流、归纳得到:已知二次函数的最大值或最小值,就是已知该函 数顶点坐标,应用顶点式求解方便,用一般式求解计算量较大 【问题3】已知二次函数的图象过(1,0),(-1,-4)和(0,-3)三点,求这个二次函 数的解析式 思路分析:此题已知三点为任意三点,没有顶点,所以此函数只能设二次函数的一般式 把三点坐标代入二次函数的解析式,得到一个三元一次方程组,然后解这个三元一次方程组, 求得a、b、c的值 此题由学生解答,对于解三元一次方程组的问题,如学生遗忘,教师应进行指导 总结:此题是典型的根据三点坐标求其解析式,关键是:(1)熟悉待定系数法:;(2)点在 函数图象上时,点的坐标满足此函数的解析式:(3)会解简单的三元一次方程组 巩固提高 1.已知抛物线的顶点是(2,-4),它与y轴的一个交点的纵坐标为4,求函数的关系 式 解:设所求的函数关系式为y=a(x+b)2+k,依题意,得y=a(x-2)2-4 因为抛物线与y轴的一个交点的纵坐标为4 所以抛物线过点(0,4),于是a(0-2)2-4=4,解得a=2. 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 第 5 课时 用待定系数法求二次函数的解析式 教学目标 1．通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握求解析式的方法． 2．能灵活地根据条件恰当地选择解析式，体会二次函数解析式之间的转化． 3．从学习过程中体会学习数学知识的价值，从而提高学习数学知识的兴趣． 教学重难点 根据不同条件选择不同的方法来求二次函数的关系式． 教学过程 导入新课 1．回忆二次函数关系式的两种类型：一般式和顶点式． 2．一般式和顶点式的区别与联系． 推进新课 一、合作探究 【问题 1】 已知一个二次函数的图象过点(0,1)，它的顶点坐标是(8,9)，求这个二次 函数的关系式． 分析：二次函数 y＝a(x＋h) 2＋k 的形式称为顶点式，(－h，k)为抛物线的顶点坐标， 因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8,9)，因此，可以设函数关系式为 y＝a(x－8)2＋9. 由于 二次函数的图象过点(0,1)，将(0,1)代入所设函数关系式，即可求出 a 的值． 请同学们完成本例的解答． 【问题 2】 已知二次函数当 x＝－3 时，有最大值－1，且当 x＝0 时，y＝3，求二次函 数的关系式． 解：由于二次函数当 x＝－3 时，有最大值－1， 所以此二次函数的顶点坐标为(－3，－1)． 设二次函数关系式为 y＝a(x＋h) 2＋k，依题意，得 y＝a(x＋3)2－1. 因为二次函数图象过点(0,3)， 所以有 3＝a(0＋3)2－1，解得 a＝ 4 9 . 所以所求二次函数的关系式为 y＝ 4 9 (x＋3)2－1，即 y＝ 4 9 x 2＋ 8 3 x＋3. 总结：让学生讨论、交流、归纳得到：已知二次函数的最大值或最小值，就是已知该函 数顶点坐标，应用顶点式求解方便，用一般式求解计算量较大． 【问题 3】 已知二次函数的图象过(1,0)，(－1，－4)和(0，－3)三点，求这个二次函 数的解析式． 思路分析：此题已知三点为任意三点，没有顶点，所以此函数只能设二次函数的一般式， 把三点坐标代入二次函数的解析式，得到一个三元一次方程组，然后解这个三元一次方程组， 求得 a、b、c 的值． 此题由学生解答，对于解三元一次方程组的问题，如学生遗忘，教师应进行指导． 总结：此题是典型的根据三点坐标求其解析式，关键是：(1)熟悉待定系数法；(2)点在 函数图象上时，点的坐标满足此函数的解析式；(3)会解简单的三元一次方程组． 二、巩固提高 1．已知抛物线的顶点是(2，－4)，它与 y 轴的一个交点的纵坐标为 4，求函数的关系 式． 解：设所求的函数关系式为 y＝a(x＋h) 2＋k，依题意，得 y＝a(x－2)2－4. 因为抛物线与 y 轴的一个交点的纵坐标为 4， 所以抛物线过点(0,4)，于是 a(0－2)2－4＝4，解得 a＝2
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 所以,所求二次函数的关系式为y=2(x-2)2-4, 即y=2x2-8x+4. 2.如图所示,求二次函数的关系式 4C 分析:观察图象可知,A点坐标是(8,0),C点坐标为(0,4).从图中可知对称轴是直线 x=3,由于抛物线是关于对称轴的轴对称图形,所以此抛物线在x轴上的另一交点B的坐标 是(-2,0),问题转化为已知三点求函数关系式 解:观察图象可知,A,C两点的坐标分别是(8,0),(0,4),对称轴是直线x=3, 所以B点坐标为(-2,0) 设所求二次函数为=ax2+bx+C,由已知,这个图象经过点(0,4),可以得到c=4 64a+8b=-4, 又由于其图象过(8,0),(-2,0)两点,可以得到 4a-2b=-4. 解这个方程组,得 所以所求二次函数的关系式是=一+2x+4 三、达标训练 1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(0,1),B(-1,0),C(1,0),那么此函数 的关系式是 如果y随x的增大而减小,那么自变量x的变化范围是 若抛物线y=-x2+bx+c的最高点为(-1,-3),求b和c 3.如果抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,12),(0,5和(2,-3),求a+b+c的值 4.已知二次函数的图象过坐标原点,它的顶点坐标是(1,-2),求这个二次函数的关 系式 5.已知二次函数过点A(0,-2),B(-1,0), (1)求此二次函数的解析式 ()判断点,是否在直线AC上 6.如图,已知二次函数y=x2-2x-1的图象的顶点为A.二次函数y=ax+bx的图象 与x轴交于原点O及另一点C,它的顶点B在函数y=x2-2x-1的图象的对称轴上 y=x2-2x-1 O123 (1)求点A与点C的坐标; (2)当四边形AOBC为菱形时,求函数y=a+bx的关系式 本课小结 1.求二次函数的关系式,常见的有两种类型 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 所以，所求二次函数的关系式为 y＝2(x－2)2－4， 即 y＝2x 2－8x＋4. 2．如图所示，求二次函数的关系式． 分析：观察图象可知，A 点坐标是(8,0)，C 点坐标为(0,4)．从图中可知对称轴是直线 x＝3，由于抛物线是关于对称轴的轴对称图形，所以此抛物线在 x 轴上的另一交点 B 的坐标 是(－2,0)，问题转化为已知三点求函数关系式． 解：观察图象可知，A，C 两点的坐标分别是(8,0)，(0,4)，对称轴是直线 x＝3， 所以 B 点坐标为(－2,0)． 设所求二次函数为 y ＝ax 2＋bx＋c，由已知，这个图象经过点(0,4)，可以得到 c＝4， 又由于其图象过(8,0)，(－2,0)两点，可以得到 64a＋8b＝－4， 4a－2b＝－4. 解这个方程组，得 a＝－ 1 4 ， b＝ 3 2 . 所以所求二次函数的关系式是 y＝－ 1 4 x 2＋ 3 2 x＋4. 三、达标训练 1．已知二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 的图象经过 A(0,1)，B(－1,0)，C(1,0)，那么此函数 的关系式是______．如果 y 随 x 的增大而减小，那么自变量 x 的变化范围是________． 2．若抛物线 y＝－x 2＋bx＋c 的最高点为(－1，－3)，求 b 和 c. 3．如果抛物线 y＝ax 2＋bx＋c 经过点(－1,12)，(0,5)和(2，－3)，求 a＋b＋c 的值． 4．已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是(1，－2)，求这个二次函数的关 系式． 5．已知二次函数过点 A(0，－2)，B(－1,0)，C 5 4 ， 9 8 . (1)求此二次函数的解析式； (2)判断点 M 1， 1 2 是否在直线 AC 上． 6．如图，已知二次函数 y＝x 2－2x－1 的图象的顶点为 A．二次函数 y＝ax 2＋bx 的图象 与 x 轴交于原点 O 及另一点 C，它的顶点 B 在函数 y＝x 2－2x－1 的图象的对称轴上． (1)求点 A 与点 C 的坐标； (2)当四边形 AOBC 为菱形时，求函数 y＝ax 2＋bx 的关系式． 本课小结 1．求二次函数的关系式，常见的有两种类型：
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ (1)一般式:y=ax2+bx+c; (2)顶点式:=a(x+b)2+k,其顶点是(-b,k) 2.用待定系数法求函数解析式,应注意根据不同的条件选择合适的解析式形式 (1)当已知抛物线上任意三点时,通常设为一般式y=ax+bx+c的形式.二次函数关 系式的确定,关键在于求出三个待定系数a、b、C,由于已知三点坐标必须适合所求的函数 关系式,故可列出三个方程,求出三个待定系数 (2)当已知抛物线的顶点(或最值)与抛物线上另一点时,通常设为顶点式y=a(x+b) +k的形式 教研中心 、巧求二次函数表达式 二次函数常见表达式有一般式(也称三点式)、顶点式(也称配方式)和两根式(也称交点 式)三种,各种表达式要注意根据不同的条件灵活选用,以简化解题过程,提高解题能力.下 面针对各种条件通常采用的表达式作一简单的归纳 1.如果已知的条件是二次函数的三组对应值,或者其图象经过三个一般的点,那么 般采用一般式y=ax2+bx+c(a≠0) 【例1】已知二次函数的图象经过点(1,2),(-1,-2),(0,3),求这个二次函数的 表达式 解:因为已知的三点仅是一般的点,故设二次函数的表达式为y=ax+bx+c,则 +b+c=2, a-b+c=-2, 解得b=2 所以所求的二次函数表达式为y=-3x2+2x+ 2.如果己知条件是二次函数的最大(小)值,或者是图象的顶点坐标,那么一般采用顶 点式y=a(x-m)2+n(a≠0) 【例2】已知二次函数的图象的顶点坐标为(2,-3),且经过点(0,3),求这个函数的 表达式 解:因为函数图象的顶点坐标为(2,-3),故可设其表达式为 V-a(x- 2)2-3,又经过 点(0,3),故3=a(0-3)2-3,解得a 所以y==(x-3)2-3或y==x2-4x+3 3.如果已知条件是二次函数图象与x轴交点坐标,那么可采用两根式y=a(x-x)(x k)(a≠0) 【例3】已知二次函数的图象交x轴于点(-2,0)和(6,0),且经过点(1,15),求它的 表达式 解:这里x=-2,=6,故可设二次函数的解析式为y=a(x+2)(x-6) 把x=1,y=15代入,得15=a×3×(-5),a=-1.所以y=-(x+2)(x-6)=-x2 4x+12. 4.综合运用各种表达式,再利用比较系数法 【例4】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标为(2,-3),且在x轴上截得 的线段长为2√3,求a,b,c的值 解:由已知,设二次函数的解析式为y=a(x-2)2-3,即y=ax2-4ax+4a-3,故4 16a-4a(4a-3)=12a>0.设抛物线与x轴的交点为(x0),(x.0),由题意,得|x-x 所以√(x-x)=Vx+x)2一4x=个4-4×4=2V5,解得 故y=(x-2)2-3,即y=x-4x+1 所以a=1,b=-4,c=1 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com (1)一般式：y＝ax 2＋bx＋c； (2)顶点式：y＝a(x＋h) 2＋k，其顶点是(－h，k)． 2．用待定系数法求函数解析式，应注意根据不同的条件选择合适的解析式形式． (1)当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式 y＝ax 2＋bx＋c 的形式．二次函数关 系式的确定，关键在于求出三个待定系数 a、b、c，由于已知三点坐标必须适合所求的函数 关系式，故可列出三个方程，求出三个待定系数． (2)当已知抛物线的顶点(或最值)与抛物线上另一点时，通常设为顶点式 y＝a(x＋h) 2 ＋k 的形式． 一、巧求二次函数表达式 二次函数常见表达式有一般式(也称三点式)、顶点式(也称配方式)和两根式(也称交点 式)三种，各种表达式要注意根据不 同的条件灵活选用，以简化解题过程，提高解题能力．下 面针对各种条件通常采用的表达式作一简单的归纳． 1．如果已知的条件是二次函数的三组对应值，或者其图象经过三个一般的点，那么一 般采用一般式 y＝ax 2＋bx＋c(a≠0)． 【例 1】 已知二次函数的图象经过点(1,2)，(－1，－2)，(0,3)，求这个二次函数的 表达式． 解：因为已知的三点仅是一般的点，故设二次函数的表达式为 y＝ax 2＋bx＋c，则 a＋b＋c＝2， a－b＋c＝－2， c＝3. 解得 a＝－3， b＝2， c＝3. 所以所求的二次函数表达式为 y＝－3x 2＋2x＋ 3. 2．如果已知条件是二次函数的最大(小)值，或者是图象的顶点坐标，那么一般采用顶 点式 y＝a(x－m) 2＋n(a≠0)． 【例 2】 已知二次函数的图象的顶点坐标为(2，－3)，且经过点(0,3)，求这个函数的 表达式． 解：因为函数图象的顶点坐标为(2，－3)，故可设其表达式为 y＝a(x－2)2－3，又经过 点(0,3)，故 3＝a(0－3)2－3，解得 a＝ 2 3 . 所以 y＝ 2 3 ( x－3)2－3 或 y＝ 2 3 x 2－4x＋3. 3．如果已知条件是二次函数图象与 x 轴交点坐标，那么可采用两根式 y＝a(x－x1)(x －x2)(a≠0)． 【例 3】 已知二次函数的图象交 x 轴于点(－2,0)和(6,0)，且经过点(1,15)，求它的 表达式． 解：这里 x1＝－2，x2＝6，故可设二次函数的解析式为 y＝a(x＋2)(x－6)． 把 x＝1，y＝15 代入，得 15＝a×3×(－5)，a＝－1.所以 y＝－(x＋2)(x－6)＝－x 2 ＋4x＋12. 4．综合运用各种表达式，再利用比较系数法． 【例 4】 已知二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 的图象的顶点坐标为(2，－3)，且在 x 轴上截得 的线段长为 2 3，求 a，b，c 的值． 解：由已知，设二次函数的解析式为 y＝a(x－2)2－3，即 y＝ax 2－4ax＋4a－3，故 Δ ＝16a 2－4a(4a－3)＝12a＞0.设抛物线与 x 轴的交点为(x1,0)，(x2,0)，由题意，得|x1－x2| ＝2 3. 所以 (x1－x2) 2＝ (x1＋x2) 2－4x1x2＝ 4 2－4× 4a－3 a ＝2 3，解得 a＝1. 故 y＝(x－2)2－3，即 y＝x 2－4x＋1. 所以 a＝1，b＝－4，c＝1
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 求变换后抛物线的关系式 次函数的图象是抛物线,对抛物线进行平移、旋转、翻折等变换后,所求相应的抛物 线的关系式也发生了变化,下面探讨如何求变换后的二次函数的关系式 1.平移变换 将抛物线y=a(x-b)2+k向右平移m(m>0)个单位,再向上平移n(m>0)个单位,所得 到的抛物线的顶点坐标为(h+m,k+m):将抛物线y=a(x-b)2+k向左平移m(m>0)个单位, 再向下平移n(n>0)个单位,所得到的抛物线的顶点坐标为(h-m,k-n) 【例1】将抛物线y=2x2-4x+5先向右平移3个单位,再向下平移2个单位,求平移 后所得抛物线的关系式 分析:要求平移后的抛物线关系式,首先将y=2x2-4x+5配方,确定其顶点坐标,然 后根据平移公式求出平移后所得抛物线的顶点坐标,即可求得平移后的抛物线 解:因为y=22-4x+5=2(x-1)2+3,其顶点坐标为(1,3),所以平移后的抛物线的 顶点坐标是(1+3,3-2),即为(4,1),所以平移后的抛物线的关系式为y=2(x-4)2+1, 也就是y=2x2-16x+33 点拨:平移前抛物线与平移后的抛物线的关系式的二次项的系数相同 2.翻折变换 将抛物线y=a(x-b)2+k沿x轴翻折后得到的抛物线与原抛物线关于x轴对称,所以 两抛物线顶点的横坐标相同,纵坐标和a都互为相反数 将抛物线y=a(x-h)2+k沿y轴翻折,得到的抛物线与原抛物线关于y轴对称,所以 两抛物线的顶点的纵坐标和a不变,顶点的横坐标互为相反数 【例2】把抛物线y=-2x2+4x+3以x轴翻折后,则所得的抛物线关系式为 解析:要求翻折后的抛物线的关系式,则需要求出y=-2x+4x+3的顶点坐标.根据 顶点坐标的变化,再求出翻折后所得抛物线的顶点坐标 2x2+4x+3=-2(x-1)2+5,其顶点坐标是(1,5),以x轴翻折所得抛物线的顶点 坐标是(1,一5),相应抛物线的关系式为y=2(x-1)2-5,即y=2x2-4x-3 答案:y=2x2-4x-3 点拨:观察沿x轴翻折后抛物线的关系式与原抛物线的关系式,可知它们的各项的系数 互为相反数 3.旋转180° 将抛物线y=a(x-b)2+k绕顶点旋转180°,所得抛物线与原抛物线的顶点坐标相同 开口方向相反 【例3】将抛物线y=-(x-3)2+5绕顶点旋转180°后的关系式为 分析:观察已知抛物线的开口向下,顶点坐标是(3,5),将抛物线绕顶点旋转180°后 所得的抛物线开口向上,顶点坐标不变 解析:所得抛物线的关系式为y=2(x-3)2+5 答案:厂=2(x-3)2+5 三、系数符号与抛物线的图象关系 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)系数的符号与抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有着 非常密切的关系,我们既可以根据a,b,c的符号判定抛物线的位置,也可以根据抛物线的 位置确定a,b,c的符号. a决定开口方向和开口大小:a的正负决定抛物线的开口方向,a>0,开口向上:a<0 开口向下,简记为“上正下负”:|a的大小决定抛物线的开口大小,|a|越大,抛物线开 口越小,反之越大 a与b决定对称轴的位置:b=0时,抛物线的对称轴为y轴;若a,b同号,对称轴在 轴的左侧:若a,b异号,对称轴在y轴的右侧,简记为“左同右异” c决定抛物线与y轴的交点位置:抛物线与y轴的交点为(0,c,当c=0时,抛物线 解压密码联系qq19139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 二、求变换后抛物线的关系式 二次函数的图象是抛物线，对抛物线进行平移、旋转、翻折等变换后，所求相应的抛物 线的关系式也发生了变化，下面探讨如何求变换后的二次函数的关系式． 1．平移变换 将抛物线 y＝a(x－h) 2＋k 向右平移 m(m＞0)个单位，再向上平移 n(n＞0)个单位，所得 到的抛物线的顶点坐标为(h＋m，k＋n)；将抛物线 y＝a(x－h) 2＋k 向左平移 m(m＞0)个单位， 再向下平移 n(n＞0)个单位，所得到的抛物线的顶点坐标为(h－m，k－n)． 【例 1】 将抛物线 y＝2x 2－4x＋5 先向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，求平移 后所得抛物线的关系式． 分析：要求平移后的抛物线关系式，首先将 y＝2x 2－4x＋5 配方，确定其顶点坐标，然 后根据平移公式求出平移后所得抛物线的顶点坐标，即可求得平移后的抛物线． 解：因为 y＝2x 2－4x＋5＝2(x－1)2＋3，其顶点坐标为(1,3)，所以平移后的抛物线的 顶点坐标是(1＋3，3－2)，即为(4,1)，所以平移后的抛物线的关系式为 y＝2(x－4)2＋1， 也就是 y＝2x 2－16x＋33. 点拨：平移前抛物线与平移后的抛物线的关系式的二次项的系数相同． 2．翻折变换 将抛物线 y＝a(x－h) 2＋k 沿 x 轴翻折后得到的抛物线与原抛物线关于 x 轴对称，所以 两抛物线顶点的横坐标相同，纵坐标和 a 都互为相反数； 将抛物线 y＝a(x－h) 2＋k 沿 y 轴翻折，得到的抛物线与原抛物线关于 y 轴对称，所以 两抛物线的顶点的纵坐标和 a 不变，顶点的横坐标互为相反数． 【例 2】 把抛物线 y＝－2x 2＋4x＋3 以 x 轴翻折后，则所得的抛物线关系式为 __________． 解析：要求翻折后的抛物线的关系式，则需要求出 y＝－2x 2＋4x＋3 的顶点坐标．根据 顶点坐标的变化，再求出翻折后所得抛物线的顶点坐标． y＝－2x 2＋4x＋3＝－2(x－1)2＋5，其顶点坐标是(1,5)，以 x 轴翻折所得抛物线的顶点 坐标是(1，－5)，相应抛物线的关系式为 y＝2(x－1)2－5，即 y＝2x 2－4x－3. 答案：y＝2x 2－4x－3 点拨：观察沿 x 轴翻折后抛物线的关系式与原抛物线的关系式，可知它们的各项的系数 互为相反数． 3．旋转 180° 将抛物线 y＝a(x－h) 2＋k 绕顶点旋转 180°，所得抛物线与原抛物线的顶点坐标相同， 开口方向相反． 【例 3】 将抛物线 y＝－ 1 2 (x－3)2＋5 绕顶点旋转 180°后的关系式为__________． 分析：观察已知抛物线的开口向下，顶点坐标是(3,5)，将抛物线绕顶点旋转 180°后， 所得的抛物线开口向上，顶点坐标不变． 解析：所得抛物线的关系式为 y＝ 1 2 (x－3)2＋5. 答案：y＝ 1 2 (x－3)2＋5 三、系数符号与抛物线的图象关系 二次函数 y＝ax 2＋bx＋c(a≠0)系数的符号与抛物线 y＝ax 2＋bx＋c(a≠0)的图象有着 非常密切的关系，我们既可以根据 a，b，c 的符号判定抛物线的位置，也可以根据抛物线的 位置确定 a，b，c 的符号． a 决定开口方向和开口大小：a 的正负决定抛物线的开口方向，a＞0，开口向上；a＜0， 开口向下，简记为“上正下负”；|a|的大小决定抛物线的开口大小，|a|越大，抛物线开 口越小，反之越大． a 与 b 决定对称轴的位置：b＝0 时，抛物线的对称轴为 y 轴；若 a，b 同号，对称轴在 y 轴的左侧；若 a，b 异号，对称轴在 y 轴的右侧，简记为“左同右异”． c 决定抛物线与 y 轴的交点位置：抛物线与 y 轴的交点为(0，c)，当 c＝0 时，抛物线
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 过原点;当c>0时,抛物线交y轴于正半轴:当c0,C>0,那么抛物线y=ax2+bx+c的顶点在() 第一象限 第二象限 第三象限 四象限 解析:由a0,知x=-2a>0, 又由c>0,知4aC-b0.所以抛物线的顶点在第一象限内,故选A. 答案: 2.由抛物线的位置确定a,b,c的符号 【例2】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图所示,则a,b,c满足( A.a0 B.a0,c>0 D.a>0,b0 解析:因为抛物线的开口向下,所以a0.故应选A. 谷案:A 3.综合运用图象和a,b,c的符号特征解决相关问题 【例3】三次函数+b+(00的图象如图所示,则点49( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:因为抛物线的开口向下,所以a0.所以一0,可知b与a异号.再结合a<0可知b 0,所以点M在第四象限,故选D. 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 过原点；当 c＞0 时，抛物线交 y 轴于正半轴；当 c＜0 时，抛物线交 y 轴于负半轴，简记为 “上正下负”． 记忆口诀：二次函数抛物线，图象对称是关键； 开口、顶点和交点，它们确定图象现； 开口、大小由 a 断，c 与 y 轴来相见； b 的符号较特别，符号与 a 相关联； 顶点位置先找见，y 轴作为参考线； 左同右异中为 0，牢记心中莫混乱； 顶点坐标最重要，一般式配方它就现； 横标即为对称轴，纵标函数最值见． 1．由系数符号确定抛物线的位置 【例 1】 已知 a＜0，b＞0，c＞0，那么抛物线 y＝ax 2＋bx＋c 的顶点在( )． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：由 a＜0，b＞0，知 x＝－ b 2a ＞0， 又由 c＞0，知 4ac－b 2＜0， 所以 y＝ 4ac－b 2 4a ＞0.所以抛物线的顶点在第一象限内，故选 A． 答案：A 2．由抛物线的位置确定 a，b，c 的符号 【例 2】 已知二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 的图象如下图所示，则 a，b，c 满足( )． A．a＜0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＜0 C．a＜0，b＞0，c＞0 D．a＞0，b＜0，c＞0 解析：因为抛物线的开口向下，所以 a＜0；对称轴在 y 轴的左侧，所以－b 2a ＜0.再结 合 a＜0 可得 b＜0；抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴，所以 c＞0.故应选 A． 答案：A 3．综合运用图象和 a，b，c 的符号特征解决相关问题 【例 3】 二次函数 y＝ax 2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则点 M b， c a 在( )． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：因为抛物线的开口向下，所以 a＜0. 因为抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上， 所以 c＞0.所以c a ＜0. 因为抛物线的顶点在 y 轴的右边，所以－b 2a ＞0，可知 b 与 a 异号．再结合 a＜0 可知 b ＞0，所以点 M 在第四象限，故选 D．
免费下载网址ht:/ jiaoxue5uys68com/ 谷案:D 例4】二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列关于a,b,c间关系的判断 正确的是( A. ab0 D. a-b+c0,故可首先排除A:由抛物 线的开口向下,可知a0,故可排除B;由x=1时,抛物线在x轴的下方 知当x=1时,y=a+b+c<0,故可排除C:由x=-1时,抛物线在x轴的下方,知当x 1时,y=a-b+c<0,故应选D. 答案:D 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 答案：D 【例 4】 二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 的图象如图所示，则下列关于 a，b，c 间关系的判断 正确的是( )． A．ab＜0 B．bc＜0 C．a＋b＋c＞0 D．a－b＋c＜0 解析：由对称轴在 y 轴左侧，可知－b 2a ＜0，进而可知 ab＞0，故可首先排除 A；由抛物 线的开口向下，可知 a＜0，再结合对称轴在 y 轴左侧 － b 2a <0 可知 b＜0，由抛物线与 y 轴 交于负半轴，知 c＜0，进而可知 bc＞0，故可排除 B；由 x＝1 时，抛物线在 x 轴的下方， 知当 x＝1 时，y＝a＋b＋c＜0，故可排除 C；由 x＝－1 时，抛物线在 x 轴的下方，知当 x ＝－1 时，y＝a－b＋c＜0，故应选 D． 答案：D