免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 角的平分线的性质 基础巩固 填空题 1.如图1,在△ABC中,∠C=90,BC=40,AD是∠BAC的平分线交BC于D,且DC:DB=3:5, 则点D到AB的距离是 图 图2 2.如图2所示,在△ABC中,∠A=90°,B平分∠ABC,AD=2cm,则点D到BC的距离为 3.如图3,已知BD是∠ABC的内角平分线,CD是∠ACB的外角平分线,由D出发,作点D 到BC、AC和AB的垂线DE、DF和DG,垂足分别为E、F、G,则DE、DF、DG的关系 E B 图 4.如图4,已知AB∥CD,O为∠A、∠C的角平分线的交点,OE⊥AC于E,且OE=2,则两平 行线间AB、CD的距离等于 5.已知△ABC中,∠A=80°,∠B和∠C的角平分线交于0点,则∠BOC= 、选择题 6.如图5,在△ABC中,AD是∠A的外角平分线,P是AD上异于A的任意一点,设PB=m, PC=n,AB=C,MAC=b,则(m+n)与(b+c)的大小关系是( A、m+n>b+c B、m+n<b+C C、m+n=b+c D、无法确定 解压密码联系qq11913986加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 JIaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com 角的平分线的性质 基础巩固 一、填空题 1．如图 1，在△ABC 中，∠C＝900，BC＝40，AD 是∠BAC 的平分线交 BC 于 D，且 DC∶DB＝3∶5， 则点 D 到 AB 的距离是 。 第 3 题图 C D B A 图 1 图 2 2．如图 2 所示，在△ABC 中，∠A＝90°，BD 平分∠ABC，AD＝2 cm，则点 D 到 BC 的距离为 ________cm． 3．如图 3，已知 BD 是∠ABC 的内角平分线，CD 是∠ACB 的外角平分线，由 D 出发，作点 D 到 BC、AC 和 AB 的垂 线 DE、DF 和 DG，垂足分别为 E、F、G，则 DE、DF、DG 的关系 是 。 图 3 图 4 4．如图 4，已知 AB∥CD，O 为∠A、∠C 的角平分线的交点，OE⊥AC 于 E，且 OE=2，则两平 行线间 AB、CD 的距离等于 。 5．已知△ABC 中，∠A=80°，∠B 和∠C 的角平分线交于 O 点，则∠BOC= 。 二、选择题 6．如图 5，在△ABC 中，AD 是∠A 的外角平分线，P 是 AD 上异于 A 的任意一点，设 PB＝m ， PC＝ n，AB＝ c，AC＝b ，则 (m + n) 与 (b + c) 的大小关系是（ ） A、 m + n ＞ b + c B、 m + n ＜ b + c C、 m + n＝b + c D、无法确定
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 图5 图6 已知Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=32,且BD:CD=9:7, 则D到AB边的距离为() A.18 8.如图6,AE⊥BC于E,CA为∠BAE的角平分线,AD=AE,连结CD,则下列结论不正确 的是() A.CD=CEB.∠ACD=∠ACEC.∠CDA=90°D.∠BCD=∠ACD 9.在△ABC中,∠B=∠ACB,①D是∠ACB的角平分线,已知∠ADC=105°,则∠A的度数 为() 10.在以下结论中,不正确的是() A.平面内到角的两边的距离相等的点一定在角平分线上 B.角平分线上任一点到角的两边的距离一定相等 C.一个角只有一条角平分线 D.角的平分线有时是直线,有时是线段 三、解答题 11.如图7所示,AE是∠BAC的角平分线,EB⊥AB于B,EC⊥AC于C,D是AE上一点, 求证:BD=CD。 www.dearedu E 图 图9 12.如图8,BD=CD,BF⊥AC于F,CE⊥AB于E。求证:点D在∠BAC的角平分线上。 3.如图9,∠AOP=∠BOP,AD⊥OB于D,BC⊥OA于C,AD与BC交于点P。求证:AP=BP 综合提高 填空题 解压密码联系qq11913986加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 JIaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com 选择第 4 题图 P B C D A 图 5 图 6 7．已知 Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于 D，若 BC=32，且 BD：CD=9：7， 则 D 到 AB 边的距离为( ) A．18 B．16 C．14 D．12 8．如图 6，AE⊥BC 于 E，CA 为∠BAE 的角平分线，AD=AE，连结 CD，则下列结论不正确 的是( ) A．CD=CE B．∠AC D=∠ACE C．∠CDA =90° D．∠BCD=∠ACD 9．在△ABC 中，∠B=∠ACB，CD 是∠ACB 的角平分线，已知∠ADC=105°，则∠A 的度数 为( ) A．40° B．36° C．70° D．60° 10．在以下结论中，不正确的是( ) A．平面内到角的两边的距离相等的点一定在角平分线上 B．角平分线上任一点到角的两边的距离一定相等 C．一个角只有一条角平分线 D．角的平分线有时是直线，有时是线段 三、解答题 11．如图 7 所示，AE 是∠BAC 的角平分线，EB⊥AB 于 B，EC⊥AC 于 C，D 是 AE 上一点， 求证：BD=C D。 图 7 图 8 图 9 12．如图 8，BD=CD，BF⊥AC 于 F，CE⊥AB 于 E。求证：点 D 在∠BAC 的角平分线上。 13．如图 9，∠AOP=∠BOP，AD⊥OB 于 D，BC⊥OA 于 C，AD 与 BC 交于点 P。求证：AP=BP。 综合提高 一、填空题
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ A.如图10,已知相交直线AB和CD,及另一直线EF。如果要在EF上找出与AB、CD 距离相等的点,方法是 这样的点至少有个,最多 B 图10 图 15.已知△DF≌△ABC,AB=AC,且△ABC的周长为23cm,BC=4cm,则△DF的边中必 有一条边等于 16.在△ABC中,∠C=90°,BC=4CM,∠BAC的平分线交BC于D,且BD:DC=5:3,则 D到AB的距离为 17.∠B=∠C=900,E是BC的中点,DE平分∠ADC,∠CED35°,如图11,则∠EAB的 度数是 18.△ABC中,AB=AC,∠B、∠C的角平分线的交点为0,连结AO,若S△A=6cm2,则 二、选择题 19.如图12所示,已知△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB,交BC于点D,DE⊥AB 于点E,且AB=6cm,则△DEB的周长为()。 A9 c B 5 cm C 6 cm D.不能确定 图12 20.下列命题中正确的是() A.全等三角形的高相等 B.全等三角形的中线相等 C.全等三角形的角平分线相等D.全等三角形对应角的平分线相等 21.如图13,∠AOB和一条定长线段A,在∠AOB内找 点P,使P到OA、OB的距离都等于A,做法如下:(1)作OB 的垂线M,使MA,H为垂足.(2)过N作M∥OB.(3)作∠AOB 的平分线OP,与M交于P.(4)点P即为所求.其中(3)的 解压密码联系q1139686加微信公众号 1aoxuewuyou九折恍惠!淘宝网 址 JIaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com 1 4．如图 10，已知相交直线 AB 和 CD，及另一直线 EF。如果要在 EF 上找出与 AB、CD 距离相等的点，方法是 ，这样的点至少有 个，最多 有 个。 图 10 15．已知△DEF≌△ABC，AB=AC，且△ABC 的周长为 23cm，BC=4 cm，则△DEF 的边中必 有一条边等于______。 16．在△ABC 中，∠C=90°，BC=4CM，∠BAC 的平分线交 BC 于 D，且 BD︰DC=5︰3，则 D 到 AB 的距离为_____________。 17．∠B=∠C=90 0，E 是 BC 的中点，DE 平分∠ADC，∠CED=35 0 ，如图 11，则∠EAB 的 度数是 。 18．△ABC 中，AB=AC，∠B、∠C 的角平分线的交点为 O，连结 AO，若 S△AOB=6c m 2，则 S△AOB= 。 二、选择题 19．如图 1 2 所示，已知△ABC 中，∠C=90°，AC=BC，AD 平分∠CAB，交 BC 于点 D，DE⊥AB 于点 E，且 AB=6 cm,则△DEB 的周长为( )。 A.9 cm B.5 cm C.6 cm D.不能确定 A B C A B C D E A B C D E F 图 12 20．下列命题中正确的是（ ） A．全等三角形的高相等 B．全等三角形的中线相等 C．全等三角形的角平分线相等 D．全等三角形对应角的平分线相等 21．如图 13， ∠AOB 和一条定长线段 A，在∠AOB 内找一 点 P，使 P 到 OA、OB 的距离都等于 A，做法如下：（1）作 OB 的垂线 NH，使 NH=A，H 为垂足．（2）过 N 作 NM∥OB．（3）作∠AOB 的平分线 OP，与 NM 交于 P．（4）点 P 即为所求．其中（3）的 D C A B E 图 11 图 13
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 依据是( A.平行线之间的距离处处相等 B.到角的两边距离相等的点在角的平分线上 C.角的平分线上的点到角的两边的距离相等 D.到线段的两个端点距离相等的点在线段垂直平分线上 22.如图14,P是∠BAC的平分线AD上一点,PE⊥AB于E, PF⊥AC于F,下列结论中不正确的是() B. AE=AF △ADE△ADFD.AD=DE+DF 图14 23.直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的度数是() 都不 、解谷题 24.如图15,△ABC的边BC的中垂线D交△BAC的外角平分 线AD于D,F为垂足,DE⊥AB于E,且AB>AC,求证:BE一AC=AE. 25.如图16所示,已知AD为等腰三角形ABC的底角的平分∠ 线,∠C=90°,求证:AB=AC+CD A 拓展探究 解答题 26.如图17,△ABC的边BC的中垂线D交△BAC的外角平分线AD于D,F为垂足, DE⊥AB于E,且AB>AC求证:BE一AC=A 解压密码联系qq11913986加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 JIaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com 依据是（ ） A．平行线之间的距离处处相等 B．到角的两边距离相等的点在角的平分线上 C．角的平分线上的点到角的两边的距离相等 D．到线段的两个端点距离相等的点在线段垂直平分线上 22．如图 14，P 是∠BAC 的平分线 AD 上一点，PE⊥AB 于 E， PF⊥AC 于 F，下列结论中不正确的是（ ） A．DE=DF B．AE=AF C．△ADE≌△ADF D．AD=DE+DF 23．直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的度数是（ ） A．45° B．135° C．45°或 135° D．都不对 三、解答题 24．如图 15，△ABC 的边 BC 的中垂线 DF 交△BAC 的外角平分 线 AD 于 D, F 为垂足, DE⊥AB 于 E，且 AB>AC，求证：BE－AC=AE． 25．如图 16 所示，已知 AD 为等腰三角形 ABC 的底角的平分 线，∠C＝90°，求证：AB＝AC＋CD． 图 16 拓展探究 一、解答题 26．如图 17， △ABC 的边 BC 的中垂线 DF 交△BAC 的外角平分线 AD 于 D， F 为垂足， DE⊥AB 于 E， 且 AB>AC 求证：BE－AC=AE． A B D C 图 14 E F A B F C D 图 15
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ F 图17 B 27.如图18,已知AD∥BC,∠DAB和∠ABC的平分线交于E,过E的直线交AD于D, 交BC于C,求证:DE=EC. 28.如图19,已知AC∥BD、EA、EB分别平分∠CAB和△DBA,CD过点E,则AB与AC+BD 相等吗?请说明理由 参考答案 基础巩固 填空题 1.15; 2;3. =DF=DG;4.4;5.130° 二、选择题 6.A7.C8.D9.A10.D 三、解答题 11.证:先证Rt△ACE≌Rt△ABE,推出AB=AC。再证△ABD≌△ACD(或△DCE≌△DBE) 得出DC=DB ∠BED=∠CFD=90°, 12.证:在△DBE和△DCF中,∠BDE=∠CDF BD=CD 所以△DBE≌△DCF(AS)。∴DE=DF。 又∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴点D在∠BAC的角平分线上。 13.证:∵∠AOP=∠BOP,AD⊥OB,BC⊥OA,∴PC=PD ∠ACP=∠BDP=90° 在△ACP和△BDP中,{∠PC=PD △APC≌△BPD ∠APC=∠BPD, ∴AP=BP 综合提高 填空题 14.作∠AOD、∠AOC(或∠BOD)的平分线与EF的交点;1;215.4cm或9.5cm 解压密码联系qq11913986加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 JIaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com 图 17 图 18 27．如图 18，已知 AD∥BC， ∠DAB 和∠ABC 的平分线交于 E， 过 E 的直线交 AD 于 D， 交 BC 于 C， 求证: DE=EC． 28．如图 19，已知 AC∥BD、EA、EB 分别平分∠CAB 和△DBA，CD 过点 E，则 AB 与 AC+BD• 相等吗？请说明理由． 参考答案 基础巩固 一、填空题 1. 15； 2. 2； 3. DE=DF=DG； 4. 4； 5. 130° 二、选择题 6.A 7.C 8.D 9.A 10.D 三、解答题 11．证：先证 Rt△ACE≌Rt△ABE，推出 AB=AC。再证△ABD≌△ACD(或△DCE≌△DBE)， 得出 DC=DB。 12．证：在△DBE 和△DCF 中， 90 , , , BED CFD BDE CDF BD CD = = = = 所以△DBE≌△DCF(AAS)。∴DE=DF。 又∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴点 D 在∠BAC 的角平分线上。 13．证：∵∠AOP=∠BOP，AD⊥OB，BC⊥OA，∴PC=PD 在△ACP 和△BDP 中， 90 , , , ACP BDP PC PD APC BPD = = = = ，∴△APC≌△BPD ∴AP=BP。 综合提高 一、填空题 14. 作∠AOD、∠AOC(或∠BOD)的平分线与 EF 的交点；1；2 15. 4cm 或 9.5cm D C A B E 图 19
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 16.1.5cm17.35° 18.6cm2 二、选择题 19.C20.D21.B22.D23.C 解答题 24.证:过D作DN⊥AC,垂足为N,连结DB、DC则DN=DE,DB=DC,又∵DE⊥AB,DN⊥A ∴Rt△DBE≌Rt△DCN,∴BE=CN.又∵AD=AD,DE=DN,∴Rt△DEA≌Rt△DNA,∴AN=AE, ∴BE=AC+AN=AC+AE,∴BE-AC=A 25.证一(截长法):如图1所示,过点D作BD⊥AB于B ∵AD是∠BAC的平分线 ∴∠CAD=∠EAD,又∠DEA=∠DCA且AD公共, ∴△ADE≌△ACD(AAS),∴AE=AC,CD=DE 在△DEB中,∵∠B=45°,∠DEB=90° C ∴.△EBD是等腰直角三角形.∴DE=EB,∴CD=EB 图 AC+CD=AE+EB, Bp AC +CD=AB 证法二(补短法) 如图2所示,在AC的延长线上截取CM=CD,连结DM. 在△MCD中,∠MCD=90°,CD=CM ∴△MCD是等腰直角三角形.∴∠M=45° 又∵在等腰直角三角形中,∠B= ∠M=∠B=45°又∵AD平分∠CAD ∠M=∠B=45° M ∴在△MAD与△BAD中∠MA∠BAD AD=aD 图2 ∴△MAD≌△BAD(AAS)∴MA=AB,即AC+CD=AB. 拓展探究 解谷题 26.证:过D作DN⊥AC,垂足为N,连结DB、DC,则DN=DE,DB=DC 又∵DE⊥AB,DN⊥AC,∴Rt△DBE≌Rt△DCN,∴BE=CN 又∵AD=AD,DE=DN,∴Rt△DEA≌Rt△DNA∴AN=AE 解压密码联系qq11913986加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 JIaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com 16. 1.5cm 17. 35° 18. 6cm2 二、选择题 19.C 20.D 21.B 22.D 23.C 三、解答题 24．证：过 D 作 DN⊥AC, 垂足为 N, 连结 DB、DC 则 DN=DE，DB=DC，又∵DE⊥AB, DN⊥AC, ∴Rt△DBE≌Rt△DCN， ∴BE=CN．又∵AD=AD，DE=DN，∴Rt△DEA≌Rt△DNA，∴AN=AE， ∴BE=AC+AN=AC+AE，∴BE－AC=AE． 25．证一（截长法）：如图 1 所示，过点 D 作 BD⊥AB 于 E， ∵AD 是∠BAC 的平分线 ∴∠CAD ＝ ∠EAD ， 又 ∠DEA ＝ ∠DCA 且 AD 公共， ∴△ADE≌△ACD（AAS），∴ AE＝AC，CD＝DE 在△DEB 中，∵∠B＝45°，∠DEB＝90°， ∴△EBD 是等腰直角三角形．∴DE＝EB，∴CD＝EB． ∴AC＋CD＝AE＋EB，即 AC＋CD＝AB． 证法二（补短法）： 如图 2 所示，在 AC 的延长线上截取 CM＝CD，连结 DM． 在△MCD 中，∠MCD＝90°，CD＝CM ∴△MCD 是等腰直角三角形．∴∠M＝45° 又∵在等腰直角三角形中，∠B＝45° ∴∠M＝∠B＝45° 又∵AD 平分∠CAD ∴在△MAD 与△BAD 中 AD AD MA BAD M B 45 ＝ ＝ ＝ ∴△MAD≌△BAD（AAS）∴MA＝AB，即 AC＋CD＝AB． 拓展探究 一、解答题 26．证：过 D 作 DN⊥AC， 垂足为 N， 连结 DB、DC，则 DN=DE， DB=DC 又∵DE⊥AB， DN⊥AC， ∴Rt△DBE≌Rt△DCN， ∴BE=CN 又∵AD=AD， DE=DN，∴Rt△DEA≌Rt△DNA ∴AN=AE A B C M D 图 2 B A C E D 图 1
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ BE=AC+AN=AC+AE . BE-AC=AE 27.证:在AB上截取AF=AD。∵AE是∠DAF的平分线(已知) ∴∠DAE=∠FAE(角平分线定义) AD=AF(作) 在△DAE和△FAE中,{∠DAE=∠FAE(已证)∴△DAE≌△FAE(SAS) AE=AE(公共边) ∴DE=FE(全等三角形对应边相等)∴∠D=∠AFE(全等三角形对应角相等) ∠AFE+∠BFE=180°(邻补角定义) 又AD∥BC(已知)∴∠D+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补) ∠BFE=∠C(等角的补角相等) ∵BE是∠ABC的平分线(己知)∴∠FBE=∠CBE(角平分线定义 FBE=∠CBEC证) 在△FBE和△CBE中{∠BFE=∠CC证)∴△FBE≌△CBE(AS) BE=BE(公共边) ∴FE=CE(全等三角形对应边相等)∴DE=EC A D 图4 28.结果:相等 解压密码联系qq11913986加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 JIaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com ∴BE=AC+AN=AC+AE ∴BE－AC=AE 图 3 27．证：在 AB 上截取 AF=AD。∵A E 是∠DAF 的平分线(已知) ∴∠DAE=∠FAE(角平分线定义) 在△DAE 和△FAE 中， = = = ( ) ( ) ( ) 公共边 已证 已作 AE AE DAE FAE AD AF ∴△DAE≌△FAE(SAS) ∴DE=FE(全等三角形对应边相等)∴∠D=∠AFE(全等三角形对应角相等) ∵∠AFE+∠BFE=1800 (邻补角定义) 又 AD∥BC(已知) ∴∠D+∠C=1800 (两直线平行，同旁内角互补) ∴∠BFE=∠C(等角的补角相等) ∵BE 是∠ABC 的平分线(已知)∴∠FBE=∠CBE(角平分线定义) 在△FBE 和△CBE 中 = = = ( ) ( ) ( ) 公共边 已证 已证 BE BE BFE C FBE CBE ∴△FBE≌△CBE(AAS) ∴FE=CE(全等三角形对应边相等) ∴DE=EC． 图 4 28．结果：相等．
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 证法一:如图(1)在AB上截取AF=AC,连结EF 在△ACE和△AFE中,{∠1=∠2∴△ACE≌△AFE(SS) AE= AE ∠C ACBD→∠C+∠D=180°}→∠6=∠D 5+∠6=180 6=∠D 在△EFB和△BDE中,{∠3=∠4∴△EFB≌△EDB(AS)∴FB=DB BE= Be 证法二:如图(2),延长BE,与AC的延长线相交于点F AC‖BD→∠F=∠4 ∠3=∠4 ∠F=∠3 在△AEF和△AEB中,{∠1=∠2∴△AEF≌△AEB(AS)∴AB=AF,BE=FE AE= AE 在△BED和△FEC中,{BE=FE∴△BED≌△FC(ASA)∴BD=FC ∠4=∠F ∴AB=AF=AC+CF=AC+BD 解压密码联系qq11913986加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 JIaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com 3 4 D C A B 5 6 (1) F E 1 2 3 4 D C A B 6 5 (2) E F 1 2 证法一：如图（1）在 AB 上截取 AF=AC，连结 EF． 在△ACE 和△AFE 中， 1 2 AC AF AE AE = = = ∴△ACE≌△AFE（SAS） 5 180 5 6 180 C AC BD C D = + = + = ∠6=∠D 在△EFB 和△BDE 中， 6 3 4 D BE BE = = = ∴△EFB≌△EDB（AAS） ∴FB=DB ∴AC+BD=AF+FB=AB 证法二：如图（2），延长 BE，与 AC 的延长线相交于点 F 4 3 4 AC BD F = = ∠F=∠3 在△AEF 和△AEB 中， 3 1 2 F AE AE = = = ∴△AEF≌△AEB（AAS）∴AB=AF，BE=FE 在△BED 和△FEC 中， 5 6 4 BE FE F = = = ∴△BED≌△FEC（ASA） ∴BD=FC ∴AB=AF=AC+CF=AC+BD．