免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 角的平分线的性质 选择题 1.如图1所示,∠1=∠2,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E,则下列结论中错误的是(). A. PD=PE B. OD=OE C.∠DPO=∠EPOD.PD=OD E (1) (3) 2.如图2所示,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别 是E,F,则下列四个结论:①AD上任意一点到C,B的距离相等:②AD上任意一点到AB AC的距离相等;③BD=CD,AD⊥BC:④∠BDE=∠CDF,其中正确的个数是() 1个B.2个C.3个D.4个 3.如图3所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC1,AB=,AD在∠BAC的平分线上, DE⊥AB于点E,则△DBE的周长为(). B.1+√2C.√D.无法计算 BB D (4) 4.如图4所示,已知∠AOB,求作射线OC,使OC平分∠AOB,作法的合理顺序是() (1)作射线0C (2)在OA和OB上,分别截取OD,OE,使OD=OE (3)分别以D,E为圆心,大于DE的长为半径作弧,在∠A0B内,两弧交于点C A.(1)(2)(3) B.(2)(1)(3)C.(2)(3)(1) D.(3)(2)(1) 二、填空题 1.(1)若OC为∠AOB的平分线,点P在OC上,PE⊥OA,PF⊥OB,垂足分别为E,F,则 ,根据是 (2)如图5所示,若在∠AOB内有一点P,PE⊥OA,PF⊥OB,垂足分别为E,F,且PE=PF, 解压密码联系qq19139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 角的平分线的性质 一、选择题 1．如图 1 所示，∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E，则下列结论 中错误的 是（ ）． A．PD=PE B．OD=OE C．∠DPO=∠EPO D．PD=OD P D A E B O D F A C E B D A C E B （1） (2) (3) 2．如图 2 所示，在△ABC 中，AB=AC，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别 是 E，F，则下列四个结论：①AD 上任意一点到 C，B 的距离相等；②AD 上任意一点到 AB， AC 的距离相等；③BD=CD，AD⊥BC；④∠BDE=∠CDF，其中正确的个数是（ ）． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 3．如图 3 所示，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=1，AB= 2 ，AD 在∠BAC•的平分线上， DE⊥AB 于点 E，则△DBE 的周长为（ ）． A．2 B．1+ 2 C． 2 D．无法计算 D A O E B P F A C E O B D F A C E B (4) (5) (6) 4．如图 4 所示，已知∠AOB，求作射线 OC，使 OC 平分∠AOB， 作法的合理顺序是（ ）． （1）作射线OC； （2）在 OA 和 OB 上，分别截取 OD，OE，使 OD=OE； （3）分别以 D，E 为圆心，大于 1 2 DE 的长为半径作弧，在∠AOB 内，两弧交于点 C． A．（1）（2）（3） B．（2）（1）（3） C．（2）（3）（1） D．（3）（2）（1） 二、填空题 1．（1）若 OC 为∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为 E，F，则 PE=___ _____，根据是________________． （2）如图 5 所示，若在∠AOB 内有一点 P，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为 E，F，且 PE=PF
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 则点P在 ,根据是 2.△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,已知BC=8cm,BD=5cm 则点D到AB的距离为 3.如图6所示,DE⊥AB于E,DF⊥AC于点F,若DE=DF,只需 添加一个条件,这个条件是 4.如图所示,∠AOB=40°,OM平分∠AOB,MA⊥OA于A,MB⊥ OB于B,则∠MAB的度数为 三、解答题 1.如图所示,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,且BD=CD,那么BE与C 相等吗?为什么? 2.如图所示,∠B=∠C=90°,M是BC中点,DM平分∠ADC,判断AM是否平分∠DAB,说明 理由 3.如图所示,已知PB⊥AB,PC⊥AC,且PB=PC,D是AP上一点,由以上条件可以得到∠BDP= ∠CDP吗?为什么? 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 则点 P 在_______，根据是____________． 2．△AB C 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC，已知 BC=8cm，BD=5cm， 则点 D•到 AB•的距离为_______． 3．如图 6 所示，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC于点 F，若 DE=DF，只需 添加一个条件， 这个条件是__________． 4．如图所示，∠AOB=40°，OM 平分∠AOB，MA⊥OA 于 A，MB•⊥ OB•于 B， 则∠MAB 的度数为________． 三、解答题 1．如图所示，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，且 BD=CD，那么 BE 与 CF 相等吗？为什么？ D A F C E B 2．如图所示，∠B=∠C=90°，M 是 BC 中点，DM 平分∠ADC，判断 AM•是否平分∠DAB，说明 理由． D A C B M 3．如图所示，已知 PB⊥AB，PC⊥AC，且 PB=PC，D 是 AP 上一点，由以上条件可以得到∠BDP= ∠CDP 吗？为什么？ A B O M N
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 探究应用拓展性训练 1.(与现实生活联系的应用题)如图所示,在一次军事演习中,红方侦察员发现蓝方指挥 部设在A区,到公路、铁路的交叉处B点700m.如果你是红方指挥员,请你如图所示的 作图地图上标出蓝方指挥部的位置 A区 比例尺1:20000 (探究题)已知:在△ABC中,AB=AC. (1)按照下列要求画出图形: ①作∠BAC的平分线交BC于点D ②过D作D⊥AB,垂足为点E ③过点D作DF⊥AC,垂足为点F. (2)根据上面所画的图形,可以得到哪些相等的线段(AB=AC除外)?说明理由. 3.如图所示,在△ABC中,P,Q分别是BC,AC上的点,作PR⊥AB,PS⊥AC,垂足分别是 R,S.若AQ=PQ,PR=PS,下面三个结论①AS=AR,②QP∥AR,③△BRP≌△CSP中,正确 的是() A.①和③ B.②和③ C.①和② C.①,②和③ 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com P D A C B 探究应用拓展性训练 1．（与现实生活联系的应用题）如图所示，在一次军事演习中， 红方侦察员发现蓝方指挥 部设在 A 区，到公路、铁路的交叉处 B 点 700m．如果你是红方指挥员， 请你如图所示的 作图地图上标出蓝方指挥部的位置． 比例尺1:20000 A区 B 2．（探究题）已知：在△ABC 中，AB=AC． （1）按照下列要求画出图形： ①作∠BAC 的平分线交 BC 于点 D； ②过 D 作 DE⊥AB，垂足为点 E； ③过点 D 作 DF⊥AC，垂足为点 F． （2）根据上面所画的图形，可以得到哪些相等的线段（AB=AC 除外）？说明理由． 3．如图所示，在△ABC 中，P，Q•分别是 BC，AC 上的点，作 PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是 R，S．若 AQ=PQ，PR=PS， 下面三个结论①AS=AR，②QP∥AR，③△BRP≌△CSP 中，正确 的是（ ）． A．①和③ B．②和③ C．①和② C．①，②和③
免费下载网址ht:/ jiaoxue5uys68com/ 答案 教材基础知识针对性训练 1.D解析:∵∠1=∠2,PD⊥OA于E,PE⊥OB于E,∴PD=PE. 又∵OP=OP,∴△OPE≌△OPD ∴OD=OE,∠DPO=∠EPO. 故A,B,C都正确 2.D解析:如答图,设点P为AD上任意一点,连结PB,PC AD平分∠BAC, BAD=∠CAD 又∵AB=AC,AP=AP, ∵.△ABP≌△ACP,∴PB=PC. 故①正确 由角的平分线的性质知②正确. AB=AC,∠BAD=∠CAD,AD=AD, △ABD≌△ACD ∴BD=CD,∠ADB=∠ADC 又∵∠ADB+∠ADC=180° C 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com S P A C B R Q 答案: 教材基础知识针对性训练 一、 1．D 解析：∵∠1=∠2，PD⊥OA 于 E，PE⊥OB 于 E，∴PD=PE． 又∵OP=OP，∴△OPE≌△OPD． ∴OD=OE，∠DPO=∠EPO． 故 A，B，C 都正确． 2．D 解析：如答图，设点 P 为 AD 上任意一点，连结 PB，PC． ∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD． 又∵AB=AC，AP=AP， ∴△ABP≌△ACP，∴PB=PC． 故①正确． 由角的平分线的性质知②正确． ∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD， ∴△ABD≌△ACD． ∴BD=CD，∠ADB=∠ADC． 又∵∠ADB+∠ADC=180°， P D F A C E B
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ ∠ADB=∠ADC=90°, AD⊥BC,故③正确 由△ABD≌△ACD知,∠B=∠C 又∵DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F ∠BED=∠CFD=90°, ∴∠BDE=∠CDF.故④正确 4.C解析:∵AD平分∠CAB,AC⊥BC于点C,DE⊥AB于E,∴CD=DE ∴Rt△ACD≌Rt△AED,∴AC=AE 又∵AC=BC,∴AE=BC, ∴△DBE的周长为DE+BD+EB=CD+ED+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB=2 提示:设法将DE+BD+EB转成线段AB 1.(1)PF角平分线上的点到角的两边的距离相同 (2)∠AOB的平分线上到角的两边距离相等的点在角的平分线上 2.解析:如图所示,AD平分∠CAB,DC⊥AC于点C,DM⊥AB于点M. DM=CD=BC一BD=8-5=3 答案:3 n提示:利用角的平分线的性质 3.AD平分∠BAC 4.解析:∵OM平分∠AOB ∠AOB ∴∠AOM=∠BOM= 又∵MA⊥OA于A,MB⊥OB于B, ∴Rt△OAM≌Rt△OBM ∴∠AMO=∠BMO=70°, ∴△AMN≌△BMN, ∠ANM=∠BNM=90°, ∠MAB=90°-70°=20° 答案:20° 、1.解析:BE=CF AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,∴DE=DF 又∵BD=DC,∴Rt△BDE≌Rt△CDF, BE=CF 提示:由角的平分线的性质可知DE=DF,从而为证△BDE≌△CDF提供了条件 2.解析:AM平分∠DAB 理由:如答图13-9所示 作MN⊥AD于点N ∵DM平分∠CDA 解压密码联系q119139686加微信公众号 jiaoxuewuyou九折惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com ∴∠ADB=∠ADC=90°， ∴AD⊥BC，故③正确． 由△ABD≌△ACD 知，∠B=∠C． 又∵DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F， ∴∠BED=∠CFD=90°， ∴∠BDE=∠CDF．故④正确． 4．C 解析：∵AD 平分∠CAB，AC⊥BC 于点 C，DE⊥AB 于 E，∴CD=DE． 又∵AD=AD， ∴Rt△A CD≌Rt△AED，∴AC=AE． 又∵AC=BC，∴AE=BC， ∴△DBE 的周长为 DE+BD+EB=CD+BD+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB= 2 ． 提示：设法将 DE+BD+EB 转成线段 AB． 5．C 二、1．（1）PF 角平分线上的点到角的两边的距离相同 （2）∠AOB 的平分线上 到角的两边距离相等的点在角的平分线上 2．解析：如图所示，AD 平分∠CAB，DC⊥AC 于点 C，DM⊥AB 于点 M． ∴CD=DM， ∴DM=CD=BC-BD=8-5=3． 答案：3 提示：利用角的平分线的性质． 3．AD 平分∠BAC． 4．解析：∵OM 平分∠AOB， ∴∠AOM=∠BOM= 2 AOB =20°． 又∵MA⊥OA 于 A，MB⊥OB 于 B， ∴MA=MB． ∴Rt△OAM≌Rt△OBM， ∴∠AMO=∠BMO=70°， ∴△AMN≌△BMN， ∴∠ANM=∠BNM=90°， ∴∠MAB=90°-70°=20°． 答案：20° 三、1．解析：BE=CF． ∵AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，∴DE=DF． 又∵BD=DC，∴Rt△BDE≌Rt△CDF， ∴BE=CF． 提示：由角的平分线的性质可知 DE=DF，从而为证△BDE≌△CDF 提供了条件． 2．解析：AM 平分∠DAB． 理由：如答图 13-9 所示， 作 MN⊥AD 于点 N， ∵DM 平分∠CDA， D A C B M N D A C M B
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ MC⊥DC于点C,MN⊥AD于点N, 又∵M是BC的中点,∴CM= MN=BM,∴AM平分∠DAB 3.解析:可以 ∴PB⊥AB于点B,PC⊥AC于点C,且PB=PC ∴AP平分∠BAC,∴∠BAP=∠CAP 在Rt△ABP和Rt△ACP中, PB=PC, AP=AP Rt△ABP≌Rt△ACP,∴AB=AC 在△ABD与△ACD中 AB=AC,∠BAP=∠CAP,AD=AD, △ABD≌△ACD, ∠ADB=∠ADC,∴∠BDP=∠CDP 探究应用拓展性训练 1.如答图所示 解析:由题意可知,蓝方指挥部P应在∠MBN的平分线上 又∵比例尺为1:20000,∴P离B为3.5cm 提示:到角的两边距离相等的点在角的平分线上 2.(1)解析:按题意画图,如答图13-11 (2)可以得到ED=FD,AE=AF,BE=CF,BD=CD. 理由如下:∵AB=AC,∠1=∠2,AD=AD ∴△ABD≌△ACD,∴BD=DC ∴∠1=∠2,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F 又∵AD=AD, ∴Rt△AED≌Rt△AFD,∴AE=AF, 即BE=CF 提示:正确地画出图形是解决问题的关键,另外本题主要应用角的平分线的性质及 三角形全等来寻找相等的线段 3.C解析:如答图所示,连结AP. ∴PR⊥AB于点R,PS⊥AC于点S,PR=PS, ∴AP平分∠BAC,∴∠1=∠2 又∵AQ=QP ∵.∠2=∠3,∴∠1=∠3,∴PQ∥AR 在Rt△APR和Rt△APS中 Rt△APR≌Rt△APS,AR=AS. 而△BRP与△CSP不具备三角形全等的条件,故①②正确 提示:本题的突破口是判断出点P在∠BAC的平分线上 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com MC⊥DC 于点 C，MN⊥AD 于点 N， ∴MC=MN． 又∵M 是 BC 的中点，∴CM=MB， ∴MN=BM，∴AM 平分∠DAB． 3．解析：可以． ∵PB⊥AB 于点 B，PC⊥AC 于点 C，且 PB=PC， ∴AP 平分∠BAC，∴∠BAP=∠CAP． 在 Rt△ABP 和 Rt△ACP 中， PB=PC，AP=AP， ∴Rt△ABP≌Rt△ACP，∴AB=AC． 在△ABD 与△ACD 中， AB=AC，∠BAP=∠CAP，AD=AD， ∴△ABD≌△ACD， ∴∠ADB=∠ADC，∴∠BDP=∠CDP． 探究应用拓展性训练 1．如答图所示． 解析：由题意可知，蓝方指挥部 P 应在∠MBN 的平分线上． 又∵比例尺为 1：20000，∴P 离 B 为 3．5cm． 提示：到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 2．（1）解析：按题意画图，如答图 13-11． （2）可以得到 ED=FD，AE=AF，BE=CF，BD=CD． 理由如下：∵AB=AC，∠1=∠2，AD=AD， ∴△ABD≌△ACD，∴BD=DC． ∵∠1=∠2，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F， ∴DE=DF． 又∵AD=AD， ∴Rt△AED≌Rt△AFD，∴AE=AF， ∴AB-AE=AC-AF，即 BE=CF． 提示：正确地画出图形是解决问题的关键，另外本题主要应用角的平分线的性 质及 三角形全等来寻找相等的线段． 3．C 解析：如答图所示，连结 AP． ∵PR⊥AB 于点 R，P S⊥AC 于点 S，PR=PS， ∴AP 平分∠BAC，∴∠1=∠2． 又∵AQ=QP， ∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴PQ∥A R． 在 R t△APR 和 Rt△APS中， PR=PS，AP=AP， ∴Rt△APR≌Rt△APS，∴AR=AS． 而△BRP 与△CSP 不具备三角形全等的条件，故①②正确． 提示：本题的突破口是判断出点P 在∠BAC 的平分线上． D F A C E B 1 2 S P A C B 3 R 1 2 Q