免费下载网址htp:/ JIaoxue5uys68com/ 12.3角的平分线的性质 第1课时角的平分线的性质 01课前预习 要点感知1角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离 预习练习1-1如图,OP平分∠AOB,PC⊥OA,垂足为C,PD⊥OB,垂足为D,则PC与PD的大小关系是() A PC>PD B.PC=PDC.PC<PDD.不能确定 要点感知2命题证明的一般步骤为:(1)明确命题中的已知和求证:(2)根据题意画出图形,并用数学符号表示已知 和求证;(3)写出证明过程. 预习练习2-1命题“全等三角形对应角的角平分线长度相等”的已知是,求证是 02当堂训练 知识点1角平分线的作法 1.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示,则能说明∠AOC=∠BOC的依据是() A SSS C. AAS D.角平分线上的点到角两边距离相等 2.已知△ABC,用尺规作图作出∠ABC的角平分线,保留作图痕迹,但不写作法 知识点2角平分线的性质 3.如图,BD是∠ABC的平分线,P是BD上的一点,PE⊥BA于点E,PE=4cm,则点P到边BC的距离为cm 4.如图所示,E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥0A,ED⊥OB,垂足分别为C,D.求证:0C=0D 5.如图,BD平分∠ABC,DE垂直于AB于E点,△ABC的面积等于90,AB=18,BC=12,求DE的长 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jiaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址: jiaoxuesu.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com 12.3 角的平分线的性质 第 1 课时 角的平分线的性质 要点感知 1 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距 离__ ___. 预习练习 1-1 如图,OP 平分∠AOB,PC⊥OA,垂足为 C,PD⊥OB,垂足为 D,则 PC 与 PD 的大小关系是( ) A.PC>PD B.PC=PD C.PC<PD D.不能确定 要点感知 2 命题证明的一般步骤为：(1)明确命题中的已知和求证；(2)根据题意画出图形,并用数学符号表示已知 和求证；(3)写出证明过程. 预习练习 2-1 命题“全等三角形对应角的角平分线长度相等”的已知是____,求证是____. 知识点 1 角平分线的作法 1.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC 的依据是( ) A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到角两边距离相等 2.已知△ABC,用尺规作图作出∠ABC 的角平分线,保留作图痕迹,但不写作法. 知识点 2 角平分线的性质 3.如图，BD 是∠ABC 的平分线，P 是 BD 上的一点，PE⊥BA 于点 E，PE=4 cm，则点 P 到边 BC 的距离为 cm. 4.如图所示,E 是∠AOB 的平分线上一点,EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为 C，D.求证：OC=OD . 5.如图，BD 平分∠ABC，DE 垂直于 AB 于 E 点，△ABC 的面积等于 90，AB=18，BC=12，求 DE 的长
免费下载网址htp:/ JIaoxue5uys68com/ D 知识点3命题证明 6.命题“全等三角形对应边上的高线相等”的已知是,结论是 7.证明:全等三角形对应边上的中线相等 03课后作业 8.如图,AD∥BC,∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P,作PE⊥AB于点E.若PE=2,则两平行线AD 与BC间的距离为 第8题图 第9题图 9如图,在△ABC,∠C=90°,∠CAB=50°,按以下步骤作图:①以点A为圆心,小于AC的长为半径画弧,分别交 AB,AC于点E、F:②分别以点E,F为圆心,大于,E的长为半径画弧,两弧相交于点G:③作射线AG交BC边于 点D,则∠CDA的度数为 10.已知,如图所示,△ABC的角平分线AD将BC边分成2:1两部分,若AC=3cm,则AB= 11.已知:如图所示,点0在∠BAC的平分线上,BO⊥AC,CO⊥AB,垂足分别为D,E,求证:OB=0C 12.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB,垂足为E,且AB=10cm,求△DEB的周长 13.求证:有两个角及其中一个角的角平分线对应相等的两个三角形全等 挑战自我 14.如图,∠AOB=90°,OM平分∠AOB,直角三角板的顶点P在射线QM上移动,两直角边分别与OA、OB相交于点C 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址: jiaoxuesu.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com 知识点 3 命题证明 6.命题“全等三角形对应边上的高线相等”的已知是____,结论是____. 7.证明：全等三角形对应边上的中线相等. 8.如图,AD∥BC,∠ABC 的角平分线 BP 与∠BAD 的角平分线 AP 相交于点 P,作 PE⊥AB 于点 E.若 PE＝2,则两平行线 AD 与 BC 间的距离为____. 9.如图，在△ABC，∠C=90°，∠CAB=50°，按以下步骤作图：①以点 A 为圆心，小于 AC 的长为半径画弧，分别交 AB，AC 于点 E、F；②分别以点 E,F 为圆心，大于 2 1 EF 的长为半径画弧，两弧相交于点 G；③作射线 AG 交 BC 边于 点 D，则∠CDA 的度数为____. 10.已知，如图所示，△ABC 的角平分线 AD 将 BC 边分成 2∶1 两部分，若 AC=3 cm，则 AB=____. 11.已知:如图所示,点 O 在∠BAC 的平分线上,BO⊥AC,CO⊥AB,垂足分别为 D，E,求证：OB＝OC. 12.如图,△ABC 中,∠C=90°,AC=BC,AD 平分∠BAC 交 BC 于 D,DE⊥AB,垂足为 E,且 AB=10 cm,求△DEB 的周长. 13.求证：有两个角及其中一个角的角平分线对应相等的两个三角形全等. 挑战自我 14.如图，∠AOB=90°，OM 平分∠AOB，直角三角板的 顶点 P 在射线 OM 上移动，两直角边分别与 OA、OB 相交于点 C
免费下载网址htp:/ 1aoxue5uys68com/ 问PC与PD相等吗?试说明理由. DB 参考谷案 课前预习 要点感知1相等 预习练习1-1B 预习练习2-1全等三角形对应角的角平分线对应角的角平分线长度相等 当堂训练 1.A2.图略.3.44.证明:∵E是∠AOB的平分线上一点,CE⊥OA,ED⊥OB,∴EC=ED.在Rt△OCE和Rt △ODE中,OE=OE,EC=ED,∴Rt△OCE≌Rt△ODE(HL).∴0C=0D ∴BD平分∠ABC,DE垂直于AB于E点,∴点D到BC的距离等于DE的长度.∵AB=18,BC=12,∴S△ABC=S△Am+S ×18·DE+-×12·DE=DE(18+12)=15·DE.∵△ABC的面积等于90,∴15·DE=90.∴DE=6 6.全等三角形对应边的高线对应边的高线相等 7.已知:△ABC≌△A′B′C′,AD,AD′分别是BC,B′C′边上的中线.求证:AD=A′D′.证明:∵△ABC≌△A′B′ C′,∴AB=A′B′,∠B=∠B′,BC=B′C′.又∵AD,A′D′分别是BC,B′C′边上的中线,BD==BC,B′D′=B C′.∴BD=B′D′.∴△ABD≌△A′B′D′(SAS).∴AD=A′D′ 课后作业 10.6cm11.证明:∵点0在∠BAC的平分线上,BO⊥AC,CO⊥AB,∴OE=0D,∠BEO=∠C 90°.在△BEO与△CDO中,∠BEO=∠CD,OE=OD,∠EOB=∠DOC,∴△BE≌△CDO(ASA).∴OB=0C 12.∵AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB,∠C=90°,∴CD=DE.∴Rt△ACD≌Rt△AED.∴AE=AC.∴△DEB的周长 DE+DB+EB=CD+DB+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=10 cm 13.已知:如图,在△ABC和△A′B′C′中,∠B=∠B′,∠BAC=∠B′A′C′,AD,A′D′分别是∠BAC,∠B′A′C′的 平分线,且AD=A′D′.求证:△ABC≌△A′B′C 证明:∵∠BAC=∠B′AC′,AD,A′D′分别是∠BAC,∠B′A′C′的角平分线,∴∠BAD=∠B′A′D′.∵∠B=∠ B′,AD=A′D △ABD≌△AB′D′(AAS).∴AB=A′B′.在△ABC和△A′B′C′中,∠B=∠B AB=A′B′,∠BAC=∠B′A′C′,∴△ABC≌△A′B′C′(ASA) 14.PC=PD.理由如下:过点P分别作PE⊥OA,PF⊥OB,垂足分别为点E,F.又∵OM平分∠AOB,∴PE=PF.又 AOB=90°,∠PEO=∠PFO=90°,∴∠EPF=90°.∴∠EPC+∠CPF=90°.又∵∠CPD=90°,∴∠CPF+∠FPD=90°.∴∠ EPC=∠FPD.在△PCE与△PDF中,∠PEC=∠PFD,PE=PF,∠EPC=∠FPD,∴△PCE≌△PDF(ASA).∴PC=PD 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jiaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址: jiaoxuesu.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com D，问 PC 与 PD 相等吗？试说明理由. 参考 答案 课前预习 要点感知 1 相等 预习练习 1-1 B 预习练习 2-1 全等三角形对应角的角平分线 对应角的角平分线长度相等 当堂训练 1.A 2.图略. 3.4 4.证明：∵E 是∠AOB 的平分线上一点,CE⊥OA,ED⊥OB，∴EC=ED.在 Rt△OCE 和 Rt △ODE 中,OE=OE,EC=ED,∴Rt△OCE≌Rt△ODE(HL).∴OC=OD. 5.∵BD 平分∠ABC，DE 垂直于AB 于 E 点，∴点 D 到 BC 的距离等于 DE 的长度.∵AB=18，BC=12，∴S△ABC=S△ABD+S△BCD= 2 1 ×18·DE + 2 1 ×12·DE= 2 1 DE(18+12)=15·DE.∵△ABC 的面积等于 90，∴15·DE=90.∴DE=6 6.全等三角形对应边的高线 对应边的高线相等 7.已知:△ABC≌△A′B′C′,AD，A′D′分别是 BC，B′C′边上的中线.求证：AD=A′D′.证明：∵△ABC≌△A′B′ C′,∴AB=A′B′,∠B=∠B′,BC=B′C′.又∵AD，A′D′分别是 BC，B′C′边上的中线,∴BD= 2 1 BC,B′D′= 2 1 B′ C′.∴BD=B′D′.∴△ABD≌△A′B′D′(SAS).∴AD=A′D′. 课后作业 8.4 9.65° 10.6 cm 11.证明:∵点 O 在∠BAC 的平分线上,BO⊥AC,CO⊥AB,∴OE＝OD,∠BEO＝∠CDO ＝90°.在△BEO 与△CDO 中,∠BEO＝∠CDO,OE＝OD,∠EOB＝∠DOC,∴△BEO≌△CDO(ASA).∴OB＝OC. 12.∵AD 平分∠BAC 交 BC 于 D,DE⊥AB,∠C=90°,∴CD=DE.∴Rt△ACD≌Rt△AED.∴AE=AC.∴△DEB 的周长 =DE+DB+EB=CD+DB+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=10 cm. 13.已知：如图,在△ABC 和△A′B′C′中,∠B=∠B′,∠BAC=∠B′A′C′,AD,A′D′分别是∠BAC,∠B′A′C′的 平分线,且 AD=A′D′.求证：△ABC≌△A′B′C′. 证明：∵∠BAC=∠B′A′C′,AD，A′D′分别是∠BAC，∠B′A′C′的角平分线,∴∠B AD=∠B′A′D′.∵∠B=∠ B′,AD=A′D′，∴△ABD≌△A′B′D′(AAS).∴AB=A′B′.在△ABC 和△A′B′C′中,∠B=∠B′, AB=A′B′,∠BAC=∠B′A′C′,∴△ABC≌△A′B′C′(ASA). 14.PC=PD.理由如下：过点 P 分别作 P E⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为点 E，F.又∵OM 平分∠AOB，∴PE=PF.又∵∠ AO B=90°，∠PEO=∠PFO=90°，∴∠EPF=90°.∴∠EPC+∠CPF=90°.又∵∠CPD=90°，∴∠CPF+∠FPD=90°.∴∠ E PC=∠FPD.在△PCE 与△PDF 中，∠PEC=∠PFD，PE=PF，∠EPC=∠FPD，∴△PCE≌△PDF(ASA).∴PC=PD