第1章勾股定理 专题一勾股定理与几何问题
第1章 勾股定理 专题一 勾股定理与几何问题
1·如图,以R△ACB的三边为斜边分别向外作等腰直角三角 形.若S1=4,S2=9,则S3的面积为13
1．如图，以Rt△ACB的三边为斜边分别向外作等腰直角三角 形．若S1 ＝4，S2 ＝9，则S3的面积为____ 13 ．
2.如图是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的 个大正方形.若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直 角三角形的较长直角边为a,较短直角边为b,则a3+b3的值为 35
2．如图是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一 个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直 角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则a 3＋b 3的值为 ____ 35 ．
3·(2015·安徽模拟)如图,在R△ABC中,AB=9,BC 6,∠B=90°,将△ABC折叠,使点A与BC的中点D重合,折 痕为MN,则线段BN的长为4
3．(2015·安徽模拟)如图，在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝ 6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折 痕为MN，则线段BN的长为____ 4 ．
4.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3cm,AC =5cm,将△ABC折叠,使点C与点A重合,得折痕DE,则 △ABE的周长为7cm
4．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3 cm，AC ＝5 cm，将△ABC折叠，使点C与点A重合，得折痕DE，则 △ABE的周长为__7__cm
5·如图,在△ABC中,∠B=45°,∠A>90°,AB2=18, AC=5,求BC的长 解:过A作AD⊥BC于D,在Rt△ABD,∠B=45°,则 AD=BD又∴AB2=18,∴AD=BD=3,在R△ADC中, AC=5,AD=3,∴DC=4,∴BC=7
5．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠A>90°，AB2＝18， AC＝5，求BC的长． 解：过A作AD⊥B C于D，在Rt△ABD，∠B＝45°，则 AD＝B D，又∵AB2＝18，∴AD＝B D＝3，在Rt△ADC中， AC＝5，AD＝3，∴DC＝4，∴B C＝7
6·如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点 D,AC=3,BC=4,求CD的长 解:在Rt△ABC中,∵AC=3,BC=4,由勾股定理 得AB=5,又:S△ABC=2ACBC=6,:CD=2
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点 D，AC＝3，BC＝4，求CD的长． 解：在Rt△ABC中，∵AC＝3，B C＝4，由勾股定理 得AB＝5，又∵S△ABC＝ 1 2 ·AC·BC＝6，∴CD＝ 12 5
7·如图,在△ABC中,AC=8,BC=6,在△ABE中, DE为AB边上的高,DE=12,△ABE的面积为60,△ABC是否 为直角三角形?为什么? 解:△ABC是直角三角形,理由:·S△ABE24BDE 60,而DE=12,∴AB=10.而AC2+BC2=64+36=100= AB2,∴△ABC是直角三角形
7．如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，在△ABE中， DE为AB边上的高，DE＝12，△ABE的面积为60，△ABC是否 为直角三角形？为什么？ 解：△ABC是直角三角形．理由：∵S△ABE＝ 1 2 AB·DE＝ 60，而DE＝12，∴AB＝10.而AC2＋BC2＝64＋36＝100＝ AB2，∴△ABC是直角三角形
8·已知:如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点P是 BC上一点.求证:2P42=PB2+PC2 解:证明作AD⊥BC于点D,∴PA2=AD2+PD2又:∠BAC=90 AB=AC,∴AD=BD=DC=,BC.又·PB=PD=BD=DC PD+PC,∴PD=(PB-PC).∴PA=AD+PD=(BC)+[,(PB PC)=BC+(PB-PC)=4(PB+PC)+(PB-PC)=)PB+ PC2,∴2PA2=PB2+PC
8．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P是 BC上一点．求证：2PA2＝PB2＋PC2 . 解：证明作AD⊥B C于点D，∴PA2＝AD2＋PD2 .又∵∠BAC＝90 °，AB＝AC，∴AD＝B D＝DC＝ 1 2 BC.又∵PB－PD＝B D＝DC＝ PD＋PC，∴PD＝ 1 2 (PB－PC)．∴PA2＝AD2＋PD2＝( 1 2 B C) 2＋[ 1 2 (PB －PC)]2＝ 1 4 B C2＋ 1 4 (PB－PC) 2＝ 1 4 (PB＋PC) 2＋ 1 4 (PB－PC) 2＝ 1 2 PB2＋ 1 2 PC2，∴2PA2＝PB2＋PC2