10远程教育网 8.4三元一次方程组解法举例 教学内容 本节课主要学习8.4三元一次方程组解法举例 教学目标 知识技能 了解三元一次方程组的定义,掌握三元一次方程组的解法,进一步体会消元转化思 想 数学思考 使学生进一步体验解多元方程组的过程,熟悉多元方程组的解法,进而感受消元转 化的思想 解决问题 掌握解三元一次方程组的基本思路:使学生能够顺利地解简单的三元一次方程组 情感态度 使学生在学习的过程中体会数学思想,感受成功,体验成长 重难点、关键 重点:三元一次方程组的解法及主要思路 难点:消元转化思想的理解和应用 关键:掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元或一元的思路。 教学准备 教师准备:制作课件,精选习题 学生准备:复习有关知识,预习本节课内容 教学过程 问题引入 1、解二元一次方程组的基本方法有哪几种? 2、解二元一次方程组的基本思想是什么? 【活动方略】 教师出示问题,学生解答,教师提出问题 【设计意图】 通过二元一次方程组的有关知识,引入本课的教学 二、探索新知 1.纸币问题 小明手头有12张面额分别是1元、2元、5元的纸币,共计22元,其中1元纸币的数 量是2元纸币数量的4倍.求1元、2元、5元的纸币各多少张? 【分析】 设1元、2元、5元的纸币分别是x张、y张、z张,根据题意可以得到下列三个方程 x+y+z=12 x+2y+5z=22, 这个问题的解必须同时满足上面三个条件,因此可以把三个方程合在一起写成 http://schoolchinaedu.com
http://school.chinaedu.com 1 8.4 三元一次方程组解法举例 教学内容 本节课主要学习 8.4 三元一次方程组解法举例 教学目标 知识技能 了解三元一次方程组的定义，掌握三元一次方程组的解法，进一步体会消元转化思 想． 数学思考 使学生进一步体验解多元方程组的过程，熟悉多元方程组的解法，进而感受消元转 化的思想． 解决问题 掌握解三元一次方程组的基本思路；使学生能够顺利地解简单的三元一次方程组． 情感态度 使学生在学习的过程中体会数学思想，感受成功，体验成长． 重难点、关键 重点：三元一次方程组的解法及主要思路． 难点：消元转化思想的理解和应用． 关键：掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元或一元的思路。 教学准备 教师准备：制作课件，精选习题 学生准备：复习有关知识，预习本节课内容 教学过程 一、问题引入 1、解二元一次方程组的基本方法有哪几种？ 2、解二元一次方程组的基本思想是什么？ 【活动方略】 教师出示问题，学生解答，教师提出问题． 【设计意图】 通过二元一次方程组的有关知识，引入本课的教学． 二、探索新知 1.纸币问题 小明手头有 12 张面额分别是 1 元、2 元、5 元的纸币，共计 22 元，其中 1 元纸币的数 量是 2 元纸币数量的 4 倍．求 1 元、2 元、5 元的纸币各多少张？ 【分析】 设 1 元、2 元、5 元的纸币分别是 x 张、y 张、z 张，根据题意可以得到下列三个方程: x+y+z=12, x+2y+5z=22, x=4y. 这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此可以把三个方程合在一起写成
10远程教育网 x+y+乙=12, x+2y+5z=22 4 【归纳】三元一次方程组:含有三个相同的未知数,每个方程中含未知数的项的次数都 是1,并且一共有三个方程,像这样的方程组叫做三元一次方程组 2.讨论如何解三元一次方程组 我们知道二元一次方程组可以利用代入法或加减法消去一个未知数,化成一元一次方程 求解.那么能否用同样的思路,用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个或两个未知数 把它转化成二元一次方程组或一元一次方程呢?观察方程组: x+y+z=12, x+2y+5z=22 4 仿照前面学过的代入法,可以把③分别带入①②,得到两个只含y,z的方程 4y+y+z=12 乎y+2y+5z=22 5y+z=12 6y+5z=22 得到二元一次方程组后就不难求出y和z的值,进而可以求出x了 【归纳】解三元一次方程组的基本思路是:通过“代入”或“加减”进行消元,把“ 元”转化为“二元”,使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组,进而再转化为解一元 次方程.即 元一次方程 n元三元一次方程 一元一次方程 3.解三元一次方程组 例1:解三元一次方程组 3r+4z=7 2x+3y+z=9 5x-9y+7z=8 【分析】 方程①只含x,z,因此可以由②③消去y,得到一个只含x,z的方程,与方程①组成 一个二元一次方程组 解:②×3十③,得 llx+10z=35 ①与④组成方程组 3r+4z=7 11x+10z=35 解这个方程组,得 x=5 2 把x=5,z=-2代入②得 http://schoolchinaedu.com 2
http://school.chinaedu.com 2 x y z x y z x y 12, 2 5 22, 4 . + + = + + = = 【归纳】三元一次方程组：含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都 是 1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． 2x＋y＝40 ② 2.讨论如何解三元一次方程组 我们知道二元一次方程组可以利用代入法或加减法消去一个未知数，化成一元一次方程 求解．那么能否用同样的思路，用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个或两个未知数， 把它转化成二元一次方程组或一元一次方程呢？观察方程组： x y z x y z x y 12, 2 5 22, 4 . + + = + + = = 仿照前面学过的代入法，可以把③分别带入①②，得到两个只含 y，z 的方程： 4y＋y＋z＝12 4y＋2y＋5z＝22 即 y z y z 5 12 6 5 22 + = + = 得到二元一次方程组后就不难求出 y 和 z 的值，进而可以求出 x 了． 【归纳】解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三 元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元 一次方程．即 消元 消元 3.解三元一次方程组 例 1：解三元一次方程组 x z x y z x y z 3 4 7 2 3 9 5 9 7 8 + = + + = − + = 【分析】 方程①只含 x，z，因此可以由②③消去 y，得到一个只含 x，z 的方程，与方程①组成 一个二元一次方程组． 解：②×3＋③，得 11x＋10z＝35 ④ ①与④组成方程组 x z x z 3 4 7 11 10 35 + = + = 解这个方程组，得 x z 5 2 = = − 把 x＝5，z＝－2 代入②得 ① ② ③ 三 元 一 次方 程 组 二 元 一 次方 程 组 一元一次方程 ① ② ③
10远程教育网 因此三元一次方程组的解为 【活动方略】 引导学生比较、分析,归纳出三元一次方程组的概念及基本解法。 【设计意图】 使学生了解三元一次方程组的概念以及解三元一次方程组的整体思路,并掌握三元一次 方程组的解法。 三、反馈练习 课本第114页练习第1、2题 1.解下列三元一次方程组 2y=-9, 3x-y+z=4, (1){y-z=3, (2){2x+3y-x=12, 2z+x=47 x+y+z=6. 2.甲、乙、丙三个数的和是35,甲数的2倍比乙数大5,乙数的三分之一等于丙数的 二分之一.求这三个数. 【活动方略】 学生独立思考、独立解题 教师巡视、指导,并选取两名学生上台书写答案 【设计意图】 检查学生对所学知识的掌握情况 四、拓展提高 例2在等式y=ax2+bx+c中,当x=-1时y=0:当x=2时,y=3:当x=5时,y 60.求a、b、c的值 分析:把a,b,c看作三个未知数,分别把已知的x,y值代入原等式,就可以得到 个三元一次方程组 解:根据题意得三元一次方程组 a-b+c=0. ① 4a+2b+c=3, ② 25a+5b+c=60 ②-①,得 a+b=1; ③-①,得 4a+b=10. ④与⑤组成二元一次方程组 +b=1, 4a+b=10 解之 b http://schoolchinaedu.com
http://school.chinaedu.com 3 y 1 3 = 因此三元一次方程组的解为 【活动方略】 引导学生比较、分析，归纳出三元一次方程组的概念及基本解法。 【设计意图】 使学生了解三元一次方程组的概念以及解三元一次方程组的整体思路，并掌握三元一次 方程组的解法。 三、反馈练习 课本第 114 页练习第 1、2 题 1．解下列三元一次方程组 （1） x y y z z x 2 9, 3, 2 47. − = − − = + = （2） x y z x y z x y z 3 4, 2 3 12, 6. − + = + − = + + = 2．甲、乙、丙三个数的和是 35，甲数的 2 倍比乙数大 5，乙数的三分之一等于丙数的 二分之一．求这三个数． 【活动方略】 学生独立思考、独立解题． 教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写答案。 【设计意图】 检查学生对所学知识的掌握情况. 四、拓展提高 例 2 在等式 y ax bx c 2 = + + 中，当 x＝－1 时 y＝0；当 x＝2 时，y＝3；当 x＝5 时，y ＝60．求 a、b、c 的值． 分析：把 a，b，c 看作三个未知数，分别把已知的 x，y 值代入原等式，就可以得到一 个三元一次方程组． 解：根据题意得三元一次方程组 a b c a b c a b c 0, 4 2 3, 25 5 60. − + = + + = + + = ②-①，得 a＋b＝1； ④ ③-①，得 4a＋b＝10． ⑤ ④与⑤组成二元一次方程组 a b a b 1, 4 10. + = + = 解之 a b 3, 2. = = − ① ② ③
10远程教育网 = 把 代入①,得 b=-2. 因此, 3, 答 例3:一个三位数,个位、百位上的数字的和等于十位上的数字,百位上的数字的7倍 比个位、十位上的数字的和大2,个位、十位、百位上的数字的和是14。求这个三位数。 【活动方略】 教师活动:操作投影,将例题显示,组织学生讨论 学生活动:小组讨论,分组探索,然后每组派一人进行交流 【设计意图】 巩固加深对知识的理解,提高学生数学素养 五、小结作业 1.问题:本节课你学到了什么知识?从中得到了什么启发? 本节课应掌握 1.解三元一次方程组的基本思想是什么?方法有哪些? 消元 元 消元 元 元 方法:代入法、加减法 2.解题前要认真观察各方程的系数特点,选择最好的解法,当方程组中某个方程只含 二元时,一般的,这个方程中缺哪个元,就利用另两个方程用加减法消哪个元:如果这 个二元方程系数较简单,也可以用代入法求解 2.作业:课本第114页习题8.4第1、2、4、5题 【活动方略】 教师引导学生归纳小结,学生反思学习和解决问题的过程 学生独立完成作业,教师批改、总结. 【设计意图】通过归纳总结,课外作业,使学生优化概念,内化知识 http://schoolchinaedu.com
http://school.chinaedu.com 4 把 a b 3, 2. = = − 代入①，得 c＝－5． 因此， a b c 3, 2, 5. = = − = − 答：a＝3，b＝－2，c＝－5． 例 3：一个三位数，个位、百位上的数字的和等于十位上的数字，百位上的数字的 7 倍 比个位、十位上的数字的和大 2，个位、十位、百位上的数字的和是 14。求这个三位数。 【活动方略】 教师活动：操作投影，将例题显示，组织学生讨论． 学生活动：小组讨论，分组探索，然后每组派一人进行交流． 【设计意图】 巩固加深对知识的理解，提高学生数学素养． 五、小结作业 1．问题：本节课你学到了什么知识？从中得到了什么启发？ 本节课应掌握： 1．解三元一次方程组的基本思想是什么？方法有哪些？ 2．解题前要认真观察各方程的系数特点，选择最好的解法，当方程组中某个方程只含 二元时，一般的，这个方程中缺哪个元，就利用另两个方程用加减法消哪个元；如果这 个二元方程系数较简单，也可以用代入法求解． 2．作业：课本第 114 页习题 8．4 第 1、2、4、5 题． 【活动方略】 教师引导学生归纳小结，学生反思学习和解决问题的过程． 学生独立完成作业，教师批改、总结． 【设计意图】通过归纳总结，课外作业，使学生优化概念，内化知识