10远程教育网 9.3一元一次不等式组(3) 教学内容 本节课主要学习利用不等关系分析比赛 教学目标 知识技能 学会运用不等式及不等式组对一些体育比赛的胜负进行分析,让学生感知生活离不开 数学,学数学知识是更好地为解决实际问题服务 数学思考 在学习活动中获得成功的体验,建立自信心,初步认识不等式与人类生活的密切联系, 感受不等式的应用价值. 解决问题 结合实践与探索,进一步强化学生对数学学习中经历“问题解决—一建立模型一一解释 应用一一回顾拓展”过程的感受与体会,进一步提高学生分析问题和解决问题的能力 情感态度 给出具体案例让学生进行分析,激发学生对体育事业的关心和爱戴,对体育成绩的优劣 与国民素质关系的理解,激发学生的爱国精神和主人翁意识 重难点、关健 重点:一元一次不等式在比赛问题中的应用 难点:数学建模思想的进一步体会 关键:通过对实际问题的分析,建立有效的数学模型 教学准备 教师准备:制作课件,精选习题 学生准备:复习有关知识,预习本节课内容 教学过程 一、情境引入 1.欣赏体育比赛的精彩场面。提出问题:同学们都看过各种各样的比赛,大家了解一些 比赛的胜负规则吗? 2.同学们知道射击运动吗?自1900年第二届奥运会后,射击运动蓬勃发展,以后成为历 届奧运会、世界锦标赛、亚运会的主要竞赛项目.早期的射击比赛,是对放飞的鸽子进行射 击.2004年第28届雅典奥运会设了17个项目,共有390个运动员参加了比赛射击运动百年 来在稳步地进步,射击比赛的技术性在不断提高 射击运动员的成绩如何确定?比赛规则怎样? 【活动方略】 学生结合课前收集的资料介绍射击、足球篮球等比赛的有关规则,了解比赛的一些常识 【设计意图】 创设问题情境,激发学生的求知欲望 探索新知 射击比赛的问题 【探究】 某射击运动员在一项比赛中前6次射击共中52环.如果他要打破89环(10次射击)的记 录,第7次射击不能少于多少环? 分析:由于这位运动员前6次射击共中了52环,要平记录还差89-52=37环,如果在第7 次射击时成绩最差,那么第8、9、20次射击成绩必须是满分10环,因此在平记录时,第七次 最差成绩为89-30-52=7环.如果第7次射击成绩超过7环,就有可能打破记录,如果射击成 绩低于7环,不管以后3次射击情况如何都不可能打破记录. 解:设第7次射击的成绩为x环,由于最后三次射击最多共中30环,要破记录则需 52+x+30>89 http://schoolchinaedu.com
http://school.chinaedu.com 1 9.3 一元一次不等式组（3） 教学内容 本节课主要学习利用不等关系分析比赛 教学目标 知识技能 学会运用不等式及不等式组对一些体育比赛的胜负进行分析,•让学生感知生活离不开 数学,学数学知识是更好地为解决实际问题服务． 数学思考 在学习活动中获得成功的体验，建立自信心，初步认识不等式与人类生活的密切联系， 感受不等式的应用价值． 解决问题 结合实践与探索，进一步强化学生对数学学习中经历“问题解决——建立模型——解释 应用——回顾拓展”过程的感受与体会，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力. 情感态度 给出具体案例让学生进行分析,激发学生对体育事业的关心和爱戴,对体育成绩的优劣 与国民素质关系的理解,激发学生的爱国精神和主人翁意识． 重难点、关键 重点：一元一次不等式在比赛问题中的应用． 难点：数学建模思想的进一步体会． 关键：通过对实际问题的分析，建立有效的数学模型. 教学准备 教师准备：制作课件，精选习题 学生准备：复习有关知识，预习本节课内容 教学过程 一、 情境引入 1.欣赏体育比赛的精彩场面。提出问题：同学们都看过各种各样的比赛，大家了解一些 比赛的胜负规则吗？ 2.同学们知道射击运动吗?自 1900 年第二届奥运会后,射击运动蓬勃发展,•以后成为历 届奥运会、世界锦标赛、亚运会的主要竞赛项目.早期的射击比赛,是对放飞的鸽子进行射 击.2004年第28届雅典奥运会设了17个项目,共有390•个运动员参加了比赛.射击运动百年 来在稳步地进步,射击比赛的技术性在不断提高. 射击运动员的成绩如何确定?比赛规则怎样? 【活动方略】 学生结合课前收集的资料介绍射击、足球篮球等比赛的有关规则，了解比赛的一些常识。 【设计意图】 创设问题情境，激发学生的求知欲望。 二、 探索新知 射击比赛的问题 【探究】 某射击运动员在一项比赛中前6次射击共中52环.如果他要打破89环(10•次射击)的记 录,第 7 次射击不能少于多少环? 分析:由于这位运动员前 6 次射击共中了 52 环,要平记录还差 89-52=37 环,如果在第 7 次射击时成绩最差,那么第 8、9、20 次射击成绩必须是满分 10 环,•因此在平记录时,第七次 最差成绩为 89-30-52=7 环.如果第 7 次射击成绩超过 7 环,•就有可能打破记录,如果射击成 绩低于 7 环,不管以后 3 次射击情况如何都不可能打破记录. 解:设第 7 次射击的成绩为 x 环,由于最后三次射击最多共中 30 环,要破记录则需 52+x+30>89 x>89-52-30 x>7
10远程教育网 因此,第7次射击不能少于8环才有可能破记录 【思考】 (1)如果第7次射击成绩为8环,最后三环射击中要有几次命中10环才能破记录? (2)如果第7次射击成绩为10环,最后三次射击中是否必须至少有一次命中10环才有 可能破记录? 点拨:(1)如果在第7次射击成绩为8环,要平记录最后三次射击要命中89-52-8=29环, 如果要破记录,最后三次就至少要命中30环.因此最后三次射击每次要命中10环 (2)如果在第7次射击成绩为10环,要平记录,最后三次必须命中89-52-10=27环,若每 次命中9环,只能平记录.要打破记录,必须有一次命中10环 足球比赛的问题 【探究】 有A、B、C、D、E五个队分在同一小组进行单循环赛足球比赛,争夺出线权,比赛规则 规定:胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分,小组中名次在前的两个队出线,小组结束 后,A队的积分为9分 讨论:(1)A队的战绩是几胜几平几负? (2)如果小组中有一个队的战绩为全胜,A队能否出线 (3)如果小组中有一个队的积分为10分,A队能否出线? (4)如果小组中积分最高的队积9分,A队能否出线? 背景知识:(Ⅰ)A、B、C、D、E五个队进行单循环比赛,各队都要进行4场比赛,并且甲 对乙的比赛与乙对甲的比赛是同一场比赛,因此这个小组一共要进行一=10场比赛 (Ⅱ)每场结果分出胜负的比赛,胜队得3分,负队得0分,两队得分的和为3分;如果每 场结果为平局的比赛,则每队各得1分,两队得分的和为2分. (Ⅲ足球小组赛按积分多少排列名次;积分相等的两队,净胜球数多的队名次在前,积 分、净胜球数都相等的两队,进球数多的队名次在前 【分析】 设10场比赛后各队积分总和为n分,则n满足2×10≤n≤3×10,即20≤n≤30 (1)设A队积9分时胜x场,平y场(其中x、y均为比赛场数,为非负整数)则A队胜 场得3x分,平y场得y分,故3x+y=9①,而A队只进行了4场比赛,这4场比赛中也可能存 在输的场数,因此x+y≤4② 由①得y=9-3x,把y=9-3x代入②中,得x+9-3x≤4,即-2x≤-5,故x≥,又x为非负整 数且小于或等于4,∴x=3或4.当x=3时,y=0.当x=4时,y=-3(不合) 因此,可以确定x=3,y=0,故A队积9分时它胜3场,平0场,但它比赛了4场,故有1场 是负局,故A队积9分时,它3胜0平1负 (2)如果小组中有一个队的战绩为全胜,即它胜了4场,则这个队积分为4×3=12分,又 因这个队全胜,则其它就不再有全胜的,因此这个队总分名次小组第 为分析问题方便,不妨设这个队为B队,A队能否出线取决于C、D、E三队中是否有积分 不少于9的队.由于A队积9分,它胜3场,负1场,负的这场正好是与B队交锋的结果,因此 C、D、E三队都负于A队和B队.这样C、D、E三队积分最多的队只有积6分.故A队积9分 时一定能出线. 3)如果小组比赛中有一队积10分,不妨设B队积10分,则设B队胜m场,平n场(m、n 3m+n=10 应为小于或等于4的非负整数),可得 m+n<4 http://schoolchinaedu.com 2
http://school.chinaedu.com 2 因此,第 7 次射击不能少于 8 环才有可能破记录. 【思考】 (1)如果第 7 次射击成绩为 8 环,最后三环射击中要有几次命中 10 环才能破记录? (2)如果第 7 次射击成绩为 10 环,最后三次射击中是否必须至少有一次命中 10•环才有 可能破记录? 点拨:(1)如果在第7次射击成绩为 8环,要平记录最后三次射击要命中 89-52-•8=29环, 如果要破记录,最后三次就至少要命中 30•环.•因此最后三次射击每次要命中 10 环. (2)如果在第 7 次射击成绩为 10 环,要平记录,最后三次必须命中 89-52-10=27 环,若每 次命中 9 环,只能平记录.要打破记录,必须有一次命中 10 环. 足球比赛的问题 【探究】 有 A、B、C、D、E 五个队分在同一小组进行单循环赛足球比赛,争夺出线权,•比赛规则 规定:胜一场得3分,平一场得 1分,负一场得 0分,•小组中名次在前的两个队出线,小组结束 后,A 队的积分为 9 分. 讨论:(1)A 队的战绩是几胜几平几负? (2)如果小组中有一个队的战绩为全胜,A 队能否出线? (3)如果小组中有一个队的积分为 10 分,A 队能否出线? (4)如果小组中积分最高的队积 9 分,A 队能否出线? 背景知识:(Ⅰ)A、B、C、D、E 五个队进行单循环比赛,各队都要进行 4 场比赛,•并且甲 对乙的比赛与乙对甲的比赛是同一场比赛,因此这个小组一共要进行 4 5 2 =10 场比赛. (Ⅱ)每场结果分出胜负的比赛,胜队得 3 分,负队得 0 分,两队得分的和为 3 分;•如果每 场结果为平局的比赛,则每队各得 1 分,两队得分的和为 2 分. (Ⅲ)足球小组赛按积分多少排列名次;积分相等的两队,净胜球数多的队名次在前,积 分、净胜球数都相等的两队,进球数多的队名次在前. 【分析】 设 10 场比赛后各队积分总和为 n 分,则 n 满足 2×10≤n≤3×10,即 20≤n≤30. (1)设 A 队积 9 分时胜 x 场,平 y 场(其中 x、y 均为比赛场数,为非负整数)则 A•队胜 x 场得 3x 分,平 y 场得 y 分,故 3x+y=9 ①,而 A 队只进行了 4 场比赛,这 4•场比赛中也可能存 在输的场数,因此 x+y≤4 ②. 由①得 y=9-3x,把 y=9-3x 代入②中,得 x+9-3x≤4,即-2x≤-5,故 x≥ 5 2 ,又 x 为非负整 数且小于或等于 4,∴x=3 或 4.当 x=3 时,y=0.当 x=4 时,y=-3(不合). 因此,可以确定 x=3,y=0,故 A 队积 9 分时它胜 3 场,平 0 场,但它比赛了 4 场,故有 1 场 是负局,故 A 队积 9 分时,它 3 胜 0 平 1 负. (2)如果小组中有一个队的战绩为全胜,即它胜了 4 场,则这个队积分为 4×3=•12 分,又 因这个队全胜,则其它就不再有全胜的,因此这个队总分名次小组第一. 为分析问题方便,不妨设这个队为 B 队,A 队能否出线取决于 C、D、E•三队中是否有积分 不少于 9 的队.由于 A 队积 9 分,它胜 3 场,负 1 场,负的这场正好是与 B 队交锋的结果,因此 C、D、E 三队都负于 A 队和 B 队.这样 C、D、E 三队积分最多的队只有积 6 分.故 A 队积 9 分 时一定能出线. (3)如果小组比赛中有一队积 10 分,不妨设 B 队积 10 分,则设 B 队胜 m 场,平 n 场(m、n 应为小于或等于 4 的非负整数),可得 3 10 4 m n m n + = +
10远程教育网 由①得n=10-3m③ 把③代入②,得m+10-3m≤4 解得m≥3 当m=3时,则n=1;当m=4时,则n=2(不合舍去 因此B队积10分时,它的4场比赛3胜1平积10分 由于A队是3胜1负,B队3胜1平,因此A队是胜于C、D、E三队,而负于B队;B队是 胜了A且胜了C、D、E三队中的两队,而与C、D、E三队中某一队打平.因此C、D、E三队中 积分的队2胜1平1负积7分.因此,A队稳出线 (4)当积分最高的队积9分时,设有x个队积9分,则9x≤30,x≤3-,即x为整数,则积 9分的队最多有3个队.因此当积9分的队有1个或2个时,A队一定出线 当积9分的队有3个时,A队能否出线,就要看它与其它两个积9分的队的净胜球数的多 少.如果净胜球数位于第二,则A队可以出线;如果净胜数位于第三,则A队不能出线,假若A 队的净胜球数与其它两个积9分的队净胜球数也相等,则看它们的进球数,进球最多的队名 次在前,此时A队也不一定出线 【思考】 在这个小组中A队积多少分,它就能一定出线? 当A队积10分时,它的战况是3胜1平,此时它战胜B、C、D、E四个队中的三个,与 其中一个队战平,因此B、C、D、E四个队中战况最好的只有一个队3胜1平积10分,小组 中名次在前的两个队出线,A队一定出线. 【归纳】 建立数学模型是解决应用问题的关键,如何建立数学模型是学习的难点.学习中应有层 次地解析题目意思,理解量和量之间的关系,准确把握实际问题的实质和关键.这样才能把 实际应用题抽象为纯数学问题,再根据问题的实际意义进行解释与应用. 【活动方略】 学生先进行小组讨论、交流,形成共识后,全班交流,最后通过教师的讲评,统一学生 认识 【设计意图】 给予学生一定的思考空间,交流讨论,体会一元一次不等式关于比赛问题的进一步应 用,要重视数学建模思想.通过实践,体会不等式和方程一样,同样是刻画现实世界数量关 系的重要模型 三、反愦练习 2004年8月22日雅典奥运会的射击场上出现了最戏剧性的一幕·男子步枪3·×40决 賽还剩最后一枪未打,美国人埃蒙斯领先中国选手贾占波3环位居第一贾占波率先发枪10.1 环、(1)埃蒙斯最后一枪为θ环,谁获得了冠军;(2)埃蒙斯只要不打岀低于多少环的成绩,就能将 金牌收入囊中? 答案(1)中国选手贾占波(2)71环 【活动方略】 学生独立思考、独立解题 教师巡视、指导,并选取两名学生上台书写答案 【设计意图】 检查学生对所学知识的掌握情况. 四、拓展提高 例.某次篮球联赛中,火炬队与月亮队要争夺一个出线权,火炬队目前的战绩是17胜 13负(其中有1场以4分之差负于月亮队),后面还要比赛6场(其中包括再与月亮队比 赛1场);月亮队目前的战绩是15胜16负,后面还要比赛5场.为确保出线,火炬队在后 面的比赛中至少要胜多少场? 【分析】 http://schoolchinaedu.com
http://school.chinaedu.com 3 由①得 n=10-3m ③ 把③代入②,得 m+10-3m≤4 解得 m≥3 当 m=3 时,则 n=1;当 m=4 时,则 n=-2(不合舍去) 因此 B 队积 10 分时,它的 4 场比赛 3 胜 1 平积 10 分. 由于 A 队是 3 胜 1 负,B 队 3 胜 1 平,因此 A 队是胜于 C、D、E 三队,而负于 B 队;B 队是 胜了 A 且胜了 C、D、E 三队中的两队,而与 C、D、E 三队中某一队打平.因此 C、D、E 三队中, 积分的队 2 胜 1 平 1 负积 7 分.因此,A 队稳出线. (4)当积分最高的队积 9 分时,设有 x 个队积 9 分,则 9x≤30,x≤3 3 9 ,即 x 为整数,•则积 9 分的队最多有 3 个队.因此当积 9 分的队有 1 个或 2 个时,A 队一定出线; 当积 9 分的队有 3 个时,A 队能否出线,就要看它与其它两个积 9 分的队的净胜球数的多 少.如果净胜球数位于第二,则 A 队可以出线;如果净胜数位于第三,则 A 队不能出线,假若 A 队的净胜球数与其它两个积 9 分的队净胜球数也相等,则看它们的进球数,•进球最多的队名 次在前,此时 A 队也不一定出线. 【思考】 在这个小组中 A 队积多少分,它就能一定出线? 当 A 队积 10 分时,它的战况是 3 胜 1 平,此时它战胜 B、C、D、E 四个队中的三个， 与 其中一个队战平，因此 B、C、D、E 四个队中战况最好的只有一个队 3 胜 1 平积 10 分,小组 中名次在前的两个队出线,A 队一定出线. 【归纳】 建立数学模型是解决应用问题的关键，如何建立数学模型是学习的难点．学习中应有层 次地解析题目意思，理解量和量之间的关系，准确把握实际问题的实质和关键．这样才能把 实际应用题抽象为纯数学问题，再根据问题的实际意义进行解释与应用. 【活动方略】 学生先进行小组讨论、交流，形成共识后，全班交流，最后通过教师的讲评，统一学生 认识． 【设计意图】 给予学生一定的思考空间，交流讨论，体会一元一次不等式关于比赛问题的进一步应 用，要重视数学建模思想．通过实践，体会不等式和方程一样，同样是刻画现实世界数量关 系的重要模型． 三、 反馈练习 2004 年 8 月 22 日,雅典奥运会的射击场上出现了最戏剧性的一幕.• 男子步枪 3• ×40 决 赛还剩最后一枪未打,美国人埃蒙斯领先中国选手贾占波 3 环,位居第一.贾占波率先发枪 10.1 环.(1)埃蒙斯最后一枪为 0 环,谁获得了冠军;(2)埃蒙斯只要不打出低于多少环的成绩,就能将 金牌收入囊中? (答案:(1)中国选手贾占波;(2)7.1 环. 【活动方略】 学生独立思考、独立解题． 教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写答案。 【设计意图】 检查学生对所学知识的掌握情况. 四、 拓展提高 例．某次篮球联赛中，火炬队与月亮队要争夺一个出线权，火炬队目前的战绩是 17 胜 13 负（其中有 1 场以 4 分之差负于月亮队），后面还要比赛 6 场（其中包括再与月亮队比 赛 1 场）；月亮队目前的战绩是 15 胜 16 负，后面还要比赛 5 场．为确保出线，火炬队在后 面的比赛中至少要胜多少场？ 【分析】
10远程教育网 ①月亮队在后面的比赛中至多胜几场?整个比赛它至多胜几场? ②设火炬队在后面的比赛中胜x场,为确保火炬队出线,需有 ③由不等式可以得出火炬队在后面的比赛中至少胜几场才能确保出线 教师引导学生思考,展开讨论,尽量让学生发表不同的见解 1、月亮队在后面的比赛中至多胜5场,所以整个比赛它至多胜15+5=20场 2、设火炬队在后面的比赛中胜x场,为确保火炬队出线,需有17+x>20. 3、由不等式17+x>20可以得出x>3,而比赛场数是整数,所以火炬队在后面的比赛 是至少胜4场才能确保出线 活动方略】 教师活动:操作投影,将例题显示,组织学生讨论 学生活动:小组讨论,分组探索,然后每组派一人进行交流. 【设计意图】 巩固加深对知识的理解,提高学生数学素养 五、小结作业 1.问题:本节课你学到了什么知识?从中得到了什么启发 本节课应掌握: 建立数学模型是解决应用问题的关键,如何建立数学模型是学习的难点.学习中应有层 次地解析题目意思,理解量和量之间的关系,准确把握实际问题的实质和关键.这样才能把 实际应用题抽象为纯数学问题,再根据问题的实际意义进行解释与应用 2.作业:课本第149页复习题9第11题 【活动方略】 教师引导学生归纳小结,学生反思学习和解决问题的过程 学生独立完成作业,教师批改、总结 【设计意图】通过归纳总结,课外作业,使学生优化概念,内化知识。 http://schoolchinaedu.com
http://school.chinaedu.com 4 ①月亮队在后面的比赛中至多胜几场？整个比赛它至多胜几场？ ②设火炬队在后面的比赛中胜 x 场，为确保火炬队出线，需有____________＞20． ③由不等式可以得出火炬队在后面的比赛中至少胜几场才能确保出线． 教师引导学生思考，展开讨论，尽量让学生发表不同的见解． 1、月亮队在后面的比赛中至多胜 5 场，所以整个比赛它至多胜 15＋5＝20 场． 2、设火炬队在后面的比赛中胜 x 场，为确保火炬队出线，需有 17＋x＞20． 3、由不等式 17＋x＞20 可以得出 x＞3，而比赛场数是整数，所以火炬队在后面的比赛 是至少胜 4 场才能确保出线． 【活动方略】 教师活动：操作投影，将例题显示，组织学生讨论． 学生活动：小组讨论，分组探索，然后每组派一人进行交流． 【设计意图】 巩固加深对知识的理解，提高学生数学素养． 五、 小结作业 1．问题：本节课你学到了什么知识？从中得到了什么启发？ 本节课应掌握： 建立数学模型是解决应用问题的关键，如何建立数学模型是学习的难点．学习中应有层 次地解析题目意思，理解量和量之间的关系，准确把握实际问题的实质和关键．这样才能把 实际应用题抽象为纯数学问题，再根据问题的实际意义进行解释与应用. 2．作业：课本第 149 页复习题 9 第 11 题． 【活动方略】 教师引导学生归纳小结，学生反思学习和解决问题的过程． 学生独立完成作业，教师批改、总结． 【设计意图】通过归纳总结，课外作业，使学生优化概念，内化知识